如何高效學好數學？

一、我的數學學習歷程及遇到的困難

1、我的數學學習歷程

我個人的數學學習歷程比較曲折，在大一的時候掛過數學分析。我本人是學力學的，所以我們大一的數學課跟數學系的課程幾乎是一致的。

大二的時候還掛過高等代數。

兩次考研，第一次考研沒考上，第二次考研成功了，我考上了理想的學校，理想的專業，選擇了理想的導師，以專業第一名的成績錄取，包括專業課的成績也是第一名。

當然，數學學習的歷程比較曲折，有很多原因。一方面是個人興趣的原因。在大學的時候，一進圖書館看到很多的學問，立刻就對各種各樣的學問都產生了很濃厚的興趣，所以精力比較分散，這是一方面的客觀原因。主觀原因是大學的數學一直沒有入門，大學的數學，高等數學，線性代數，數學分析還有概率統計等等這些課，跟高中的數學內容有很大的差別。我高中的數學成績一直是非常好的，考的學校也是非常好的學校，可是在大學，數學卻遲遲沒入門。可以這麼講，今天看來，直到我大學二年級，甚至大學三、四年級，我的數學都沒怎樣入門。

那怎麼入門呢？怎麼學出數學的樂趣來，怎麼能夠快速的進步，這個就是今天我要分享主題。

2、數學學習過程中遇到的困難

在數學的學習過程中，到底會遇到什麼樣的困難？這些都是我個人經歷過的。

第一是數學內容抽象，看不懂。

第二是知識點太多，記不住。

第三是題目太難，遇到難題不會做。

第四是找不到人討論，太枯燥。

因為大學的學習特點，不像高中，大家都學一樣的東西，然後按照同樣的節奏在走，所以遇到同樣的學科，還能討論一下。可是大學呢，找人討論都很困難，各忙各的，所以就顯得這個學習過程很枯燥。

第五是戰線太長，導致很難堅持。

什麼叫戰線太長？我們大學的數學一般會學兩年。像我那時候學數學分析要學一年半，三個學期的課程，一旦不入門的話，那就很難堅持學下去，越學越難受。

第六是時間太短，壓力大。

怎麼時間又太短了呢？因為隔兩個月就期中考試啊，再隔兩個月就期末考試。等到複習的時候，準備考試的時候又覺得壓力很大了。

有個朋友說，「眼睜睜看著老師把一道全是英文和希臘字母的題，最後解出的答案竟然是阿拉伯數字，直到現在還費解。」這些實際上是指高等數學比較抽象。

二、對數學學習的反思

1、令人費解的數學名言

在我大一、大二的時候也看了不少這樣的類似的名言，感覺到寫得非常的優美，但是幾乎體驗不到這裡面說的任何一句話的含義。所以當時就覺得很著急，難道這麼好的東西，我跟它無緣嗎？

同樣，另外一種情形，更讓人無奈。就是這些所謂的學霸和大神們，我稱之為令人絕望的人。比如說我有一個同學，也是我師弟，我們在討論數學的時候，經常我們在黑板上寫一道微積題目在黑板上算，他站在遠處，看了30秒鐘，直接報一個答案。這樣的人有時在我身邊，有時候我們在網上看到。當然就覺得不可理喻，這樣的人難道說天生就具有數學頭腦嗎？我們就不行嗎？我就不行嗎？等等。在整個大一、大二，甚至大三都在這樣的困惑中在啃著數學。

2、數學到底是什麼？

本科時的這樣一個經歷，再加之後面的考研，讓我重新再反思：

數學到底是什麼？我們應該如何來學習數學？這個過程中有幾件事給我的印象比較深刻。

一個是去閱讀那些數學的名著，看這些數學家們到底是怎麼看數學，怎麼看數學的學習的。

二是參加了我們學校BBS上面一個科學版的活動，在科學版上跟同學們討論問題，而且還有線下的面對面的討論，一個月有一次這樣的活動。這兩類活動給我很大的啟發，關於什麼是學問？學問的本質究竟是什麼？

今天看來，那個時候得出的認識是這樣的，學問的本質是人與知識，人與人，人與自己的對話，當我們進入了對話的進程，我們就入門了。大家看看這段話是不是有道理？

三、數學是什麼？

要讀懂高等數學，我們必然會問這樣一個問題，數學究竟是什麼？以高等數學為例，大家在網上常常會看到這樣的所謂知識結構圖。

在這副圖裡面，把高等數學比喻成一棵大樹，函數是這棵大樹的根，我們高中的數學裡面都已經學過了，如反函數、奇偶函數的奇偶性、初等函數、複合函數等等；然後這棵大樹的主幹是函數的極限，也就是我們高等數學的第一章，函數的極限。

在左邊，函數的極限生長出一個大的分支，叫做導數與微分。導數與微分首先涉及到中值定理，微分中值定理和中值定理的應用。然後它又導向了第二個分支，多元函數的微分學，而函數的極限又引出了另外一個大的分支，叫做不定積分，不定積分一方面，引向定積分與定積分的應用，另一方面又引向了常微分方程。這不是思維導圖做的，這就是直接在這棵大樹上面加上去的一些，用PPT就可以做出來。

像這樣的圖像對大家把握一門知識是有利的，但這樣的圖片也會造成一個誤導。導致我們把數學僅僅當做知識來看待。因此產生了數學學習的巨大的困難和障礙。我稱之為這就是把數學僅僅當做知識來看待，它是學習數學的第一個誤區。

我們看看大數學家們是怎麼看數學的。比如這本書叫做《什麼是數學》，副標題是「對思想和方法的基本研究」，它的作者是柯朗。柯朗是20世紀最偉大的數學家之一，美國有一個世界聞名的柯朗研究所。很多大科學家對這本書有高度的讚譽，比如愛因斯坦說，「本書是對整個數學領域中的基本概念及方法的透徹清晰的闡述」；愛因斯坦的好朋友，韋爾是20世紀偉大的數學物理學家，他稱讚，「這是一本非常完美的著作，被數學家們視作科學的鮮血的一切基本思路和方法。在《什麼是數學》這本書中，用最簡單的例子，使之清晰明了，已經達到了令人驚訝的程度」。

看到愛因斯坦和韋爾評價這本書的話，我們都很想去讀一讀這本書究竟在講什麼，但是如果大家去看這本書，多數人會感到失望，包括我在本科三、四年級的時候，去看這本書的時候，倍感失望。因為這本書裡面講的有三章的內容跟我們的高等數學的內容是一樣的，裡面有重合的部分，比如這裡面涉及到極限，微分和積分。

為什麼會失望呢？是因為這本書裡面進的東西，我們看起來似乎很簡單，比我們教科書的內容還要簡單一些。那為什麼這樣一本書會受到如此高度的讚譽？後來我花了好幾年的時間琢磨，得到這麼一個答案。實際上這本書看似內容並不複雜，但是它卻告訴了我們一件事，那就是數學究竟是什麼？它的答案就是：數學的本質是思維技能！

我們看一看，高等數學的所有部分都貫穿著同樣的思維結構。

這個思維結構是什麼？

就是從問題引入定義，這個定義一般會對應著幾何直觀；然後定義又引入定義的性質，比如導數的性質，極限的性質等，另外，定義包含著運算，比如導數，從導數的定義直接就可以推出運演算法則。然後從定義和運演算法則和性質，會推出一系列的定理，這些定理在各個複雜的數學情形中進行應用，乃至應用於其他的領域，包括物理學，經濟學，生物學等等。

大家注意，這裡關鍵在於所有的數學分支都是這麼同樣的一個結構，幾乎是完全相同的，大家看看這個說法是不是有道理，大家回憶一下，是不是高數的所有分支都是這樣一個同樣的結構。

如果我們把高等數學的本質當做思維技能來看待，我們立即能回答很多問題，比如說為什麼平時做題不錯，而考研成績卻不佳，其實最重要的原因是把數學僅僅當做知識來學，因為考研的時候，就它不會考同樣的題目。題型還會變動，我們的記憶是會波動的，如果我們著眼於這個思維技能，我們就會發現，技能比知識的記憶要穩定得多，技能比知識的記憶要快得多，技能往往是一種自動化的東西，而知識需要想半天。

我們從一個正面的例子來看，有一位師弟，他在考研過程中感冒，前兩科就感冒，考到數學的時候還感冒，結果他數學還是考了143分，考的是數學一，他用的參考書全是2013版的，本來是2014年考研，應該用2014年版的參考書，但是他用的2013版的。為什麼他能夠做到這一點，實際上數學在他大腦中，變成了這個思維的技能。

可能很多人仍然不理解：數學知識和數學的思維技能究竟有什麼差別？

舉一個例子，看過一萬遍鋼琴譜的人會彈鋼琴嗎？甚至彈過一萬遍1234567的人，能彈好曲子嗎？顯然不一定啊。所以當我們去學數學的時候，我們看許多遍書，不一定有效。看許多遍視頻，也不一定有效，即便是練過許多題目，也不一定有效，因為這麼做的人多了，考的成績不理想的。這麼做的人，考的成績不理想的人，比比皆是。

那麼什麼才是核心？什麼才是關鍵？

最核心的是訓練數學的思維。當我們看書的時候，當我們看視頻的時候，當我們練習題目的時候，如果我們關注的是如何訓練自己的數學思維，這樣才會產生效果。這種訓練會訓練出一種思維技能，數學的思維技能，而這種技能是貫穿於數學的所有分支，所有部分的。

這種技能甚至還可以遷移到其他領域，如果我們把數學看作思維技能的話，立刻可以理解為什麼數學成績很突出的人，反而不去記很多東西？就像我剛才講的那位師弟，在黑板上出一道積分的題目，我們來出題，我們在那討論，他站在那30秒鐘直接報了個答案。他就是這種類型的人，他不會記很多的數學知識，但他卻能迅速解題。為什麼？因為他們必要的時候可以推導出來，把公式推導出來，這些知識在他們大腦中是一個有機的記憶，甚至是自動化的。

那麼數學思維的精髓究竟是什麼？

這張圖片給了我關於這個答案的深刻的啟發，這張圖片是我讀研究生的時候，在一個關於力學的國際研討會上，有一位學者，第一張幻燈片就播放的是這張圖片。這張圖片就幾個要素，首先最核心肯定是坐在椅子上這位學者，周圍是書籍，各種書籍，實驗儀器等等，很鬱悶。旁邊兩位學者在竊竊私語，下面這句話講的是：「After twendy years of research. Quimzydeveleped the answer…now he』s forgotten the question.」也就是說:Quimzy研究了二十年，找到了答案，卻忘記了問題!

這三行小字，當我第一次讀到的時候，對我是一個強烈的震撼。因為我終於找到答案了。它道出了：學問的本質，數學的本質是什麼？這個本質就是：問答。他雖然研究了二十多年，搞了很多的成果，所謂的成果，但是他卻陷入了困惑，為什麼陷入困惑？因為他不知道他得出的這些結果，究竟能回答什麼問題。這就像我們學習高等數學是一樣的，我們在整天做題目，看書，可是我們看到腦子裡面這些東西，究竟能回答什麼問題。越來越模糊了，那麼於是就陷入了困惑，甚至進入了數學學習的困惑。

愛因斯坦在《物理學的進化》開篇就講，「提出一個問題，往往比解決一個問題更為重要，因為解決一個問題，也許是一個數學上或實驗上的技巧，而提出新的問題，新的可能性，從新的角度看舊問題，卻需要創造性的想像力，而且標誌著科學的真正進步。」

這段話用來描述我們數學學習的過程，同樣恰當。我們可以這麼說，在數學的學習歷程中，提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因為解決一個問題，也許是一個數學上的技巧，而提出新的問題，新的可能性，從新的角度看舊問題，卻需要創造性的想像力，而且標誌著數學學習的真正進步。

康托，20世紀最偉大的數學家之一，集合論的創始人，他說了這麼一句話，「在數學的領域中，提出問題的藝術，比解答的，解答問題的藝術更為重要。」

費曼的老師惠勒說過一句話，「沒有問題，沒有答案」。這句話道出了任何學問的本質，我們所有的學問，所有的知識，都是為了回答問題。但是如果沒有問題的話，如果在我們的課本裡面，在我們的學習過程中，沒有提出這個問題，沒有提出足夠數量的問題，那麼我們在腦袋裡面堆積的那些東西都是學問的細枝末節，甚至是僵死的知識。

費曼的老師這麼說，費曼也是同樣的，費曼20世紀最有名的物理學家之一。費曼在《別逗了，費曼先生》（實際上是個人傳記）這本書里講了他在巴西期間一個教學歷程，在巴西的教學讓他感到很頭疼，如圖片右邊這段話，他說我無法推動他們做到的另一件事，是問問題。」「他們」，這裡的「他們」就是指那些學生，那些大學生。「終於一個學生告訴我其中的原因，如果我在課堂上問你問題，之後大家都會跑來說，你為什麼浪費大家的時間，我們的目的是學東西，但你卻打斷他，問他問題。」費曼對這個現象的評論是，「這是一種打壓別人的壞風氣，事實上大家全都不懂，但他們表現出一幅很懂的樣子，以把別人比下去。」

四、數學學習的九個境界

數學精深訓練有九個台階。

第一個台階是能看懂。

第二個台階是能記住；

第三個台階是會解題；

什麼是能看懂？能看懂，就是能夠懂得數學定義，定理，公式的來龍去脈。一看到這個定理、公式，腦子裡面盤旋的一些問題，我們一一找到答案，我們要從內心裏面去回答，那麼找到的答案越多，做出來的問答越多，我們就懂得的越多，這就是能看懂的含義。

往往是這一步，使得很多人難以入門，一旦我們做到這一點的話，我們馬上就邁上了第一個台階，邁上第一個台階之後，能記住會解題，只要我們把那些最基本的東西給做出來，做一遍，親自動手去算一遍，那麼我們馬上就會跨過第二個、第三個台階。

這樣的話，考一個及格的分數就不成問題了。有不少人把高數的考研目標定為90分，實際上做完剛才所說的這些，每一章，每一節都這麼去做的話，考90分根本不成問題。

第四個台階是熟練解題；

在解題的過程中不斷地進行這樣的有意識的思維操作的訓練，那麼熟練解題也為之不遠了。

第五個台階是會梳理；

什麼是會梳理？剛才已經給大家分享了數學的基本結構是什麼？每一章都在重複同樣的基本結構，把那些知識點都給匯總到這個知識結構裡面，就是會梳理。包括我們每一章都在用什麼樣的運算技巧？大家心裏面有沒有數，這一章我們會用到什麼，什麼樣的運算技巧，能不能1、2、3、4、5、6、7、8，這麼列出來，一是一、二是二的列出來，如果這麼做了，那肯定是會梳理了。

第六個台階是融會貫通；

什麼是融會貫通？比如導數，是從什麼問題引入的？導數的定義，它的嚴格的定義是什麼？它對應的幾何直觀是什麼？導數怎麼推出導數的四則運演算法則？導數的定義和運演算法則又有什麼用？能解什麼樣的題目？如果我們一步步這麼做下來的話，那就是融會貫通了，對這一章，這一節融匯貫通了。

第七個台階是把握數學思維；

什麼是把握數學思維？所謂的數學思維就是一個一個的基本的思維操作，像加、減、乘、除法，各種類型的加、減、乘、除法，像加一項、減一項，像它的定義，為什麼會有這樣的定義？它的問題是什麼？這個定義能解決什麼問題？當我們提這些問題，去找它的答案的時候，按照這樣的思維去訓練的時候，我們就把握數學思維了。

第八個台階是體驗學習的樂趣；

一旦我們做到前面這幾步的話，那數學的學習自然就有樂趣，設想一下，我們面對一塊黑板或者一張白紙，我們從導數的定義開始做起，一下就把這一套全都寫下來了，不用看參考書，從導數的定義一直推出這個導數的運演算法則，解出一些基本函數的導數，然後解出更複雜函數的導數。這裡面能沒有樂趣嗎？當然有樂趣了。而且我們回答了心中的一個又一個的問題，而這些問題呢，它不但可以提高成績，還可以跟其他人來交流，給其他人帶來啟發。

第九個台階是能夠投入，忘我的學習。

達到第八個台階就很容易到達第九個台階了，就是樂此不疲，我們稱之為心流，flow。我們這樣子學習三個小時的數學，感覺時間才過了半個小時一樣。

四、五、六、這個台階邁上去，那麼我們數學考個優秀的成績，考個120分，就不是問題了，如果我們到達了這七、八、九，這三個境界，那麼考更高的成績，像我剛才那個師弟講的，考130分，140多分，那就是完全有可能的了，因為你都覺得數學學習都不是負擔了，不是障礙了，不是痛苦而是享受了，解道難題會帶來巨大的樂趣啊。

五、讀不懂數學怎麼辦？

如果我們到了現在還覺得數學不太容易懂，高數書看起來很頭疼，我們往下看看個例子。

我們看一下小平邦彥的故事，小平邦彥是亞洲第一獲得菲爾茲獎的數學家，小平邦彥經常說自己天資不好，但是他從中學開始，就是那種做事情一絲不苟，全身心投入的人。他回憶自己第一次學習范德瓦爾登的《代數學》，幾乎學不懂；然後就開始抄書，一直到抄懂為止。對於這樣的一個大數學家，他在數學學習的初期，也遇到了巨大的困難，看書看不懂。所以我們經常說，看書看得很吃力，很費勁，這實際上本質上根本就不是個問題。那這個故事給你什麼啟發呢？

有人說「勤能補拙」，沒錯，我也是這麼想的；還有的說「貴在堅持」，也沒錯，這也是這個故事所傳達出的一個重要信息貴在堅持；有的也可能是說「不懂就要抄書」，至少抄書是個方法。還有人說「理解為王」，這也是這個故事講的一個非常重要的一點，從幾乎學不懂，然後最後到懂為止。

就理解很重要，我們對一個我們不理解的東西，怎麼能心生樂趣呢？學問的樂趣就在於解惑，不斷的解惑，這個解惑過程中產生的樂趣，如果我們一直不懂它，自己都認為不懂，那這個樂趣很難產生啊。

那麼往下，跟大家分享一下，我對這個故事的啟發

這故事不斷在給我新的啟發。

首先抄書能抄出數學家嗎？如果抄書能抄出數學家的話，那滿大街都是數學家了。他肯定是帶著問題抄書，邊抄邊解答，直到懂為止，有了足夠多的解答，就自然就懂了。他心裏面的困惑都一一找到了答案，有一些是書上提示的答案，有一些是他根據書上的提示自己獨立推導出來的答案，想出來的答案，那麼就自然懂。

第二是，我們學習數學，必定需要紮實的基本功，這個基本功是什麼？就是剛才講的那個基本的思維技能，但可惜的是許多人不曾掌握這個思維技能，甚至都沒有意識到，我們在做數學的過程中，在不斷進行同樣的思維操作，那個思維操作就是：基本的問答，不斷在做問答，不斷地在做加、減、乘、除法，不斷地在從問題到定義，到定義的性質，到運演算法則，到定理，到定理的應用去解題目，不斷地在進行這樣的或大或小的思維操作，這些思維操作，就是數學思維的基本的技能，也就是我們學數學的基本功。

第三點是，任何技能的學習，任何技能的掌握，必定是先慢後快，我們想這個，小平邦彥去抄書，如果他一本本地去抄，當但數學的文獻浩如煙海，經典著作多得不得了，他如果都是這麼慢慢的抄的話，那得抄到何年何月？正因為他抄的過程中，他不斷地去熟悉和訓練自己的思維技能，任何數學分支都有同樣的結構，一旦熟悉這個技能，那就熟能生巧了。

反之，一旦我們前面的東西沒掌握，認為它很簡單，認為它很顯然，認為它不值得一做，很可能在遇到那個考研題目的時候，我們都沒有解題思路，甚至了解題思路，我們做不對，做不出來，

還有這麼幾個啟發。

第一，不要糾結於有沒有天資，除非努力過。即便是小平邦彥，他學數學的初期，仍然遇到很大的困難，我們在學高數的過程中，遇到困難的時候，看不懂的時候，題目做不出來的時候，經常會自我懷疑，是不是我數學真的就不行啊？我沒有數學思維啊？

不是，不是那樣子的。認知神經科學的研究表明，我們天生下來就有數學思維。嚴格的論證，之後跟大家來分享一下。不要再糾結這個問題了，除非我們努力過。連這樣的數學家都做過這樣的努力，那我們，我們問問自己，我們有沒有做過這個與之相，相當的這個努力。

第二，「如果世界上有奇蹟，那隻不過是努力的代名詞」，我們能解一道題目，中等難度的題目，只不過是由那些基本的知識點，那些基本的思維操作所導出來的。一道更難的題目也是一樣的，我們解了一道很難的題目，會感到驕傲，感到是個奇蹟，那隻不過是我們以前以往點點滴滴的努力累積出來的，就是像積分一樣，一點一點的積累出來的。

第三，沒有絕對懂與不懂，關鍵是我今天有沒有懂得更多。我今天懂了多少，我今天究竟懂了什麼？我今天找到了哪些問題的答案，這是關鍵。包括我們在做一道題目的時候，我做錯了，做錯的話，我有什麼收穫？我做對了，也要問自己究竟收穫了多少？一是一，二是二，三是三，我們有沒有這麼去做？這樣做非常關鍵。

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