物理閑談（三）：蟲洞到底長啥樣？

01-26

Hartle的Gravity一書中給出了一個蟲洞（Ellis wormhole - Wikipedia）的時空度規： ${ m d}s^2=-{ m d}t^2+{ m d}r^2+left(b^2+r^2 ight)left({ m d} heta^2+{ m sin}^2 heta{ m d}varphi^2 ight)$

這個度規的分量不顯含 $t$ ，我們可以把空間部分提取出來：

${ m d}l^2={ m d}r^2+left(b^2+r^2 ight)left({ m d} heta^2+{ m sin}^2 heta{ m d}varphi^2 ight)={ m d}r^2+left(b^2+r^2 ight){ m d}Omega_2$

三維的情形有點複雜，想要一個直觀的印象，我們還是看看二維的情形好了：

${ m d}l^2={ m d}r^2+left(b^2+r^2 ight){ m d}varphi^2$

這個度規所對應的空間結構是旋轉對稱的，因為 $varphi$ 改變時 ${ m d}l^2$ 保持不變，所以我們可以把這個二維時空作為一個軸對稱的surface給embed到一個三維歐氏空間中

考慮三維Euclidean空間及其中的柱坐標系 $left( ho,psi,z ight)$ ，則三維線元 ${ m d}S^2={ m d} ho^2+ ho^2{ m d}psi^2+{ m d}z^2$

這個surface中的每一點在三維Euclidean空間中都有一個坐標 $left( ho,psi,z ight)$ ，且 $ho= holeft(r,varphi ight)$ ， $psi=psileft(r,varphi ight)$ ， $z=zleft(r,varphi ight)$

由於這個surface是axisymmetric的，所以有 $ho= holeft(r ight)$ ， $psi=varphi$ ， $z=zleft(r ight)$

把三個式子代到之前的三維線元表達式中，可以發現，三維空間中，embedded的surface的表面的線元形式為 ${ m d}l^2=left[left(frac{{ m d}z}{{ m d}r} ight)^2+left(frac{{ m d} ho}{{ m d}r} ight)^2 ight]{ m d}r^2+ ho^2{ m d}varphi^2$

對比之前的surface線元，知 $ho^2=r^2+b^2$ ， $left(frac{{ m d}z}{{ m d}r} ight)^2+left(frac{{ m d} ho}{{ m d}r} ight)^2=1$

故 $holeft(z ight)=b,{ m cosh}left(frac{z}{b} ight)$

轉化到直角坐標系中，用Mathematica作出圖像如下圖：

再看看網上的各種蟲洞示意圖

這圖畫的好像是那麼回事……

把上面得到的結果推廣到一個embed到四維空間（注意，是四維空間不是四維時空）的三維hypersurface上，就是三維空間中（準確說是四維時空中，然而這個度規不顯含時間也就不隨時間變化，所以無所謂啦）的蟲洞了

嗯對，就是這個圖

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哎我去，昨晚腦袋糊塗了，圖應該是這樣的：

順便，可以算一下這個蟲洞周圍的物質分布

現在已經知道度規的形式，可以看出，度規張量 $g_{mu u}$ 只有對角分量： $g_{00}=-1$ ， $g_{rr}=1$ ， $g_{ heta heta}=r^2+b^2$ ， $g_{varphivarphi}=left(r^2+b^2 ight){ m sin}^2 heta$

我們知道，聯絡 $Gamma^{alpha}_{ etagamma}=frac{1}{2}g^{alpha ho}left(-g_{etagamma, ho}+g_{gamma ho,eta}+g_{ hoeta,gamma} ight)$

可以計算出（這種東西只能暴算……），聯絡的非零分量包括： $Gamma^r_{ heta heta}=-r$ ， $Gamma^{ heta}_{ varphivarphi}=-{ m sin} heta{ m cos} heta$ ， $Gamma^{ heta}_{ r heta}=Gamma^{ heta}_{ heta r}=Gamma^{varphi}_{ rvarphi}=Gamma^{varphi}_{ varphi r}=frac{r}{r^2+b^2}$ ， $Gamma^{varphi}_{ hetavarphi}=Gamma^{varphi}_{ varphi heta}={ m cot} heta$

有了聯絡，我們就可以計算Riemann曲率張量 $R^{ ho}_{ sigmamu u}=Gamma^{ ho}_{ usigma,mu}-Gamma^{ ho}_{ usigma,mu}+Gamma^{ ho}_{ mulambda}Gamma^{lambda}_{ usigma}-Gamma^{ ho}_{ ulambda}Gamma^{lambda}_{ sigmamu}$

再考慮Ricci張量 $R_{mu u}=R^{ ho}_{ homu u}$

代到Einstein場方程 $R_{mu u}-frac{1}{2}g_{mu u}R=-8pi GT_{mu u}$ 里……

誒……好複雜的計算……不想算了……

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放一個我超喜歡的蟲洞圖片（來源：Wikipedia）