Stochastic Calculus 在現實的 Quant 世界中到底可以幹什麼？

01-26

感覺學了好多隨機計算，除了產品（衍生品）定價，別的根本用不上。求大神明示，隨機過程除了定價還能幹嘛

謝邀。

這應該是一個知乎比較非主流的問題，因為各位知友主要活躍在P measure的世界裡。另外一個很重要的原因是，國內主要可交易資產以線性資產為主，而且國內主要的model也是以現線性model為主。不過這個題目勾起了我的萬千情懷，作為一個以前Stochastic Calculus課的TA，我說說我自己淺薄的看法。

Stochastic Calculus（以後簡稱SC）最早是本科看郎咸平的一本書的序言看到的，他說他自己原來在台灣是個學渣，到了Wharton，聽說SC考得好說明這人不笨，於是狂學狂學，最後考了一個A+。很遺憾我以前本科也是一個半學渣，當時暗自下決心，以後要有機會學這個課，也要證明下自己。

後來在Berkeley的時候，第一個學期就上這門課，當時就有種豪情萬丈的感覺。天天花好幾個小時研究Itos Lemma，連續可積分，連續不可積等一堆亂七八糟的問題。我印象最深的是Barrier Option，Proof相當複雜，由於MFE是一個主要找工作的項目，老師也是建議為了考試背好公式就行，我還是不願意將就，自己做出來一套比較intuitive的proof，花了三天，當時感動得都要落淚了，寫了一篇Alfreds Notes On Barrier Option，直接通過做TA傳給了下一屆的學生（請原諒我一點小小的虛榮）。

最後那一屆包括我有三個拿A+的，老師還寫信來祝賀，以至於後來我面試Chicago一個HFT shop，有個來面試的師兄還問我，你們這屆誰是A+，他說他那時候就是A+，兩個人還在一起非常激動的Bibi了半天。

不過這一系列故事對於我認識SC的實際作用都是然並卵。當時SC對於我就是一種Intelligence的Challenge，和一種數學的美感，我覺得好好修過Real Analysis的人都會有類似的快感。

真的開始懂了，是在我開始研究怎麼Trade Option這玩意兒。

國內的大部分衍生品，或者金融資產，都是線性流的。舉個栗子，就是一個大媽，她買賣個股，也要看一看大盤怎麼個情況。大盤漲了，股票還沒漲起來，應該有點機會，這是一個再簡單不過的線性正相關問題。不管你說這是beta，股票超額算alpha，大媽反正懂這個樸素的道理。

同樣的，期貨呢，不管你是跨期還是跨品種，說白了還是一個簡單的線性相關關係。但是統計中有一種很陷阱的關係就是Spurious Relationship。一個最簡單的例子就是

$y=x^2$

和

$y=x$

在x&>0的domain，這兩個會表現出一定的線性相關，但其實他們之間是明確的非線性關係。如果你拿了一段x&>0的數據倒騰了就開始Trade，等x&<0的時候只會欲哭無淚。

Option的世界，就是這麼的魔性，基本都是非線性關係。一個價格裡面含有Delta、Gamma、Vega（或者Kappa）、Rho還有Theta。對標一個變數，在很小的domain裡面，沒錯，是線性關係，out of the domain，是非線性關係在主導。如果你完全按照期貨的做法去trade Option，結果不能說100% fucked up，至少也是Vega % fucked up。

你可能想到了，哥難道不能算non linear correlation嗎？那麼問題來了，人類對於nonlinear的理解的研究遠遠遜於linear的研究。linear是啥，是光、是電、是人類的直覺、是我們的superstar。nonlinear是啥，是妖、是魔，是月亮的暗面，是上帝來自遙遠地嘲笑。如果本身你不知道兩個時間序列之間的nonlinear關係，比如x和x平方那樣，你會陷入各種local陷進的汪洋大海。

這時候我想起了Merton，想起了Scholes，想起了仙逝的一代大師Black，還有比他們更早提出範式的Edward Thorp。他們用一個很優雅的公式，

$S_0N(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2)$

基於SC，告訴你了，股價S，行權價K，波動性Sigma，到期時間pi，以及無風險r該用怎樣的nonlinear關係組合在一起。不管你怎麼play it，比如把波動性從常數變成基於r和t的函數，但基本的框架就確定下來了。同樣的，基於這個公式，你可以得到一個batch的Option的生命線——Volatility Surface。

如果你好好的研究過SC，你會明白，這個公式不是幾位大師拍大腿決定的，而是有很深的金融學思想在裡面。同樣的，你去一個成熟的市場，把市場報價和BS pricing按照QQ plot的思想畫出來，你會得到一個類似linear regression的fitting line的圖——這說明你基本找到了他們之間的nonlinear關係。

同時，如果你畫出這個圖，發現有一個outlier，到理論價的差距比所有的fraction cost+transaction cost還要高，重複檢查3遍確定自己沒有犯二機器也不是用的假cpu，不要猶豫，不要彷徨，這說明又一個不尊重SC的哥們出了個銷魂的quote，果斷arbitrage之。當然這建立在你是真的懂了SC。

簡而言之，從演算法的角度來說，解決線性關係可以類比為貪心演算法，簡單粗暴。而解決非線性關係就是一個NP複雜度的搜索樹了，而在特定的金融領域，SC就是最強的剪枝。

謹以此向大師們致敬。

題主提到的衍生品定價只是SC在Q-measure下的應用。其實在P-measure下，SC也有很大作用。

舉幾個例子：

1. 做市(Market Making): 做市商在市場中提供買賣報價來提供流動性。想要找到一個「最優」的下單策略就需要藉助SC對資產價格建模，然後通過Hamilton-Jacobi-Bellman equation來找到最優解。

可參考Marco Avellaneda的High-frequency trading in a limit order book。

2. 量化交易(Quant Trading): 傳統的pairs trading尋找一對資產，使得它們的spread為stationary process，然後將Z-score作為買賣信號。然而我們還可以通過對spread運用SC來建立一個O-U process模型，然後根據stochastic optimal control來動態地調整持倉。

可參考Xin Li的Optimal Mean Reversion Trading with Transaction Costs and Stop-loss Exit。

3. 信用風險(Credit Risk): 公司的股權可以看做標的為公司資產的call optin，負債可以看做標的為公司資產的put option。當公司資不抵債時將面臨違約風險。SC可以對公司資產建模來測算違約概率。

可參考Moodys的Modeling Default Risk。

最近公司在複製某投行研發出來的一個指數，仔細一看公式後發現它在算投資組合收益時竟然不是用算數平均，而是用幾何平均算出來的。換句話說，你同時做空一隻股票最多一支股票，最後收益竟然不是r1-r2,而是（1+r1)/(1+r2)-1! 另一個奇怪的地方是，這指數內置自動扣除的手續費比我們從dealer那得到的報價高了十倍。當時就覺得這裡面有詐。

我們決定深究這個問題。一開始都是習慣性的直接拿歷史數據回測，先弄出點數字來再說。結果搞了半天后，得出一大堆模稜兩可的結論。過了兩天我終於受不了這種盲人摸象的搞法了，決定直接上stochastic calculus, 算f=x/y的微分。結果一下子就算出tracking error與做空和做多的資產之間的波動率之間的關係，得到一個非常直觀簡潔的公式（其實就是教科書練習題）。和歷史數據一比，幾乎分毫不差，tracking error和這指數內置的手續費竟然剛好一樣多！大家都不得不開始感嘆投行這群研髮指數的quant們實在是太狡猾了。

總的來說，stochastic calculus給了你一把解剖刀，拿著這把刀。你可以把大多數人為定義的收益給解剖的一乾二淨。

隨機分析是一方面的，其實用的比較廣泛的是把資產價格當初一個XX隨機過程，然後考慮考慮dX。

做固定收益的quant要做利率曲線的時候還是要用到隨機分析的，然後根據市場的數據來calibrate下參數。

rama cont做市場微觀結構和高頻交易方面的論文也用到了很多隨機分析。

還有我們常用的隨機波動率模型。隨機過程和時間序列本來就有千絲萬縷的聯繫，都是關於Xt的分析。

深度更新：我們Q系才不是只有定價！

讀的書能火化的貓數+1之後，這個問題有了新的理解，可以直接反駁題主了！

正常用法：

首先，糾正題主一個錯誤就是：定價模型90%時間都不是用來定價的！！ 一級市場有他們自己的競價報價規則，可能用上了模型，也可能沒有用上。但是不管他用沒用上，只要流通進了二級市場，模型跟定價就沒有關係了。我們乾的更多事情是對參數和模型進行 calibration，揭示價格形成機制，發現風險因素，再和對手方交易的時候增強議價能力。

可以這麼說，大部分時間定價模型都是反過來用的，打個比方我們嘗試用一套顯微鏡，去觀察黑箱子裡布朗運動的特性然後再加以我們自己的理解去核查一些重要的信息。

風險管理：

由於隨機過程可以可以模擬一些資產的屬性，另一個更重要的用途是用來模型風險的情景然後加以控制。原文舉的例子只是一種控制信用模型的方法。實際上，隨機方法在風險模型里用處是非常豐富的：

對於債券：利率模型的隨機過程也不是用來定價的，而是模擬出利率之後我們可以獲得未來每個時間點上的偏久期。這個信息對債券十分重要，因為他控制risk的term structure。由於債券對利率異常敏感，未來的每一個時間點都要把控到位。

regime switch：人們一直以來都會問一個問題：「市場變了怎麼辦？」，基於隨機過程下的regime switch正式研究這個問題的領域。人們嘗試用各種隨機過程去模擬狀態的改變（比如以泊松過程跳至別的狀態），然後會基於這些來進行資產的跨狀態優化或者隨機控制。

「未來」壓力測試：市場風險里也有基於加入隨機因子的動態波動率序列對未來的模擬，在模擬的過程中我可以加入我想要的stress scenario（比如危機時期的標準化樣本分布或者EVT）來模擬我在未來的抗壓能力，以方便糊弄監管者（逃……

奇葩測度：

其實，當初PQ分水是基於兩個測度，OIS（不想再說中性了，誤導人）和市場。然而且不說光利率市場就有T遠期，libor spot 和年金這些常用測度，有些新興市場里和一些特殊需要觀測對象有著奇怪的測度，這些也是我們Q系玩耍的地方。

最普遍的例子，imp vol。大家總覺得這個東西怪怪，好像用一般期權框架不好研究。究其根本原因是，二階矩過程本身有著非常強的隨機性，即使他與一階信息有很高的相關性。證實因為這個原因，近年來才興起了以隨機波動率（SV）而不是一階過程的統計推導為手段的波動率研究法。結果框架一搭，才發現了奇怪的東西，imp vol是有測度的，而且是雙測度！

由於二階矩自身的隨機性，導致了方差和波動率成為了兩個雖然相關，但是非determined的關係（不能由一個的統計特徵推出另一個）。而由於二階矩有著自身獨有的漂移和擴散，導致了一個收益率的波動率竟然會由兩種期望組成：

$E^{G_t}[sigma^2_t] =frac{E[sigma^2_tS_t^2Gamma_{bs}(S_t)|F_0]}{E[S_t^2Gamma_{bs}(S_t)|F_0]}$

我肯可以發現，由於二階矩漂移不受影響，S_t我們可以隨意選則鞅測度。而平方代表的方差信息，也可以和二階的波動率信息分開處理。這種分治的測度有個獨有叫法G_t/P測度。該測度構成了流形波動率過程研究的基石。由於二階矩能夠發現，曲面的傾斜，微笑，平移等諸多有價值的信息，成為了一個專門的領域。

半夜寫完這些心理五味雜陳，我知道自己在精力最旺盛的年齡里燒著熱血進入了一個有些漸漸式微的領域（測度）里。然而，這些信息的價值眾多研究者們都很清楚，他們只是沒有被大家發現而已。在大家都在P測度策略和投資瘋狂賺錢的時候，我們也沒有懈怠，在夜幕里默默磨利了爪子和尖牙，等待著從黑暗中崛起反殺的那天！

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更新：停時模型在資產和時間兩個域上的多模型應用

這裡要補充一塊：在CVA和CDS system里，停時是個很重要的概念（即違約的那個時刻）。這裡我們可以運用一種分離資產和時間這兩個domain的巧妙地方法來模擬停時：
1.我們從市場上calibrate 出了一個 Mtm的h，這個h直接是大家公認的h（產品能賣出去）所以請放心使用

2.根據違約事件的指數分布現在我們的ti 也就是停時變成了未知量

$P_{asset_i}left{default ight} = 1 -e^{-ht_i}$

3.現在P可以套用我們所知的一切資產違約模型（而不用考慮時間），對於多個資產我們可以建立copula矩陣，這裡以t-copula為例：

$P_{asset_i}left{default ight} =Phi _tleft{ LX ight} *sqrt{d/y}$

其中 Fi_t 為標準t分布，X為獨立正態隨機變數矩陣，L為經過Choleskey分解的相關性矩陣，y為自由度為d的卡方隨機變數（我們通過這和個卡方直接控制t的自由度）

4.如是得出的t_i序列可以作為我們的多資產停時序列（對於單個模擬），當然我們需要排一下序sort（t_i)。EAD里的「AD（at default）」就是這麼導出的

第一次被知乎推薦，嚇死寶寶了

提示：來圍觀的童鞋們，這個答案精彩在評論，感謝功底紮實的于飛童鞋傾情參與

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瀉藥

這問題邀的我怕怕噠，都驚動 @袁浩瀚和我家大詩人 @滿願石了自然是不敢瞎答的。但是既然題主在問除了定假能做什麼，pricing下的問題我這個正統Q宗眼裡的risk屌絲就不獻醜了，風險方面里，我這個風險水人還是可以斗膽一try：

在CVA（信用資產調整）體系里的三個部分：EAD（違約敞口），LGD（違約損失），PD（違約概率）。這三個部分中，EAD和PD是需要用到隨機過程。

先說EAD，眾所周知大行對利率是極其敏感，所以會購買互換來對沖自己的利率風險。但是因為未來的利率是隨機，所以無論我是pay fixed 還是 floating在未來都既有可能欠人錢也有可能找人要錢（敞口不確定），所以這個rate自然要一個過程來確定（vasicek，CIR，Hull-white）

光確定了利率還沒完，因為零息債券的價格 $Z(r_t,T-t)$ 是一個t時刻利率和距到期時間的二元函數。而互換的fix和floating這個零息價格所對應的三角矩陣（t和T-t兩個維度）決定的，所以光解出 $r_t$ 的SDE還沒用，還要把對應的Z的PDE解成這個形式： $Z(r_t,T-t)=A(t)e^{-B(t)r_t}$

(順便說，想出這個形式的人絕對是個鬼才，直接把PDE降階成兩個ODE了）

上面這些做完了，別人欠你錢的期望（EPE）才能做出來

PD部分是則是另一套很神奇的hazard rate體系，這裡提出一個問題把，假設t時刻違約概率為 $P(t)$ ,那麼他以時刻t（假設初始時刻為0）為變數的概率密度是個 $frac{dP(t)}{dt}$ 什麼東西?

這個問題非常詭異，但是確是hazard rate體系的關鍵。違約概率密度是在說，一個公司存活（不違約）到t時刻，然後再違約的概率。學過一點點概率論的同學馬上就會發現這句話隱含著一個全概率（活到t和在t違約），條件是活到t時刻。所以，我們可以把這個密度分成兩個部分：

$frac{dP(t)}{dt} =h(t)*S(t)$ ,其中h代表在t時刻違約的密度，S(t)代表到t時刻的存活率。

因為違約事件大樣本小概率的特徵，我們可以讓違約事件服從泊松計數過程，即：單位時間內違約次數恆定為常數h，這個h就是我們的hazard rate。

整套CVA雖然也可以看成是一種定價，但是我們獲得了定價意外的意義就是對敞口的預估和中性測度下違約密度的衡量。前者可以用來管理現金流，後者則可以用來對市場上已有的CDS做Mtm calibration。

@滿願石說的擁抱世界錯覺真的太貼切，不過我更喜歡稱之為「被隨機魔王擁抱」。就像 @袁浩瀚大神說的「nonlinear是啥，是妖、是魔，是月亮的暗面，是上帝來自遙遠地嘲笑」，這個世界上不存在拉普拉斯妖，存在的卻是一個漫天播撒隨機種子的大魔王。當你在非線性的隨機世界裡布朗爬行的時候，他會用魔力緊緊抓住你那隻握著筆的手；當你以為線性的模型擬合的皆大歡喜的時候，他只在背後邪笑著露出了獠牙

最後，波動率的魔王笑：

在electronic market making領域，也可以用上隨機微積分。假設underlying是一個隨機過程，可以是帶漂移項的布朗運動，或者是一個mean reverting的隨機過程。再假設來自client的RFQ是一個泊松過程，其概率密度是一個關於dealer報價的方程。然後建立一個關於PnL的utility function，甚至還可以加上對於residual inventory的一個penalty. 接下來再對這個效用函數求期望的最值，就轉化成了一個Hamilton–Jacobi–Bellman方程。最後用PDE就可以解出一個最優報價了。

可以積分的隨機過程並非只有幾何布朗運動(GBM)一種, 而是一大類半鞅(semimartingale), 你要是能建構足球比分的隨機過程, 且該過程也是半鞅的話, 就能求出各種賭法的賠率(odds)解析解

最有用的是求取隨機過程的本徵函數(characteristic function), 變成以對數本徵函數為基底(bias)的向量空間(vector space), 可以用線性代數來建構各種隨機過程, 及各種隨機微分方程的解析解

還有避險, 隨機微積分對買方來說是用來計算對沖比例的

不一定要用啥衍生品來避險, 資產跟資產間的風險有時也能對沖, 只要你能建模資產間隨機過程的關係, Pair Trading即一例

匿了。學FE，最怕一知半解搞成了玄學。太多FE的學生，把腦子學傻了不知道自己在幹嘛。

回答你的問題：

首先SC除了做pricing以外並沒有什麼卵用。

其次pricing的真正作用不是算價格，而是刻畫資產的風險。

所以SC是一種基於一定假設刻畫你的資產組合風險的工具。

換句話說，SC是基於「既然我也不知道會怎樣那我就不如先簡單假設這樣」的方式來分拆資產風險並指導交易的工具。它做的永遠是「如果原生資產是這樣，那末衍生品價格應該是那樣」這種陳述。至於原生資產是怎樣，SC不會告訴你。所以這個方法用在價格關係的刻畫，優於純粹數據擬合（有無套利要求的邏輯在），但缺陷很多。是一種簡單粗暴的鴕鳥工具。

所以既然工具的原始思想都這麼簡單粗暴我一直搞不懂MFE搞大段大段的proof把正常小孩弄傻而不顧交易的intuition是在搞什麼鬼。數學應用最深的理論物理都不是那樣學的，你說你搞個金融還公理化了？

把SC當工具用吧！剩下的事交給你的交易直覺。

樓上兩位都是談到了brown的sc ，實際上我認為sc是教會了我一種在隨機過程框架下的線性擬合的方法，譬如你某天發現了股價服從一個亂七八糟的隨機過程，我都可以在這個基礎上建立起一套sc的體系，其實就是一個N階變差之間的關係。SC是很美的

首先，隨機分析、布朗運動那套理論是十分優美的，完整的數學體系，有著測度論的嚴謹基礎，學起來既有一定的門檻可以過濾掉水平不行的人，又不至於難到傳統數學理論那樣嚇人，恰到好處，牛逼一些的數學、物理本科生都可以接受。而且發展了這麼多年，各類通俗易懂的教材和習題集汗牛充棟，即使數理基礎稍差的計算機、電子工程等學科的本科生也可以接受。這些是正面的方面。

然而，隨機分析類礦工最大的悲劇在於很難獨立賺錢，畢竟這類櫃檯交易依賴trader， sales， structured.....不像二級市場自動交易礦工可以自己擼起袖子干。雖然很多複雜衍生品交易員也是定價礦工出身，但基本上被策反了，調轉槍頭對準礦工，鞏固自己的地位……

最後，雖然現在有很多交易二級市場期權的表面上也需要BS公式這些，但那只是交易系統的一部分，很多數學基礎很爛的也能做，一個交易系統能否賺錢取決於很多部分，掛撤單啥的也很重要，倉位管理也要，隨機分析反而不辣么重要了……

跪著看完上述大神的回答，大家也能想到了，隨機分析除了給衍生品定價以外，最大的作用就是讓大家對自己的智商有了更深刻的認識！

隨機分析學不懂的，還是別來金工領域被虐了！

做債的來答一發，新年裝個b吧。大家都知道計算credit risk的kmv吧，它的假設就是將企業整體看作期權，利用bs公式和一個微分式子聯立來解企業到期資產價格和波動率的。最後再用它建立default distance。建立dd來預測違約實際上是為q測度和真實世界架起一座橋樑，其實我們大多數時候還是統計學方法用的多但是q測度往往能算出一些很有用指標丟進統計模型里，kmv就是其中典型。它是非線性與線性的橋樑。

很多衍生品pricing 建模就靠這個了。所以花街才很多理論物理的大神。以前大氣方程沒白學的。

所有European Option的定價可以統一表達為

Price(K)=f(x)和C(K,x)的卷積 (1)

其中 f是這隻股票在某種測度下的distribution at maturity T，

K是strike.

學過泛函分析的人馬上看出來這就是一個Fredholm integral equation

Fredholm integral equation

因為在做股票交易的時候我們可能會預測下一個時間點的價格distribution,但是for the most part這個預測出來的distribution會轉化成它的期望從而決定買賣。

有了期權，對同一個underlying，理論上strike K取遍所有實數的時候,你得到一個function, Price(K)

根據Fredholm integral equation 可以從函數Price backoff f ,which is the market implied density at maturity T(e.g Fourier Transform)

Call option 對應 C(K,x)=(x-K)+, taking the twice derivative wrt to K in equation (1) ,we simply get density at K.

從期權定價可以反應市場對未來股價的distribution而不僅僅是期貨只透露它的數學期望。

這就很有意思了，你不單可以betting on stock price還可以betting on distribution of stock price.

另外，implied vol is the wrong number put in the wrong fomula(BS) to get the right price.

真實市場的模型可以很複雜，然而如果都用一個標杆，In terms of European Option這個複雜的模型和一個GBM with imp vol是等價的。

回答到這裡，突然發現我講了一大堆理論的東西並沒有告訴怎麼題主怎麼用SC發家致富哈哈哈

一個這樣的s.d.e：dG=Adt+BdX，

如果沒有BdX，

dG=Adt，就只是一個o.d.e，A就是drift/trend，

比如dS=μSdt，

可以直接separation of variable求解。

而加入了BdX，就引入了diffusion/randomness，

就不再是傳統意義上的微積分，需要引入It?s Lemma和Taylor series才能解，

這個是金數里給asset建模最基礎的框架。

通俗意義上的SC都是基於Wiener Process/brownian motion，而Merton的extension像是Jump-diffusion則是基於Lévy Process

BS，Vasicek，Cox-Ingersoll-Ross等一眾模型再到closed form solution都是SC運用的結果。

現在有了計算機，很多的東西都能approximation，simulation，visualization，iteration，recursion但我們為什麼還要去苦苦糾結於closed-form expression呢？

正所謂「愛美之心，人皆有之」。

PS：哦對還有關於金融里「玄學」的問題，實際上玄不玄關鍵在於能否去量化概率，但事實上任何P&<1的東西都算玄學……

這個問題需要看你想進入什麼性質的機構。如果你想進入買方，那麼大多數用到的是統計，如現在很熱的機器學習。這些機構大多都是p