波波夫 (POPOV)超穩定性理論該怎麼理解？
是否有直觀的描述呢？在物理世界怎麼理解？
概述
概括地說，超穩定性描述了系統的一種特性，它要求當系統的輸入限定在所有可能輸入集合的一個子集時，系統的狀態向量應保持有界[1]。對於連續時間線性定常系統，超穩定性成立的條件有兩個：1）輸入輸出積分滿足Popov積分不等式，2）傳遞函數矩陣滿足正實性。這兩個條件非常強，因此一般不直接使用超穩定性理論判斷線性定常系統的穩定性，而常常應用在，由線性正向環節和非線性反饋環節構成的閉環系統的穩定性分析中。這種系統中，用Lyapunov穩定性理論分析時，V函數一般不好找，而Popov穩定性理論則有一般性方法，尤其適用於模型參考自適應系統的設計。這時，第一個條件中，對線性正向環節輸入輸出乘積積分的限制，實際上轉化為對非線性反饋環節輸入輸出乘積積分的限制。
以下詳述。
Popov超穩定性描述
考慮連續時間線性定常系統， ，輸入為u，輸出為y，狀態變數為x，假定(A,B)完全能控，(C,A)完全能觀，則上述狀態方程為系統最小實現，且傳遞函數矩陣為G(s)=D+C(sI-A)-1B。以下討論基於此。
超穩定性描述了系統的一種特性，它要求，當系統的輸入u限定在所有可能輸入集合的一個子集時，狀態向量應保持有界。
那麼，輸入u有何限定呢？需滿足對所有的T， ，其中
表示依賴於初始狀態
的正常數。
然後，狀態向量如何保持有界？對於上述滿足限制的任意輸入，存在正常數K，使狀態向量滿足 。如果是漸近超穩定，則狀態向量趨近於零向量。
正實性概念及定義
論及超穩定性，不得不提正實性。正實性概念，最初是在網路分析與綜合中提出來的，數學上的正實性的概念與物理上的無源網路的概念密切相關。由無源元件如電阻、電感、電容及變壓器等構成的網路，總是要從外界吸收能量，因此，無源性表示了網路中能量的非負性，即無源網路不能自身產生能量[2]。
用數學表述為，對於某一有理分式矩陣G(s)，如果是正實函數矩陣，則要求1）在右半開平面，G(s)的每個元素都是解析的，即每個元素在右半平面都沒有極點；2）對於右半平面上所有的s，是半正定的Hermite矩陣。嚴格正實函數的定義類似，不同之處在於要求右半閉平面。
正實性引理
正實性引理是說，如果系統為連續時間線性定常系統，則上述正實性的數學表述有等價表述。
系統的傳遞函數矩陣為正實函數矩陣的充要條件為，存在對稱正定矩陣P和實矩陣K和L，滿足 為嚴格正實矩陣，則除了上述條件，還需存在對稱正定矩陣Q，滿足
。
Popov超穩定性定理
若系統的輸入輸出乘積滿足如上積分值的限定，則系統的傳遞函數矩陣為（嚴格）正實函數矩陣，等價於系統是（漸近）超穩定的。該定理實際上就是對超穩定性的成立提出了兩個條件。
如何理解
關於Popov的超穩定性，定義描述、定理證明都挺複雜，而且不太直觀，因此我只定性地說明其本質，希望幫助你理解。
1） Popov超穩定性本質上屬於一類特殊的穩定性。特殊性體現在兩方面，其一在於對輸入輸出積分的限制，其二在於對傳遞函數矩陣的正實性要求。系統的穩定性則依然體現在狀態向量的有界性，漸近超穩定性依然描述的是狀態向量趨近於零的特性，這與我們平時所說的Lyapunov意義上穩定性與漸近穩定性的含義是完全一致的。
2） 實際上，若傳遞函數矩陣嚴格正實，則可知存在對稱正定的矩陣P和Q滿足 ，而這恰好是Lyapunov漸近穩定的充要條件，因此這說明，如果傳遞函數矩陣嚴格正實，則系統漸近穩定（反之不一定成立，如G(s)=1/(s^2+s+1)漸近穩定但非正實）。這一點也能從物理機制上理解，嚴格正實說明系統無源且消耗能量，因此在零輸入情況下，系統儲存的能量是有界的且逐漸趨於零，這說明系統是Lyapunov意義下漸近穩定的。
3） 再反觀上述超穩定性定理，漸近超穩定等價於，輸入輸出積分限制條件下傳遞函數嚴格正實。實際上，從2）中可以看出，傳遞函數嚴格正實已經足夠說明系統漸近穩定！那為何還要對輸入輸出積分作限制呢？
3） 為什麼要對輸入輸出積分做限制？從正反兩方面理解：
第一，Lyapunov漸近穩定性是定義在自治系統上的，即系統輸入為零，考察在某一初始狀態下的狀態軌跡的有界性與漸近性。那如果考慮系統輸入呢？實際上，若系統完全能控且完全能觀，則漸近穩定性等價於BIBO穩定性，也就是說有界輸入下，輸出一定有界，而且狀態也必然有界。那麼，如果輸入不滿足有界性呢？例如在某些時刻是衝擊函數，狀態是否有界呢？Lyapunov穩定性理論回答不了這個問題，但Popov理論可以。即只要輸入輸出的積分滿足條件，系統就是穩定的。也就是說，Popov穩定性允許系統某些時刻的輸入存在無窮大的情況，但整體上的積分仍需滿足有界性。
（文獻[1]提到，若系統傳遞函數為正實的，則系統僅由無源元器件組成，只要輸入輸出和狀態向量均選取合理，則輸入輸出的積分能夠描述注入系統的能量大小，而狀態向量（歐式範數的平方）能夠描述系統某時刻儲存能量的大小。因此，限制注入系統能量的大小，就可能使得系統任意時刻儲存的能量有界，而不是趨向無窮大，即狀態向量有界，即系統穩定。）
第二，實際上，超穩定性理論要解答的問題並非上面那樣簡單。一般地，系統中總含有非線性部分，因此若將系統劃分為線性定常部分和非線性部分，並且前者位於正向環節，而後者位於反饋環節上，這時Popov超穩定性理論非常適合於分析這類系統的穩定性。正向環節超穩定成立的條件：輸入輸出積分限制+傳遞函數正實。在閉環系統中，第一個條件可轉化為對非線性反饋環節提出的要求，即非線性反饋環節的輸入輸出積分有所限制。這時，如果正向環節滿足正實性，則是超穩定的，因此閉環系統就是穩定的（超穩定）[3]。這在模型參考自適應控制系統的設計中非常有用！
綜上，Popov超穩定性只是一種特殊的穩定性，不同於BIBO穩定或Lyapunov穩定，限制輸入是所有可能輸入的一個子集，但允許輸入和輸出在某些時刻無界。超穩定性成立條件很高，因為傳遞函數矩陣滿足嚴格正實性，則必然滿足漸近穩定性，反之則不一定成立。Popov超穩定與Lyapunov穩定沒有明確的包含關係，前者考慮輸入輸出，後者只考慮自治系統本身。當然若系統完全能控能觀，則Lyapunov穩定等價於BIBO穩定，但仍限於有界輸入。總之Popov穩定性理論因為在分析系統本身的同時考慮輸入輸出，因此可應用於非線性（線性亦可）閉環反饋系統中模型參考自適應的設計中，一般不直接使用它分析系統的穩定性。
參考文獻：
[1] Anderson B D O. A simplified viewpoint of hyperstability[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1968, 13(3):292-294.
[2] 柴天佑, 岳恆. 自適應控制[M]. 北京: 清華大學出版社, 2016. 147-150.
[3] 朗道, I.D.). 自適應控制:模型參考方法[M]. 北京: 國防工業出版社, 1985.
波波夫超穩定性定理大意是其反饋矩陣的輸入輸出在每一個瞬間的乘機都是穩定不超調的，波波夫在這基礎上擴大了範圍即在小的時間段內超調但在大的時間段內是穩定的———————————————————————先佔個位置，最近剛接觸波波夫，等我徹底明白了再來回答
波波夫超穩定性的超漸進穩定和自動控制原理中的穩定性有什麼關係？
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