預備篇：纖維叢上的聯絡(下)

01-26

今天我們繼續磨洋工……呃不，我們繼續來看纖維叢上的聯絡。

手機打不了公式~>_<~好桑心……

1，纖維叢的定義能帶來什麼？

下面來看一下纖維叢的定義能夠直接誘導出什麼？

（1）對於矢量叢來說，矢量叢的切空間自然存在著一個豎直子空間。這個子空間同構於纖維的切空間。

（2）對於主叢來說，主叢的切空間自然存在著一個豎直子空間。這個子空間同構於纖維的切空間。

（3）主叢的纖維是Lie群，利用主叢的定義我們還可以直接誘導出基本矢量場的概念。

具體來說：

a，結構群G的Lie代數，在其實誘導出一個左不變矢量場，左不變矢量場誘導出一個單參子群。

b，然後，考慮主叢定義中結構群G在叢流形P上的右作用，結合結構群上的單參子群，可以誘導出纖維上的一個單參數微分同胚群。

c，這個單參數微分同胚群誘導出的矢量場就是基本矢量場。

d，主叢局域平凡中的微分同胚Su，它誘導出的推前映射正是將纖維上基本矢量場變為結構群上左不變矢量場的映射。

e，當然，關於基本矢量場還有幾個很重要的性質，這裡打不了公式，下次用的時候再說啦。

(字丑勿噴)

2，矢量叢上的聯絡。

我們上次看到，對於一個矢量叢，我們只要在r維底流形上定義了導數算符，叢流形E上就自然可以得到一個r維光滑分布，叢流形每點切空間的水平子空間同構與底流形的切空間。

那麼現在考慮這樣一個問題，我們如果在叢流形上每點「欽定」一個水平子空間，反過來能不能給出底流形上的一個導數算符呢？

答案是：可以的。

既然如此，我們要微分張量場，不一定要在底流形上定義導數算符。在叢流形E上「欽定」水平子空間也是極好的。

3，主叢上的聯絡。

有了上面的鋪墊，主叢上聯絡的概念也就可以很自然的給出了。

叢流形P的切空間每點自然有豎直子空間，這是主叢的定義自然引出的(不用欽定其他東西)。

那麼，對於主叢我們也可以「欽定」每點切空間的水平子空間。這就是主叢上的聯絡。

對於矢量叢，我們可以在底流形上「欽定」導數算符；也可以在叢流形上「欽定」水平子空間。

對於主叢，我們可以直接「欽定」水平子空間，那能不能用其他等價的方式來「欽定」呢？

答案是：可以的。

在這裡，主叢上的聯絡有三張等價的定義方式，其他兩種「欽定」方式和這裡直接「欽定」水平子空間是等價的，一個要用到局域平凡的概念，一個要用的前面說到的基本矢量場。下次我們就來仔細看一看這三種主叢上聯絡定義的關係。

這次就先到這裡吧，唔~(︶︹︺)