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數學矩陣計算科學

有矩陣A, A^n=E求A?

01-26

或者如何判斷對矩陣A是否有n使A^n=E

對於問題1，使得 $A^n=E$ 的矩陣 $A$ 不唯一。構造方法參考問題2的回答。

對於問題2，有下面的命題：

存在正整數 $n$ 使得 $mathbb{C}$ 上的 $k$ 階方陣 $A$ (即 $A in mathbb{GL}_{k imes k}(mathbb{C})$ ) 滿足 $A^n=E$ 的充要條件是 $A$ 可以對角化，且 $A$ 的每個特徵值 $lambda_m$ 都滿足 ${lambda_m}^n=1$ . 證明概述如下：

注意到 $x^n-1$ 是矩陣 $A$ 的零化多項式。而在 $mathbb{C}$ 上我們有

$x^n-1=prod_{m=0}^{n-1}left(x- e^{frac{2pi m i}{n}} ight)$

而對於 $p eq q$ , $left(x- e^{frac{2pi p i}{n}} ight)$ 和 $left(x- e^{frac{2pi q i}{n}} ight)$ 互素，因此由定理知：

$ext{Ker}left(A- E ight)oplus ext{Ker}left(A- e^{frac{2pi i}{n}}E ight)oplus ...oplus ext{Ker}left(A- e^{frac{2pi (n-1)i}{n}}E ight) = V$

其中 $V$ 是全空間。

因此，矩陣 $A$ 在 $mathbb{C}$ 上可以對角化，且每個特徵值 $lambda_m$ 都滿足 ${lambda_m}^n=1$ . 必要性成立。

充分性顯然，不證。

所以，要判斷對於某個矩陣 $A$ 是否存在 $n$ 使得 $A^n=E$ ，只要嘗試將其對角化，看是否存在正整數 $n$ 使得它的每個特徵值 $lambda_m$ 都有 $e^{frac{2pi m i}{n}}$ 這樣的Pattern就可以了。

以上。

看（x^n-1)是否整除矩陣的最小多項式，參見凱萊-哈密爾頓定理。

這不是一個簡單的問題，在credit risk模型裡面已經有許多關於這個問題的研究。參考這篇paper：

Estimating continuous time transition matrices from discretely observed data, Author: Yasunari Inamura

這篇paper總結了已有的主要方法。

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※（一）矩陣乘法
※【矩陣的乘積/複合變換】- 圖解線性代數 05
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