黑洞熵到底是個啥？

藉助作者今天的一個小小的回答：

黑洞的熵是個什麼樣的情況？ - 蕭半楊的回答

整理完成此篇文章，並且和前兩篇構成一個小小的系列，簡單介紹一下黑洞熱力學

被黑洞吸收的的物質有機會逃生嗎? - 蕭半楊的文章 - 知乎專欄

黑洞是否旋轉？又是否無盡旋轉？ - 蕭半楊的文章 - 知乎專欄

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1972年，Jacob Bekenstein（雅各布·貝肯斯坦）在《物理學評論》發表了黑洞熱力學研究史上里程碑式的論文《黑洞和（熱力學）第二定律》（J·D·Bekenstein，「Black holes and the second law」，NuovoCimento Letters 4:737-740，1972）。

Bekenstein在論文中指出：

「黑洞物理學及熱力學之間存在有很多相似之處，最明顯的是黑洞表面積和熵的行為之間的相似性；這兩個量都不可逆增加」

基於該考慮，如果黑洞本身不違反熱力學的基本規律。

那麼黑洞熵會正關聯表面積面積而增加。

隨後Bekenstein提出，黑洞熵就是它的表面積除以普朗克常數平方再乘以一個無量綱數。

得到了一個乾淨漂亮的表達式：

這個表達可以解讀為越大的黑洞熵越大，而且和表面積成正比。

由於信息和熵之間密不可分的關係，這篇論文也成功地且精確描述了一個物理系統至量子層級的最大需要信息量。

這也顯示：要精確描述一個佔據有限空間並只擁有有限能量的物理系統，只需要有限的信息量。

今天我們稱之為「Bekenstein上限」。

其中是熵，是Boltzmann常數，為半徑，是包含任何靜止質量的總質能，為Planck常數（本來應該用Dirac常數，無奈Tex打不出來）

雖然引力在其中扮演極其重要的作用，但並沒有出現萬有引力常數。

如果用二進位信息表示

其中表示信息含量，用bit表示了包含的量子態。

式子中的則來自自定義信息量為量子狀態數目的自然對數值，若用質能等價定理，該上限可以表示為

其中m是系統質量，單位是公斤。

自從Bekenstein提出黑洞熵理論後，Hawking一度因為熵和溫度的關聯性而拒絕相信。

然而兩年之後霍金意識到，由於量子力學的不確定性原理，黑洞真的是會釋放出一點點輻射的，並且滿足黑體輻射的公式，即Hawking輻射（鏈接:被黑洞吸收的的物質有機會逃生嗎? - 蕭半楊的文章 - 知乎專欄）。

最初，Bekenstein認為表面積和熵含量正比例係數接近

在1974年，劍橋的Hawking提出Hawking輻射後，證明了Bekenstein的猜想，確認了黑洞能量、溫度和熵之間的熱力學關係。

同時修正比例係數為

此公式被稱為Bekenstein-Hawking方程（BH即Bekenstein和Hawking）

使用Bekenstein上限求到的最大熵含量正好和Bekenstein-Hawking方程求到的黑洞熵相等。

直接促進了全息原理的發展。