偏微分方程的瞬態解在時間趨於無窮時會收斂到穩態解嗎？

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偏微分方程瞬態解和穩態解的關係

謝邀：不是，別說偏微分方程，甚至常微分方程也不能保證這一點。

我們首先討論一個簡單的情況，對於一個偏微分方程 $u_t-L u=f(u)$ ，或者其他自治系統都可以用動力系統的語言來刻畫，這裡的自治的意思是，每個點「 $u_0$ 」在時刻 $t_0$ 之後的狀態完全由 $u_0$ 決定，而和時間 $t_0$ 無關的意思。可以通過動力系統的語言把它寫成 $S_t u_0:=u(t,u_0)$ , 在這個情況下， $S_t：X o X$ 是像空間 $X$ 中的非線性運算元。這個運算元族是一個幺半群。而且滿足

你沒有定義「穩態」在你的腦子是什麼。但是在動力系統中最接近的概念是「平衡點」，也就是 $u_0in X$ 使得 $S_t u_0=u_0 quad forall tgeq 0.$

很可惜，現實中別說偏微分方程了，就是常微分方程這個也是不一定能做到的。

偏微分方程中「耗散性」強的方程是可以做到的。比如形如這樣的方程

$u_t-Delta u= f(x)$ ,

我們可以通過運算元半群，把解寫成 $u(t)=e^{Delta t}u_0+int _0^t e^{Delta(t-s)} f ds$ , 當 $t o+infty$ , $u(t)$ 會趨於 $-Delta u =f(x)$ 的解。當然了，某些特殊非線性偏微分方程也可以得到類似結果，比如下面這個刻畫森林生態模型的方程族

可以證明這個方程在長時間後會趨於平衡點。

很可惜，大部分偏微分方程動力系統不具備這樣的性質。我們考察一下下面這個哈密頓系統：

這個系統畫出來是這樣的：

雖然它不會穩定到一個「點」，但是它可以「穩定的」趨於一個空間中的8字。於是，我們就思考了，能不能用更一般的概念替換「平衡點」。這就是「吸引子」了。也就是我們定義一個像空間 $X$ 中的

集合 $A_1$ ，這個集合是動力系統的「不變集」，也就是如果我們拿出 $u_0in A_1$ , $S_t u_0in A_1quad forall, t>0$ .

同時，對於任意一個有界集合 $B$ ，通過充分長的時間，這個 $A_1$ 可以吸引 $B$ 。完整的數學定義如下：

如果這種吸引的速度是指數的，我們可以說這個吸引子是指數吸引子。很多偏微分方程是有指數吸引子的。比如，下面這種模型：

當 $f,g$ 足夠好的時候，這個方程是可以有吸引子的，甚至是平衡點。比較常見是下面這種

或者這種：

顯然不一定.....

對於線性方程也許有類似的結論，但是非線性方程中有一些特殊的現象發生，導致方程在t趨於無窮的時候根本不會收斂到穩態解。

拿Navier-Stokes舉例。比較常見的是周期解（低雷諾數的卡門渦街等），周期解自然不趨於任何穩態解。複雜一些的可能會有混沌解（turbulent channel，turbulent jet），混沌解中解軌跡在相空間中稠密，t趨於無窮也不可能收斂到穩態解。

個人的經驗是帶有強耗散性的方程在t足夠大可以達到穩態解，耗散較弱甚至無耗散的方程的解通常不趨於steady state。但是理論層面感覺說不清楚，還是要等高人指點。

對你問題里概念的所指有些困惑。

如果微分方程有解，瞬態解transient solution和穩態解steady state solution，難道不是分別指的是解裡面時間趨向無窮時收斂於0的項的總和，和剩下不隨時間變化的吸引子項嗎……如果我理解的沒錯，按照定義，只要能夠定義瞬時解，系統最後必然收斂到穩態解啊。

如果微分方程沒有穩態解的話，瞬態解又是怎麼定義的？比如經典的捕食模型，Lotka–Volterra equations吧，並沒有吸引子。這時候「瞬態解」和「穩態解」是什麼呢？

僅僅個人經驗：

在已經得到收斂解的情況下，在無窮遠處會繼續收斂，因為已有的誤差已經固定了，在無窮遠處沒有引入新的誤差。

半線性拋物方程初邊值問題整體解收斂到穩態解的問題可以參考一下83年Annals上L. Simon的工作，將有限維的Lojasiewicz不等式推廣到無限維，對於非線性項關於未知函數實解析的情況，如果半線性拋物方程存在一致有界的整體解，則隨著時間趨於無窮大收斂到某個穩態解。之後有很多推廣工作，例如對具有耗散的半線性波方程，耦合方程組等等。