標籤：

数学物理学高等數學

淺談C-R條件

01-26

如果複變函數 $f(z)=U(x,y)+iV(x,y)$ 為解析函數，那麼它一定滿足 $C-R$ 條件，即：

$u_{x}= v_{y}$ ； $u_{y} =-v_{x}$ ，下面從三個角度來簡單的談一談 $C-R$ 條件。

1，將 $u$ 和 $v$ 都看做靜電勢：

顯然 $u$ 和 $v$ 都滿足拉普拉斯方程，即：

$u_{xx}+ u_{yy} =0$ ， $v_{xx} +v_{yy}=0$ ，證明當然很好證明啦。

$u_{xx}=v_{yx}$ ， $u_{yy} =-v_{xy}$ ，所以， $u_{xx}+ u_{yy} =0$ ，同理可證： $v_{xx} +v_{yy}=0$ ，

2，將 $u(x,y)=C_{1}$ 看做等勢線， $V(x.y)=C_{2}$ 即為電場線：

下面用 $D$ 表示哈密頓運算元，

$(Du)cdot (Dv)=u_{x} v_{x}+ u_{y} v_{y} =0$ ，可見， $u(x,y)=C_{1}$ 與 $v(x,y)=C_{2}$ 正交，故可將其中一個看做等勢線，另一個即為電場線。

實際上，給出等勢線，電場線也就確定了下來。這反映了解析函數實部與虛部兩個二元函數的高度聯繫，只要知道其中一個，另一個也就確定下來了。

3，將 $u$ 和 $v$ 看做電場強度的分量：

給定兩個二維平面上的電場： $E_{1} =(u,-v)$ ， $E_{2} =(v,u)$ ，根據靜電場的環路定理有：

$D imes E=0$ ，具體來講：

對 $E_{1}$ 而言， $D imes E_{1} =0$ ，即： $u_{y} =-v_{x}$ ，

對 $E_{2}$ 而言， $D imes E_{2}=0$ ，即： $u_{x} =v_{y}$ ，

可見，這兩電場的旋度為零等價於 $C-R$ 條件。

實際上，這種理解方式對應著複變函數積分中的柯西定理，複變函數的積分實際上可以理解為兩個第二型曲線積分，即：

$int_{L}^{} f(z)dz=int_{L}^{}(udx-vdy)+i int_{L}^{} (vdx+udy)=int_{L}^{}E_{1}cdot dl+i int_{L}^{} E_{2}cdot dl$ ，

完啦，這次的沒有啦╮(╯_╰)╭

下一次，「主纖維叢及其伴叢」得趕緊把挖了的坑填完啊~~~/(ㄒoㄒ)/~~

推薦閱讀：

※如何高效學好數學？
※數學在金融中的具體如何應用？
※學習人工智慧需要哪些必備的數學基礎？
※四元數——旋轉

TAG:高等数学 | 物理学 | 数学 |