射影幾何里「第四調和點存在性」與哥德爾不完備定理的關係是什麼？

01-27

「The fact that the existence of a fourth harmonic element has to be accepted as an axiom in a two-dimensional structure while it can easily be proved in a three-dimensional was to him the simplest illustration of Godels great theorem.」
這段話是薛定諤在《生命是什麼》書後附的自傳里的一段話，大意是一位對他很有啟發的數學教授Gustav Kohn告訴他，「（射影幾何里的）第四調和點在二維空間里的存在性不可證，但是在三維空間里的存在性可證，這是哥德爾大定理（不完備定理）最簡潔的例子」。
請問這段話是什麼意思？

我印象中驗證第四調和點的良定義性需要使用Desargue 定理，而後者在2維是一個獨立的公理（在3＋維卻能直接被其它公理導出），應該說的是這件事情吧

謝邀。

我並不知道「包含算術體系的公理體系內的不能證明也不能證偽的命題」是不是就是哥德爾定理的體現，如果是的話，那麼Goodstein定理在Peano算術、連續統假設在ZFC也是這樣的例子。我怎麼覺得這兩個也很簡潔呢～。不過薛定諤也不是做數理邏輯的，那個教授大概是？主要不做數理邏輯講這種話題難有權威性。。

哥德爾不完備定理是說，一個相容(即推不出矛盾)的公理系統，不可能證明自己的相容性。而這段話中提到的「the great theorem」應該是這個定理的一個推論：一個相容的公理系統中存在既不能被證明也不能被推翻(即證明反面)的命題。

射影平面就是一個公理系統。它自身不能證明第四調和點的存在性，但是也不能推翻它：因為引入三維空間就可以證明它，如果在射影平面公理系統中能推翻，那就會導致一個矛盾。（當然，我們假定射影平面的公理系統是相容的。否則的話，數學本身就該是不相容的了。）