在勝率50%的情況下，如果是否進行比賽可控，凈勝一場的幾率是否會無限增大？

01-26

設同學a有一件打掃任務，ta想擺脫這個任務
ta找到另一個同學b，與ta玩一個拋硬幣遊戲，勝率是50%。若贏，則b額外做a的任務，若輸，則a額外做b的任務
當a贏了b（50%），a無任務，停止遊戲。若a輸給b，則a有兩件任務，此時a去找c和d，再玩這個遊戲，連贏兩人幾率是50%*50*50＝12.5%
此時a無任務幾率為62.5%，以此類推
問題來了：若a無限玩下去，那麼a不用打掃幾率會不斷增加，所以a應該玩下去，總會不用打掃

問題一：這個演算法是否正確？
問題二：若正確，a贏的極限概率是多少？
ps：本人剛上高中，這是班上同學提出的，當時老師同學都一臉蒙蔽。我覺得有問題，就是不知道問題在哪，畢竟知識有限，還望大神請教。

這就是帶單側吸收壁的隨機遊走問題

一開始A處在x=1的位置，有50%的概率往左走（贏別人一局，讓別人做一件任務），有50%的概率往右走（輸別人一局，幫別人做一件任務），如果A到達了x=0的位置就停止移動

假如進行無限次遊戲，A到達x=0的概率是1。不過，由於A不可能進行無限次遊戲，在有限的情況下，A只能以一個較大的概率不用做任務，但是當A沒能成功不做任務時將會面臨做很多個任務的情境。實際上，由於每次遊戲是公平的，所以A將要進行的任務的期望數量始終為1

冒昧補充一下最高票答案。我記得數學期望值不是高中教學內容。

離散隨機變數的數學期望值：

假如有一個離散隨機變數X，它的值為a1的概率為p1，值為a2的概率為p2......值為an的概率為pn (p1+p2+...+pn=1)，

那麼X的數學期望值=a1×p1+a2×p2+...+an×pn

比如擲一個骰子的數學期望值是

1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3.5

回到這個問題，一步步分析。我們把第i次玩的時候的數學期望值即為Ei

【1】一開始，a要做1件任務。任務數量的數學期望值 E0=1

【2】和b拋硬幣之後，a有1/2的概率要做0件任務，1/2的概率要做2件任務。數學期望值 $E1=frac{1}{2} imes 0+frac{1}{2} imes2=1$ ，沒變。

【3】所以a有1/2的概率需要去找cd拋硬幣。此時a有1/4概率連贏兩人（要做0件任務）、1/2概率一輸一贏（要做2件任務）、1/4概率兩連輸（要做4件任務）。在a需要去找cd拋硬幣的情況下，任務數量的數學期望值 $=frac{1}{4} imes 0+frac{1}{2} imes 2+frac{1}{4} imes 4=2$ ，也就是說a依然需要做兩件任務，在這個情況下的數學期望值沒有改變。

所以總體的數學期望值 $E2=frac{1}{2} imes 0+frac{1}{2} imes(frac{1}{4} imes 0+frac{1}{2} imes 2+frac{1}{4} imes 4)=1$ ，也沒有變。

【4】如果看到這裡還不理解，可以自己推一推E3。我懶（葛優癱.jpg）

可見，不管怎麼玩，a的任務數量的數學期望值都是1

當然，這個演算法是正確的。極限概率我猜是1，正在想辦法證明。

剛剛寫了個程序，運行結果如下：

turn:1、0.625

turn:2、0.6953125

turn:3、0.741729736328125

turn:4、0.7750815008766949

turn:5、0.800375666500635

turn:6、0.8203006037631677

turn:7、0.8364465402671086

turn:8、0.8498214073624079

再之後就因為數據接近double的極限而算不粗來了。我還是乖乖找數學證法吧

依我之見，理論上演算法成立。如果遊戲能無限進行下去該同學確實是可以雙手叉腰當監工的。（給點面子把下面看完再走好嘛?_?）

這個問題有點兒像聖彼得堡悖論，最大的不同在於：如果某次失敗不會終止而是任務數加一還可以繼續。

但我覺得與聖彼得堡悖論類似之處是：心理上的影響。當任務達到一定數量的時候，比如當該同學深知：如果再輸一次得到的任務量是不可能在正常放學之前完成的，此時的風險不再是付出時間完成任務而是威脅到回家後的生死存亡的時候，（極端一點設輸掉的收益是負無窮）該同學只要不是賭性大發，就會停止遊戲。

PS：一點愚見拋磚引玉如有不妥還望各位大神不吝賜教

PPS：我覺得標籤貼博弈論好像不太合適建議改成隨機過程鞅之類的(☆_☆)

和賭場一樣，難道你永遠將全部賭注押在一個50%的地方，難道你永遠不會輸嗎？事實是，如果你帶著兩個任務和c去賭，如果c任務和你一樣大，他不會和你賭50%概率的。他會要求你要連贏兩次才能和他換

問題在於，有可能輸著輸著最後要把班級大家的任務全部完成。如果有無限多的人的話沒得說。

就好比我帶著無限多的錢去賭場，就能贏回無限多的錢一樣，實際上這麼想的人最後都輸光了。。。

我舉個例子，就以硬幣為例。我賭一元正面，輸了我賭兩元，再輸我賭4元，8,16,32…以此下去。我終有一次是會贏的對吧。那麼我贏得一元的概率是百分百吧。

這是個騙局，是假像。因為每一次賭博正反概率都是百分之五十。與前面的任何因素都無關。擲得正面的概率依然是百分之五十。

如果你這樣下去賭本只會越來越大，大至有一次對方覺得賭注過大不想庄了。如果你能強迫他庄的話，一開始直接搶就行了，何必費這麼多時間。

其實你的同學給出的概率本來就有問題，當a找c d對局的時候，已經與a的對局無關了。所以這兩個概率不能相加。