3人聚餐後，想玩一個遊戲來決定誰買單，這個遊戲公平嗎？

01-25

道理我都懂，我想說的是，人如何做到按概率出正反？還是全隨機？

不公平啊如果一個人吃的很多血都跑到胃旁邊來了大腦不靈活啦

如果從博弈論的角度來看，也許直接假設三個人出手心手背概率相同是不合理了。設A,B,C出手心的概率為 $p_A, p_B, p_C$ ，出手背的概率為 $q_A, q_B, q_C$ 。那麼，A贏的概率為 $p_Ap_Bp_C+q_Aq_Bq_C$ ，B的概率為 $p_Aq_Bq_C+q_Ap_Bq_B+q_Aq_Bp_C$ ，C的概率為 $p_Ap_Bq_C+p_Aq_Bp_C+q_Ap_Bp_C$ 。然後ABC就需要最大化自己的勝率。那麼對A， $p_A$ 就需要滿足，

$p_A=left( egin{array}{rl} 1,p_Bp_C>q_Bq_C\ 0,p_Bp_C<q_Bq_C\ [0,1],p_Bp_C=q_Bq_C end{array} ight.$

相應的我們也可以得到 $p_B, p_C$ 需要滿足的條件。如果沒有理解錯的話，任何滿足這些條件的解應該都是一個納什均衡。但是如果有多個解的話，我也搞忘了應該怎麼解釋。

現在我還沒去解這個式子，不知好不好解。但是這麼看的話三個人出手心手背的假設應該不是一個穩態，因為不滿足 $p_B$ 應該滿足的條件。

實在是太晚了，等起來再想想吧。

先懟一下「b一定手心，c一定手背」這個答案吧，既然假設三人絕對聰明，那每人隨機出的概率是a1/4，b,c各3/8。若b一定手心，c一定手背，b，c付錢概率各變成1/2。由於A是隨機出，b,c的這個策略把a付款的1/4的概率平分到自己身上是很愚蠢的。如果有b手心c手背策略，a就沒有付款概率。所以bc不會有這個策略。回到原題，公平是各自1/3概率，很明顯不公平

我來解釋一下上面的博弈論的答案。

首先結論肯定是不公平的。

對於每個人來說，其他兩個人的結果有（10，00，01，11）四種結果。

對於A來說，選什麼都可以。

但是B和C在考慮其他兩個人的情況下，會有傾向。例如B會傾向於出1來讓C付錢，C會傾向於出0來讓B付錢，但是他們都不能對A有影響，所有這個遊戲是A占利。

本來打算睡覺的，但是刷到了這個有趣問題，很開心，越來越喜歡知乎了。

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咋一看這是個三人博弈的問題，但其實有一點技巧。

首先B和C勝負條件完全對稱，所以P(B)和P(C)相等

B,C各以1/2的概率出正，A有1/4的概率付錢。

這樣的博弈問題一定要利用概率的，所以@榮曜的答案不合理，這是做一些益智題的思路。

太晚了，明天電腦排版

~~~~~發現改正後和高贊答案結果一樣耶，感覺自己棒死了，雖然不知道思路有沒有差錯，希望來指正~~~~

原答案:把手心當做1，手背當2，然後列舉嘛…

a1b1c1 a1b1c2 a1b2c1 a1b2c2

a2b1c1 a2b1c2 a2b2c1 a2b2c2

手心數為0或3的有兩種情況

手心數為1的有三種情況

手心數為2的有三種情況

公平個屁a要笑死了

第一次有數學渣渣可以答的題，會不會有疏漏？？

~~~~~~啊啊還以為題目很簡單呢，好像要考慮他們出的策略問題，瞎更新一下~~~~~~~

1.我紅色圈了a買單的情況，a肯定要考慮一下出什麼買單概率比較小，藍色圈是a出手心的情況，好像出手心手背買單的概率是一樣的，當然是在bc是傻子的情況下。

2.再看紅色圈b買單的情況，藍色圈為b出手心的情況，所以b出手心買單概率為1/4，出手背買單概率為1/2。所以b會選擇出手心。

3.再看c買單的情況，同理c出手心買單概率為1/2，出手背買單概率為1/4，所以c選擇出手背。

4.現在大家都不是傻子，b出手心，c出手背，a想出啥都行。

那麼重合的情況就是第二列那兩種（雖然不知道能不能這麼重合…）所以a出手心的時候c買單，a出手背的時候b買單。結果出來啦，a不用買單還能決定誰買單。

規則一定的情況下大家都很公平

只是每個人的心理預期不一樣

A買單的可能性最小，他還不答應，說明他想買單，從這個角度重新看呢？所以很多分析都是想多了。

2：3：3不會改變。

同海盜分贓問題，都要有一個前提，理性人假設，看了樓上答案，突然意識到為什麼現在很多行為經濟學得諾貝爾獎。

是否公平不是應該先判斷是否三人都同意進行這樣的遊戲嗎？如果有人只希望簡單的AA或者輪流請客呢？

首先假設這三個人均不在意誰付錢，就是想隨意選個人出來，所有人均隨意出手，那麼三個人出手心為0的幾率是1/8，1的幾率是3/8，2的幾率是3/8，3的幾率是1/8。

首先說這個是不公平的。

假設每個人出手心的概率都是0.5，則，A付錢概率為1/4；B和C付錢的概率都是3/8。所以整體來說對A有利。

對於題目而言，A事先聲明出手心或者手背，但實際不知道A會出什麼。作為B和C最有利的方式是讓彼此出錢。所以最優的解是B出手心，C出手背。最後結果就看A了，所以怎麼B和C出錢的概率都是1/2了。

當然，也存在，反其道而行之。均衡問題的矛盾多在於人性的不確定。

所以，最終付款概率還是如剛來始般，A:1/4，B和C:3/8。

假設三人出手心手背的概率是相等的，則總共會有2*2*2=8種情況。對A來說，只有全手心和全手背，買單概率是2/8=1/4，對B，任意一人手心朝上，有C(3，1)=3種情況，買單概率是3/8，同理，對C任意兩人手心朝上，有C(3，2)=3種情況，買單概率是3/8。綜上，A買單概率最小，B和C買單概率相同。