中國的數學教育真的有這篇文章說得如此不堪嗎？

01-25

刷題刷出來的數學教育_奴隸社會_傳送門
我是在朋友圈看到了這篇文章。我是一個在國內的高一學生，打算在國內念本科，本科畢業以後申請美國的研究生。我從小數學成績就不錯，也一直都很熱愛數學，但是看了這篇文章以後感覺有一點迷茫。雖然我有一直看到網上說中國教育有這樣那樣的問題，但是這個作者是紐約大學的數學研究生，那我覺得他說的話應該是比較有可信度的。中國的數學教育真的如這個作者說的那麼不堪嗎？我需要怎麼準備和學習才能掌握這篇文章里所說的必需的數學能力呢？

謝邀。

首先並不覺得美國學生的邏輯水平有文章里說的那麼好。我去年TA本科生線性代數，有人學了一個學期的線性代數，死活不理解「如果f(x)=0，那麼x=0」和「f(0)=0」這兩種說法的區別在哪，要他證某個線性映射是單的，他也給你來一句因為f(0)=0所以blabla。有些人則始終分不清楚diagonalizable matrices和invertible matrices的區別，這些基本概念的含義上課的時候已經反覆強調過無數遍，不知道他們是不是記不住這兩個單詞，總是會弄混。

美國是個跟中國一樣大、多樣性比中國更豐富的國家，不同地區、不同學校、不同階層的教育水平都不一樣。正如我們不能拿人大附中或者某個鄉村中學來代表中國的中學教育水平一樣，簡單地推斷：「美國的中學教育都是怎麼怎麼樣」也是毫無道理的事情。私立高中、有錢人讀得起的中學自然教育質量更好，而公立中學的教育質量真心是沒有保證的。而且不同州的教育情況都不一樣。先不說數學，我聽說在德州的公立中學的歷史課內容里，美國建國史不是必講內容，德州自己的歷史才是必講內容，所以德州的中學生都有可能不清楚美國是怎麼建立的。這顯然跟中國人眼裡的教育觀念差距很大——中國各個省份，不管什麼科目，教學大綱的主要內容都是差不多的，課程標準和要求也不會相差太大。而在美國，這種「統一的約束」並不強，好的學校可以教的很好，一般的中學，教得再爛都不奇怪。

然後再談談兩國優秀學生的發展和數學研究的差距問題。我注意到，美國真正想學數學的學生，擁有的資源其實是非常多的—— AMS會組織各種針對高中生、本科生的夏令營或者別的數學活動，中學生也有機會和一流的數學家面對面交流，一流數學家也願意指導優秀且喜歡數學的高中生。我不知道為什麼很多人討論數學教育的時候會有意無意地忽略學術資源硬實力差距的問題。法國俄國能開得起各種數學預科、數學物理中學，是因為他們有這個本錢，他們有足夠多的有熱情的數學家去做這個事情，美國人搞各種數學夏令營也是因為他們有足夠的學術資本。在中國想要複製這一套，首先你請誰來教？國內有足夠多的數學家來開展這種數學普及活動么？而且我感覺國內的數學家對數學普及活動也沒太多熱情，都比較「矜持」，不願意去和優秀的中學生接觸。美國完全不是這樣，美國的很多數學教授其實都很熱情的，中學生去問他們問題，他不會說「這麼蠢的問題你怎麼也問的出來」，而是會照顧到對方的知識水平，儘可能把問題解釋清楚。說實話，我覺得國內對數學有熱情的學生數量是夠多的了，然而對數學普及有熱情的資質合格的老師不夠多，也就是一個供不應求的狀況。

最後再補充一下：不管哪個國家，學不好數學、不喜歡數學的人肯定都是存在的，沒必要拿這種事情去黑這個國家的數學水平不行。就算是被捧上天的法國、俄羅斯，照樣有很多學生學不好數學，我還真就看過法國人吐槽數學多麼難學，上班了終於不用學數學了多麼開心。不要動不動就說「某某國的學生數學水平怎麼怎麼樣」。前幾天在quora上回答了一個問題，外國人提問「中國人的數學水平是不是都很好」，我直接在下面回復說，你們見到的中國學生大部分是留學生，本來就需要過五關斬六將通過重重選拔考試拿到好的GPA才能來你們國家留學，本來就屬於學習能力相對比較強的學生。那些和你們一樣在數學課上掙扎的普通學生，你們可是沒怎麼見過呢。。

知乎小管家發給我的私信如下描述。

投訴描述（投訴描述非知乎官方提供，由投訴方填寫）詳細如下：
此人的描述帶有極強的攻擊性，我們觀點暫且不說，他透露了我的成績、個人姓氏這都屬於個人隱私。學生的成績屬於個人隱私，並且我的成績不是他說的那個級別，帶有不實描述，惡意誹謗以及侵犯個人隱私。

唔……透露成績的確是有些不妥，已經修改。至於你的成績是不是那個級別的，至少這一門課上我還是有發言權的。姓氏屬於個人隱私我第一次見。要不大家以後叫你石頁而不名？至於惡意誹謗……大概咱倆學的不是一個國家的中文。成績部分改了，接下來就要誰主張誰舉證了。

作者大四上常微分方程II的時候我是助教。用的是Smale的Differential equations, dynamical systems and an introduction to chaos，講到第十章左右。想看的可以自己去看一下難度，反正我上過的不管是常微分方程定性理論還是動力系統都比這難多了。當時作者在班上並不算最好的幾個人，具體成績不透露了，總之不是「差生都能在課上拿A」。

以及我似乎就是作者文中提到的那個「一位數學博士生偷偷地在朋友圈『反駁』我的觀點：『一派胡言，這種數學水平的人還敢發表高談闊論，不愧是人才。』」的博士生，但是作者這麼說我我是不認的。我的原話是「以作者的數學水平，能發出這種高論我也是佩服的，不愧是我大羅村畢業的傑出本科生。」所以要說不實描述的話，作者的情節可比我嚴重。而且，我也沒偷偷地說，只是我一直覺得這個人太浮誇，不是好好做數學的人，不想加他微信好友而已。我和作者基本沒啥私人恩怨，如果說有的話，他常微作業每次不好好做讓判作業的我很不爽算不算？

以作者的數學水平，我覺得關於大學本科及以上，尤其是作者提到的與「微積分前的數學」相對應的高等數學的教育和研究，作者是並沒有發言權的。事實上大部分時候美本的中國學生能拿A，在我看來還是因為題目相對他們來說太簡單了，說白了還是吃著國內數學的紅利。

紐約大學的碩士也沒有什麼了不起……按照我羅村的課程安排，本科四年學到的數學大概是國內前兩年就學完了的。作者也沒修什麼研究生課，這點比不上很多比較出色的本科生。

國內的數學教育，問題在於人均資源沒有國外這麼多，沒辦法，就是窮。但是如果說質量的話，我能說我看到大二學完線性代數是平均水平么？偶爾有一個大二學完數學專業的線性代數（講線性空間和線性變換的性質的，相當於國內大一上的高等代數）的，都相當讓我驚喜了。

我最反感的就是這種明明是自己不努力，卻把失敗的原因全都歸給別人的人。

雖然在Rochester的重合的時間只有一年，然而幾乎是見作者的第一面時候，我就知道他以後肯定不會從事任何形式的數學研究。他本身就缺乏對數學的純粹的狂熱。所以如果最後他去讀phd的話，我真的會覺得不可思議的。（我被打臉的次數很多，然而還好都是被北大的學生打的）。

以下我一點一點打作者的臉：

作者說「中國的數學教育最大的問題是過於追求炫技，沒有注重邏輯和『思維黑匣子』的培養。」

EXO me？？中國數學過於追求炫技？這是什麼鬼？是不是在你眼裡面數學的技巧都是不重要的，只要知道大概的思路就算可以？？

有這種想法，說明你離數學研究還遠得很。在我看來，高中及以前的數學裡面，還真沒見過什麼特別沒用的技巧。反正作為一個高考不到140，聯賽只有二等獎，最多迷迷糊糊在非聯賽的數學競賽里拿過幾次省前三名的人來說，我是沒覺得高中階段有任何技巧是單純的炫耀而沒用的。何況技巧本身就是數學很重要的一部分，無論是張益唐關於孿生素數的突破，還是Perelman的關於Poincare猜想的證明，還是Atiyah關於K-theory中Bott periodicity的證明，其最核心的部分都是某種技巧，現在你和我說技巧不重要？？何況很多低觀點下看上去是技巧的東西，了解了更深度的內容之後就會發現其實是很自然的想法。就憑你這一句，我說你沒資格對中國數學的教育水平發表評論，一點都不算誇張。

至於說中國「微積分前的數學是最難也是最無聊的」，這句話簡直是前後矛盾：你要說無聊我承認，但是那是因為本來數學知識就很有限，能學到的東西用到的技巧並不多，同一數學工具的反覆應用是很無聊；你說最難的，除了俄羅斯之外倒也不算錯，至少比起大部分美國學生學的高中數學來說是挺無聊的（和三屆美國國家隊隊員Allen Liu一起上過課的我小心翼翼地加上了「大部分」三個字以免被大神鄙視）。但是，一個東西怎麼可能又難又無聊？難的東西難道不是應該因為有挑戰性而更有意思么？

然後作者又搞出一個概念叫「黑匣子的能力」。作為一個數學專業的人，我不知道作者為什麼到現在都沒訓練出一個叫做「說事情之前先定義清楚」的能力。又要舉一反三，又要「通過現象看到解題的本質」，這可把我搞糊塗了：「黑匣子」的本質難道不是只要知道輸入輸出就好，不需要搞清楚本質么？

下面做了兩個比喻，可見作者的寫作課和數學課不一樣，應該是沒白上的。然而前提就錯了。我幫作者稍微提煉一下他想說的內容：「中國的數學教育，只注重無意義的偏應試的純技巧性計算，而根本不重視數學的本質。」拜託，你以為不是對數學感興趣的人，會對數學的本質是什麼樣的感興趣么？你說中國數學教育有缺點我同意，但也不能什麼鍋都甩給體制吧？就算課上沒教，那未嘗不是出於大部分人接受不了的考慮，那你自己有沒有動腦子想過？想過以後問過老師么？或者換個問法，是中國的數學教育不重視數學的本質，還是你自己就不重視數學的本質？

至於說國外的數學教育培養邏輯和數學應用的能力，嗯，大概我們來的不是同一個美國吧……我所看到的美國數學教育，只是無條件地對學生無限度地妥協，內容不懂？好，我們講個例子。例子懂了么？懂了！好，那你也懂數學了。稍微變化一點點，馬上又不會了。你要是說美國的數學教育裡面缺乏培養邏輯和數學應用的能力，這還比較靠譜。

說到缺乏思考能力，劉同學，你舉的例子，初一的華杯賽的輔導書上就有，初中老師也大致是講過的。至於你非要用這個理由解釋那個公式，我只能說，要不，再上一遍小學？什麼時候小學數學也成了數學本質的象徵了？

「中國人在學習上花的時間世界前三，可我們的學術水平卻很落後。」這句話說起來特別容易引起很多人的共鳴，可恕我問一句，支撐你的論據的數據在哪裡？還說「數學是中國教育最失敗的學科」，就是因為你覺得喜歡數學的人不多？要不要做個調查，看看是中國還是美國不喜歡數學的人更多？沒數據你和我講個xx！「研究教育又尚無領軍成果。」嗯，我同意，反正有了領軍成果，以你的數學水平也是看不懂的。

最後還要強行總結一波什麼叫「最正確的方式」。拜託，學數學哪有什麼最正確的方式，最正確的方式就是just learn it。你學都不學數學，還發掘個鎚子？

我覺得作者沒資格評價中國的數學教育，是因為他並沒有盡自己最大的努力去學數學尤其是高等數學，而是把自己沒能繼續進行數學研究的原因歸咎於中國的數學教育。作為數學專業的學生，我在本科階段受到的影響遠超以前。不知道為什麼認為美國數學教育這麼成功的作者，在本科加碩士的5-6年之後，依然沒有從事數學研究。（他的公眾號有一篇文章解釋他為什麼不學數學了，和此文對照，風味更佳）

做個不恰當的比喻，作者和童哲有些像。都是那種「我要告訴你什麼什麼的精髓，你看這一點都不痛苦嘛」，而不會讓人感受到，要真正學好任何東西，你都會有一個十分辛苦（甚至痛苦）的不斷試錯的掙扎的過程的。而這個踏出comfort zone的勇氣和意願，正是從事研究工作中最重要的因素之一。

最後，至於說我那句「邏輯能力與同理心卻不一定高」，說邏輯能力，我可不覺得能舉幾個例子，引用幾句古希臘哲學家的話就能說明自己的邏輯能力強。我的邏輯一直是「你根本沒好好學數學，憑什麼說中國數學教育不好？」說同理心我同意，我實在沒法對自己不用功還怪體制的人抱有同理心。

這個回答，只針對作者本人，而不是針對所有願意認真學習數學的美本學生，比如 @趙素明等。願喜愛數學的人，都能在這條路上走得更遠。

寫到最後，我覺得我自己必須反思一個問題：為什麼我一想到寫撕逼文章就來勁呢……我好好學數學了么？

略微說幾句，有空再補充。

1、文中作者把高考數學和培養數學研究者混為一談，不當。

2、無論中外，只有很少人對數學感興趣，願意學習數學思維。這個世界也不需要那麼多數學家。

3、中國數學起步晚，能有現在的成就已經不易。與美國數學水平相比當然有差距，但差距正在縮小。

4、現代數學很多定理都是華人發現的，作者不知道不代表沒有。

5、如果你對數學感興趣，自身又有能力，應堅持走下去。

恕我淺薄，原來平方和公式用幾何圖形來解釋才是真的數學？用分配率交換律就不是真的數學了？

這可真的沒法學抽象的數學了吧。

粗粗看了這篇文章，我懷疑這個作者有沒有讀過高中。通篇出現的難度最高的公式就只有一個二元和平方公式，然後就是翻來覆去的說1000以內加減法，真的，他初中數學課是不是在小學上的？

講了一大堆的論點，總共就給出了兩個論據。通篇都再提抽象，結果一個例子都不給，真不知道這樣的文章是怎麼打動題主的。

最後，眾多數學家嘔心瀝血得到數學等式和不等式，被這個作者說成是毫無用處的炫技？他這不是在侮辱中國學生，他是在侮辱數學。

曾經有個故事：某沒怎麼上過學的成功人士遇到雞兔同籠問題，採用巧妙的站起蹲下法得出了答案並好生鄙視了一番打算列方程的旁人。由此得出結論：現在的教育啊吧啦吧啦吧啦……

來來來我這籠子里有三頭七臂五腿、二頭三臂一腿和一頭一臂十二腿的轉基因生物一共四十三頭八十六臂七十六腿。來試試站起蹲下一個？

首先，談數學教育，起碼國內教育和國外的教育都得經歷過才有比較，要不就是有數據或者有力證據去支持，否則基本沒有什麼說服力。文章作者是Roychester本科，NYU碩士，說明他沒有接受過國內大學教育，無非是道聽途說來的。

UK某校數學系PhD在讀，談談我從讀書到現在當TA的感受吧。

作者一直強調國內數學是刷題教育，那為何英國要引入中國中學教材，引入中國數學老師？他們傻嘛？因為他們發現到了大學之後數學好的依舊是中國人（很有意思的現象，數學系往往成績最好的是中國人，最差的也是中國人，自己體會），有句話說的好，你讀了那麼多書，最後留在你腦子裡的，你的思維習慣就是你的素質。數學對人的影響是潛移默化的，看似無聊的訓練其實已經對思維產生了影響，只是短時間內感覺不到而已。

最直觀的例子是2+2項目的本科（這裡主要指國內211或者985學校和國外大學合作的那種），說GPA碾壓不為過吧，平均水平比普通英本要高很多。為什麼呢？其實英本的學生里也有過一些高中成績很好甚至一些競賽得獎的，但是相比之下並不出眾。因為我大天朝數學系甭管你未來學啥方向，都是從數學分析，高等代數開始的，我記得我們大一每天晚上是強制上自習到九點半的！這邊本科時間自由很多，一門數學分析就能拆成好幾門課講，深度和廣度肯定是不如國內的數學系。

然後作者說到抽象代數，那個在我們學校是大二的課，當年學的時候覺得uk的學生好流弊啊，各種提問各種和老師討論，後來才發現只是當年自己英語渣而已。抽象代數這東西基本都是各種證明，老外最初只是有語言優勢，並不是思維或者理解能力強，當你把群環域裡面的專業名詞和定義啥的整明白了，你覺得老外會比你理解得好？考試題目一變很多人就懵逼。再往後，到了實變函數，拓撲，Green"s Function（我們學校本科最後一年有開這課，對於本科生確實有些噁心了），英本和國內讀過本科的差距就越來越明顯，因為大一大二的功底太弱，後面一些課程理解起來就很吃力。這個現象無論對於金融數學，統計，純數學，精算專業都存在，甚至在各種programming上也只有極少數老外學得很好。

到了博士階段，數院博士裡面中國人占的比例也不比任何國家的少不少，我承認一些大牛還是老外，但是數學學院中國人做Professor幾乎每個有些名氣的歐美大學都有吧，我們的學術絕不比人家差多少。

我大天朝人多，資源有限，學術上和制度上也確實有一些問題，導致我們頂尖的學者數量並沒有很多，而且選擇留在國外的博士也不少。但是我們的基礎教育和本科教育卻不比任何一個國家的數學教育差多少，反而只要你用心認真學了，基礎會更紮實。學術上成果或者差距，絕不是本科教育的鍋，更多的是一些現實因素（比如普通大學老師甚至教授的收入相比於歐美大學很低，生活所迫吧）。不過大天朝已經通過各種方式來支持國內科研，甚至有些領域外國的專家學者因為研究經費充足也開始青睞於中國大學了。

還有我覺得哪怕是博士也不敢隨便說哪國數學教育更好，而作者無非是個taught的master，更多的是被動的接受數學教育，評判標準無非是GPA，很片面，只是盲人摸象罷了。比如我本科有的課考了九十多，甚至滿分，那我對這個方向的就有發言權了嘛？你都沒帶過課，沒看過大量的paper，沒做過這個方向的research，得出的觀點只局限於自己學得那點兒皮毛而已。

不過也可以理解，題主是個高中生，能接觸到的資源有限，碰到一個NYU的研究生覺得很厲害也很正常，不過很遺憾，大多數博士都很忙，偶爾逛逛知乎碼點兒字，不像master有時間搞公眾號誤人子弟……

我把原文扔過來了, #後面的段落是我的評論。前排提示文章較長。

作者匿名上來回答，我看了下文章好像有很多更改，沒有關係，我重新批判一番。

我的原回答在最後。

不想看長文的直接看下面的這句話就是了：

我對這篇文章的判斷是：胡說八道，瞎編亂造，指鹿為馬，無中生有，不論是非，顛倒黑白。

在NYU的能不能幫我揍作者一頓。

作者：匿名用戶
鏈接：https://www.zhihu.com/question/57578233/answer/153771371
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯繫作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。

各位好，我是原文作者。你們所有人的回答我都看了，感謝大家的意見與批評有幾個問題我需要澄清：

（0）對於提問者，我想說，國內的基礎教育有利有弊，你若真喜歡數學就去認真去學。我的觀點對錯與否，等你學過來自然會知道。祝你好運

#也算是謙虛一點了。

（1）我不是數學最好的人，並未用上帝角度去談論這個問題，只是說的個人觀點，並未針對某個團體或個人。我認為，任何接受中國教育的人都有權利發表對於教育的看法，而非那些學業有成的大牛，差生照樣有發言權。不要論資排輩，若真如此，能對中國教育發表言論的也就那麼一兩個人，咱們都該閉嘴。

#說的沒錯，所以你儘管發言吧，我負責批判。

（2）一個好的教育體系應該給所有人提供一片天地。我並沒有說中國數學教育完全失敗，有成功的地方（只是這篇說的是負面的東西，說正面的觀點會削弱我的論點），掃盲層面做的很棒，但是研究層面做的不夠好。

#物質沒有極大豐富你憑什麼要求國家又一個真正好的教育體系？何況中國義務教育三十年四十年來已經普及的非常之好了，你還要求什麼。

#這裡（沒有論據地）說掃盲層面做的很棒，研究層面做的不好。

(3) 大部分評論者都是數學優異的學長學姐，可你們是否換位思考過, 對於那些數學差生，他們經歷了什麼，從我身邊人觀察，這些人經常被老師謾罵、批評，然後從此放棄數學，可他們還未接觸到真正數學之前就已經放棄了。到了大學學了這，學了那，發現要用數學，可惜已經晚了。

#真正的數學差生上不了大學。你身邊的人不是NYU和Rochester的嗎？還是說你說的是高中同學，抑或是小學同學？如果他們上了中文系，去了藝術圈，你覺得他們學你說的那種真正的數學有用嗎？

（4）我尊重、崇拜數學研究者工作者。本以為寫完文章教授老師會來噴我，沒想到都是學生來噴，很多教授老師甚是支持。

#把教授的名字給我舉出來，做數學的教授會關心你這種狗屁文章？中小學的數學教師哪個數學phd當不了？

（5）這篇文章本在個人公眾號「石頁哥」上以個人觀點發表，並不作為大號學術性論文廣為傳播為定位，所以邏輯上難免有瑕疵。

#邏輯上可以有一點瑕疵，然而每一段話都有瑕疵的文章我們稱為胡扯。

（6）這篇文章在奴隸社會轉載時，小編要求刪除過多的學術用語，因為大部分讀者不懂數學，或早已忘記學校的東西，不擅於傳播。裡面有很多的炫技舉例，並未在轉載這個版本裡面說明。所以造成一些誤解。

#沒有關係我接下來給你一條條反駁掉。

（7）圖解平方和公式沒什麼不對的，為的是直觀，

為什麼 (a+b)^2=a^2+b^2+2ab，我朋友說這就是個公式啊。於是我畫了兩個正方形幾何證明給老外看，他才明白。這才是真正的數學啊！在國內很少會有人探究平方和公式的來歷，只有記住沒有探究。凡事不求甚解只看結果是死路一條。

我的point 是，要求甚解，我沒說用代數方法證明就是炫技，看清楚在來噴。

#「這才是真正的數學啊！」這句話難道不就是說「畫兩個正方形才是真正的數學」嗎？這不就是說「幾何方法解平方和公式才是真正的數學」嗎？提高几何地位確實不等於降低代數方法的地位，然而你說「在國內很少會有人探究平方和公式的來歷，只有記住沒有探究」。國內是小學就學的代數方法。你說國內沒有探究，就是在說代數方法不是探究。

#我看清楚了一樣能噴。

#原文如下：說到缺乏思考能力，我想到一件趣事：我上大一時，一個老外，數學差生，問我朋友，為什麼 (a+b)^2=a^2+b^2+2ab，我朋友說這就是個公式啊。於是我畫了兩個正方形幾何證明給老外看，他才明白。這才是真正的數學啊！在國內大概很少會有不懂由來的人詢問此公式來歷。若是一個中國人問同樣的問題，我想很多人定會說：「你是SB嗎？這都不會？」。不求甚解只看結果，終究是無判斷力的偏執奴隸。

#不要亂改自己的原文。

（8）我指的炫技是求一些無聊的極限，高階無窮大小，立體幾何證明，因式分解題就是隨便找兩個多項式一湊之類的。這些東西對研究真的沒什麼用。

#因式分解我下面（原答案）說過了，愛森斯坦判別法有作用的，後面抽象代數解Galois群你說因式分解沒用？

#高階無窮大小不掌握你Taylor公式都是瞎用的，你連級數的收斂半徑判斷不出來，就算高數級別的課程沒問題，複變函數去等死吧。

#立體幾何證明本質是向量方法的應用，另外向量這是美國大學的課程。要承認立體幾何本身對現在的研究真的沒用，但我問你作為中學的課程你面對的要是個泥瓦匠，是個建築工人，是個陶瓷鑄造師，你再告訴我說立體幾何對他們沒用？接下來各種什麼二面角的計算，現代研究用不上，他們用不上嗎？

#無聊的極限是什麼我並不知道樓主說的是什麼玩意。

（9）當然有些東西說的言過其實，沒辦法我畢竟不是個作家。教育的問題歸根結底是社會問題，寫文章我只說炫技的事，這當然不是更深層的問題。

#不是作家寫個屁文章啊。「教育的問題歸根結底是社會問題」誰告訴你的？

(10) 中國教育的哪一科目最失敗？ - 知乎請看看謝葦的回復，跟我說的是一回事。

#找不著，點進去只看見一個最高贊的生理衛生。鏈接搞好了再告訴我。

以下是原文，一會有空再寫。

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學好數學需要人有計算、邏輯和抽象能力。計算能力包含了複數以內算術法、等式和不等式、積分等。邏輯眾所周知。抽象能力我指的是理解無實物且尚未遇到的知識的理解力。擁有抽象能力是學好高等數學的充分必要條件。由於微積分之前的數學（簡稱微前）並不需要很強的抽象思維能力，所以很多非數學專業人士誤認為數學就是學數。中國的微前90%在鍛煉計算能力和10%在考察邏輯能力；計算顧然重要，微前是祖先探索出的經典數學是現代數學的基石，但某些是明日黃花。

#「中國的微前90%在鍛煉計算能力和10%在考察邏輯能力」這句話完全是在扯淡。

#從現在開始大家銘記一點：向量，解析幾何，導數，三角函數，這些中國的中學內容都是美國的微積分的內容，請用初一初二的題和美國這邊對比。

還記得微前數學題都是些什麼嗎？我很喜歡幾何。可中國的平面幾何已經嚴重偏離了數學本質：需要猜測地去加輔助線，而從不考慮或老師很少會講為什麼考慮這樣加輔助線。在國外的微前里，根本沒有立體幾何，直到多元微積分才講一些簡單立體幾何。立體幾何證明純粹是為了給高考數學故意添加難度的項目。現代的代數幾何和解析幾何皆不需正三稜錐的二面角怎樣求，工科的人更不需要做立體幾何證明去解決問題。「立體幾何增加空間想像力」乃不假思索的命題，什麼「空間」的想像力？3維空間的想像力還是胡謅空間的蠻力還是玩QQ空間的誘惑力？空間想像力是想像出來的。每當我做出難題、理解新定理時，不覺得靈感從哪道幾何題而來。

#他們向量都不叫怎麼叫立體幾何？我還是那句話，一個泥瓦匠，建築工人，陶瓷鑄造師，立體幾何對他們沒用？他們不需要空間想像力嗎？小學還教學生怎麼看錶呢，看錶對你學術也沒用啊？

總之，經典幾何是古人的數學，值得欣賞地學習，但雕琢未遂的朽木要丟下，現代的數學離幾何遠去。中國人傳統思想頗重，改變傳統不是褻瀆而是進步。傳統可擯棄但要尊重與欣賞。沒汽車的年代人們騎馬，可現在誰會努力鑽研怎麼騎馬快？騎什麼馬？騎馬卻成了業餘活動。經典幾何也當如此。這也是為什麼國外的普通數學課不傳授輔助線知識（競賽另說）。

#現代的數學離幾何遠去，所以「為什麼 (a+b)^2=a^2+b^2+2ab，我朋友說這就是個公式啊。於是我畫了兩個正方形幾何證明給老外看，他才明白。這才是真正的數學啊！」

#我想笑，你什麼玩意。

第二種頗為大家熟悉的題是：

「取值範圍」題耳熟能詳，有些頗有意思。某些題是純粹字母大聚會般的計算，就像攝魂怪一樣——非巫師非麻瓜——不倫不類，看似頭頭是道，其實都是胡拼亂造。為考試而做數學，有裨益，但這是計算能力的鍛煉，邏輯和抽象能力卻從未涉及。

#那還不是因為函數的定義域，值域，遞增區間，遞減區間全部是美國大學的內容。這些東西不是你所說的字母大聚會就怪了。另外至於抽象能力，這些題目在中國是講完函數是什麼直接講的，對於初中生來說，函數本身就是抽象的東西。

我做過一項調查，許多人反應，中國數學微前題全世界算得上最難也是全世界最無聊的題。同樣的知識類似的技巧，可國外的題很巧很精明。

#調查數據發過來。國外的學生很多習題課的題都是我們自己出的，凡是我想出一些巧的題，都會被其他人因為「太難」而pass掉。

回到文章前面的問題，中國學生的計算能力驚人，值得翊贊：找錢算小費直介面算、能巧算5階矩陣的行列式、求各種繁冗的極限。國外則捨棄了計算能力，注重培養另外兩方面，為的是以後的數學研究。現代的數學不需要「人體計算器」，而需要有邏輯和抽象能力的人，會想的人。我一位朋友訴苦

#國內捨棄了計算能力及另外兩方面。另外說中國學生計算能力驚人到小費直介面算如同說高斯計算能力驚人能巧算1+...+100一樣貶低人。

「我以前學數學那麼好，算得比老外快，為什麼當年比那老外積分算得好，而如今他測度論，代數學學得都比我好？我跟他們上物理課，基礎物理我比他們好因為中國基礎紮實，可到了量子物理，高端的課反而思維不如他們敏捷了。這是為什麼？」

#名詞解釋：測度論=測度的定義和勒貝格積分。代數學=如何求行列式及對角化矩陣。難度大約相當於國內實變函數的三分之一，線性代數的二分之一。物理我不知道，但我們討論的是數學。

#你原文說你朋友給你抱怨的是抽象代數與拓撲學。拓撲學和測度論這倆有啥關係？

因為你邏輯和抽象能力不足，發展倚靠持之以恆的不懈努力的平均前進。鱗次櫛比的樓宇群能矗立不倒，是因每座的各個角落有堅固的基石。一隅花崗岩另一隅是豆腐的地基，撐起的是比薩斜塔，坍塌只是時間問題。

#我沒有見過你朋友但是我覺得這是因為他不如一般的中國學生。如果對那位朋友有冒犯我表示抱歉了。

前文說過，想學好數學必須形成黑匣子，若腦中有「數學黑匣子」則遇難題迎刃而解而非去點對點聯想之前的練習。在中國，形成「黑匣子」用的是窄如衚衕的套路，套住的活躍的大腦——題海戰術。題海戰術要運用得當，前提是方法對且讓核心思想沁入心脾，高質量鑽研則10道題大於做100題的效果，事半功倍。

#你自己都說了，我就特別想知道中國的題海戰術怎麼就運用的不得當了？而且就算中國沒有讓核心思想沁入心脾，不客氣的說,(a+b)^2=a^2+b^2的人，一元一次方程不會解的人，1/2+1/3=1/5的人，都是外國學生，他們「讓核心思想沁入心脾」了？他們是根本沒有思想！

這好比健身，想要做無氧運動且渾身肌肉碩壯，則要計算每天吃多少焦耳，舉多少次啞鈴，做多少個卧推，攝入多少蛋白質；想要減肥跑馬拉松則要計劃每天跑多少公里，練習多少次變速跑，補充多少營養。單純增加卧推次數、公里數會猝死在健身房或身體不適。「黑匣子」是多因素綜合性提升起來，且根據個人情況決定。減肥決不能用增肌的辦法，術業有專攻，治理有方，就是這個道理。而大部分人秉著「刷題提高能力，見多識廣」的旗幟的帆船航行，海上飄，風停則定在汪洋中，孤注一擲。

#對，但總比國外拿個塑料盆飄著好。中國數學教育基本已經最好了，現在很難有更好的方法。這不是五十步笑百步，這是五千步笑百步。

那位朋友學不好抽象代數，因為代數需要「黑匣子」根深蒂固才可攻克。刷題對付數學分析或許有用，但對於抽象代數的純證明題，刷一萬道不懂定理，考試也會懵逼。數學不是矗立在公式主義上的科學，而是一門把零七八落公式化的科學。數學研究員在「黑匣子」匱乏下註定一敗塗地，這不是危言聳聽：中國人基礎數學很好，可數學上的研究卻不盡如人意，why? 原因之一就是研究員死在套路上——冷飯炒不熱，千滾水不新鮮。有些研究就是老黃瓜刷綠漆，解決了外表為了自欺欺人。

#我現在不知道你所說的國外的抽象代數是個什麼東西。

#即使是國內標準的抽象代數，所有定理的理解都很容易，但理解定理沒有例子你基本也等於屁都不懂。說什麼懂定理一通百通經常是扯淡，Galois定理就在那裡，你不練習連x^4+2x^3+3x^2+4x+5的Galois群都求不出來。Sylow定理就在那裡，給我分類個32階群。

#「中國人基礎數學很好，可數學上的研究卻不盡如人意」這句話完全是胡扯，完完全全是胡說八道，憑這一句我就想揍作者了。現在數學的新生代中國人占的比例越來越大，之前中國人少完全是歷史原因。

原因之二是從小學到大學中國數學一直在練技巧，比如如何計算某類型的積分，看出詭異算術關係等，這是競賽的範疇不適用於一般人，搞研究最重要的是夯實基礎不需要奧數的技巧。換句話說，炫技是街邊籃球，搞高端研究是NBA的級別。在中國，考駕照需要學會鑽桿，繞樁，等各類技巧。可國外秉承如何安全駕駛，貫徹讓駕駛員熟知交規和交通禮儀。結果呢？中國每年車禍傷亡率相當高，因為根本不懂怎樣安全駕駛，只會見縫插針。

#搞研究不需要奧數的技巧。我認為這是一個笑話。越是搞高深研究的越多有競賽的背景。搞高端研究是NBA的級別，則搞競賽是NCAA的級別，你可以告訴搞NCAA的人他們是街邊籃球。

#雖然中國車禍傷亡率確實比發達國家高很多，但是我在美國考駕照對經歷告訴我作者在胡說八道。美國無非是執法更加嚴格，車更加少，路更加好開。

我好奇地翻了翻國內的抽象代數書，「中國學生學不好抽象代數」的現象就不足為奇了，書對初學者太不友好了。留學生都會知道，國外的教材每一本都上百頁，講解十分詳細，例題很少課後練習多，而且難度比中國的大。而中國書，只講解枯燥無味的定理而且講課順序零散，使新手容易誤解，認為高等數學高不可及，其實不然。大概出書人也覺得讀者不懂，放了許多本應學生動手獨立探究的練習當做例題，這樣一來剝奪人形成「黑匣子」的機會，強行刷題積攢套路。

#書對初學者太不友好了=你太笨了。

#國外的教材每一本都上百頁，講解十分詳細=國外的學生太笨了。中國學生看這種書會覺得耽誤時間

#例題很少課後練習多：「對於抽象代數的純證明題，刷一萬道不懂定理，考試也會懵逼」這是誰說的呀。

#而且難度比中國的大：因為國外的這個難度的教材是給低年級研究生看的，中國是大二。而且我並不覺得那本最著名的《algebra》比國內教材難度大。

數學不難，它就是一種常識，它的美只有懂常識者才能體會。中國數學教育只注重了計算能力，直到大學才注重抽象和邏輯能力，且缺乏公理化地引入概念。記得，上大一時，一個老外，數學差生，問我朋友，為什麼 (a+b)^2=a^2+b^2+2ab，我朋友說這就是個公式啊。於是我畫了兩個正方形幾何證明給老外看，他才明白。這才是真正的數學啊！在國內很少會有人探究平方和公式的來歷，只有記住沒有探究。凡事不求甚解只看結果是死路一條。數學是鍛煉邏輯能力最佳途徑可現在這種教育模式不熏陶獨立思考「為什麼」(why)，只崇尚「怎樣做」(how),管你為什麼。

#這隻能說明老外是傻逼。必須用幾何的方法才能解釋清楚問題本身就不是現代數學所提倡的。小學三年級我們就學習加法乘法的交換律，分配律，作者覺得這種東西是奇技淫巧？當初學乘法交換律的時候誰不是12個點橫著數一遍豎著數一遍，誰不是被朝三暮四這個成語故事所啟發的，我們當初已經會代數語言了，你說這是不求甚解？

「不加以檢討的人不值得活」——柏拉圖

#這句話真的是蘇格拉底說的。改回去吧。

不是我咬牙切齒，我希望人能理解什麼是真正的數學。中國人在學習上花的時間全世界前三，可我們學術水平不比外國人強。可怕的是，我們還在用「外國人不會乘法口訣，1000以內加減法不會算」來掩蓋數學的弱點。數學的魂並未傳授給學生，所以，數學是中國教育最失敗的學科之一。

#學術水平不比外國人強是胡說八道。數學沒有弱點，數學教育可能有弱點，陳述事實不是什麼掩蓋。數學的魂只需要傳授給真正喜歡數學的人就行了。數學是中國教育最成功的學科之一。

當然，這不是老師學生的錯，只是我們還未探究出好的學習方式，不犯錯誤不會知道什麼是正確的。

#作者不被揍一頓不會知道什麼是正確的。

矛盾的說，最正確的學習辦法數學專業的人大概也不清楚，就像我們彼此呼吸卻看不到空氣，也不知道空氣是什麼。抑或根本就沒有最正確的辦法，但我肯定，至少現在的方式不正確。

#大家都很清楚，只有你是傻逼。

----------以下為原回答。

作者：數學博士路上的退堂鼓表演藝術家，自由主題寫手。美國羅切斯特大學，紐約大學畢業生。

#Quit的phd嗎？(經指正是連phd都沒有申上的傢伙。也罷，但你不念了去搞些quant啊，寫這些朋友圈才能傳起來的文章幹啥啊？）不好好念書瞎寫什麼文章？美國本科，說明對國內狀況並不了解。

出國的朋友都知道，很多外國人乘法口訣都不會，算個1000以內加減法要用計算器，四則運算順序混淆，而我們中國數學差生，都能在國外數學課上拿個A。

#說的沒錯，然而我建議把1000改為100，有時可以改成10。

這確實不假，但算數好就代表我們中國人數學學得好嗎？

真相往往還有另一面。

去年，我一位朋友向我抱怨：

「為什麼當年比那老外高中和微積分學得都好，而如今他們抽象代數，拓撲學得比我們輕鬆多了。高端的課反而思維不如他們敏捷了。中國基礎數學教的很難很紮實，可咱們中國數學上的研究卻不盡如人意，這是為什麼？」

#中國的抽象代數叫抽象代數，美國教的抽象代數叫代數，基本就是比我們線性代數還弱的水平。中國水平的抽象代數一般在美國作為研究生課程處理。拓撲學同理，即使是Urysohn引理這種東西他們本科一般不會系統的給你講的。總之除了課程名字一樣難度是天壤之別。

#越是近期的成果中國人占的比例越大。為什麼二十年之前中國人出不了成果？這是一個顯而易見的問題。

首先我們要理解數學是什麼。

數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息的概念的一門學科，這是字典定義。用通俗的語言說，數學就是一副眼鏡，透過它能看清複雜問題的簡單本質。通過現象看本質是生活常識，所以數學是一種常識的擴張。不理解這種「常識」，固然遺憾但也無妨。

#數學就是數學，不要瞎繞彎子。

學好數學需要人有計算、邏輯和抽象能力，而數學鍛煉的也正是這三項能力。

#我先假設你說的對。

邏輯能力指一個人對多種事物分析、觀察概括與理性推斷能力；抽象能力指人對非實質事物以及新概念的理解能力。依我看，上面這位兄弟只有計算能力，另外兩項還差些火候，所以遇上了瓶頸。

#為啥要批判上面那位無辜的兄弟呢？

這同樣是中國數學教育的最大問題：

過於追求炫技，沒有注重邏輯以及「思維黑匣子」的培養。

#胡說八道。你告訴我是中國的微積分上來教epsilon-delta語言還是外國人的微積分上來教？是中國的考試更注重證明過程還是外國的考試更注重證明過程，外國人的非數學系考試你見過什麼證明題嗎？這叫不注重邏輯？

外國人數學基礎不好是不言而喻的標籤「事實」，有一定的道理，但相比之下，中國的微積分之前的（簡稱微前）數學題是世界上最難也是最無聊的，既解題過程長但可順理成章毫無懸念地套路化推理出。

#你覺得無聊是因為你水平太低連phd都申不上。IMO是國際競賽，不是中國獨有的。另外向量，解析幾何，導數，三角函數，這些中國的中學內容都是美國的微積分的內容，初一初二的題拿給美國這邊對比一下，看看是不是更難更無聊，看看是不是既長又套路化。另外說到套路化，80%的題目都是列完方程就出來了，確實很套路化，哪裡都一樣。

學生和老師一直以「看出詭異的等式關係和掌握很多公式」來評定數學水平，其實是在炫技巧並不是數學的核心。某些題是純粹字母大聚會，看似頭頭是道，全是胡拼亂造等式。

#你倒是舉個例子啊，啥東西是胡亂拼湊等式啊。組合恆等式？那絕對是美國高深的大學內容。解析幾何？那也是美國高深的大學內容。因式分解？那是可以用愛森斯坦判別法什麼的嚴格證明為什麼要這樣做的。韋達定理？有點道理，但一般直接用二次方程的根式解也慢不了多少。所以有啥是真正需要瞎編亂造的我真的想不通啊？

微前的炫技適合數學優秀者提高競賽水平，對基礎沒夯實的學生毫無用處。這些雕蟲小技是數學的邊角料，而不是核心。

#中國基礎再垃圾的學生也知道1/3+1/2不等於1/5，以及我依然不知道你說的炫技是什麼意思啊？x+4=5可以簡化成x=1，這就叫炫技嗎？那我覺得我吃飯拉屎都是炫技了，把吃的東西變成...，好神奇耶！

#這裡說的是炫技對基礎不牢的學生沒用，對搞競賽的有幫助。

既然數學是常識，就要培養出一種理性思考方式與獨特觀察角度，而不是單純的會算術。

無窮盡的炫技，導致中國學生邏輯與抽象能力沒有得到足夠的鍛煉。換句話說，炫技是街邊籃球——倚靠努力任何人皆可熟能生巧——搞高端研究是NBA的級別。

#這裡說只要努力就能生巧，對潛在的高端研究者（也大概率是那些搞競賽的）沒用。

#中間才隔了一段話就自我矛盾，你邏輯是誰教的？果然是美國教的！

再舉個例子，在中國，考駕照需要學會鑽桿，繞樁等。可發達國家秉承如何安全駕駛，貫徹讓駕駛員熟知交規和交通禮儀。結果呢？中國每年車禍傷亡率相比於發達國家要高很多。

#雖然中國車禍傷亡率確實比發達國家高很多，但是我在美國考駕照的經歷告訴我作者在胡說八道。

因為這樣的要求，導致大家把注意力放在練習繞樁練習的技巧，而不是安全駕駛，但司機要把車開長久開安全，真正需要的是牢記並履行交通規則。

#以及路比較好走以及車比較耐撞。

同理，想學好數學必須形成黑匣子，否則沒有舉一反三的能力，一旦遇到已知範圍外的新事物就會寸步難行。

#終於說對句話。

如果腦中有「數學黑匣子」，那麼遇難題就能迎刃而解，而不是聯想之前刷題的套路。在中國，形成「黑匣子」用的是由炫技來的套路，套住的是活躍的大腦。我不反對搞題海，前提是方法合適且並滲透核心思想：要通過現象看到解題的本質。

#你怎麼知道中國教出來的學生看不到問題的本質？(a+b)^2的本質是代數的還是倆正方形？你用倆正方形給老外解釋一下F_p上的(a+b)^2,解釋一下矩陣為啥就不是2ab而是ab+ba了，解釋一下向量，函數，你解釋個屁啊？

這好比健身，想做無氧運動且渾身肌肉碩壯，則要計算每天吃多少焦耳，舉多少次啞鈴，做多少個卧推；想減肥跑馬拉松則要計劃每天跑多少公里，練習多少次變速跑，補充多少營養。減肥決不能用增肌的辦法，術業有專攻，治理有方，就是這個道理。

#又舉例子，論述舉什麼例子，可類比嗎？

如果繼續追求炫技，大眾只會算術，不懂數學的邏輯思維和解題能力（這裡指的是實際生活中的各種困難）。而數學專業的人會成為只會計算學家。國外則捨棄了計算能力，注重培養另外兩方面，為的是其一培養數學思想，其二為喜愛數學的人做數學研究做準備。現代的數學不需要「人體計算器」，而需要有邏輯和抽象能力的人，會想的人。

#數學和實際生活中的各種困難有啥關係嗎？有關係，比如買菜找錢，比如量衣服尺寸，那我們好像只需要計算能力就夠了。

#前面說微積分之前，後面說數學專業的人，這說的說什麼玩意。

不會思考的人體計算器不能成為出類拔萃的數學家，而普通人則難以捕捉到數學精華。這麼追求炫技的根本原因是我們沒有站在一個制高點去看待數學。微前數學一直站在微前的角度去看數學，而未從高等數學去公理化講解基礎，使得學生迷失方向對數學產生誤會。這好比跑步，終點雖遠，但方向與位置卻要知道。

#你要的是（去除）公理化還是（要去）公理化？如果是後者，樓下已經辯駁過了，中國這個介於公理化和非公理化的位置恰到好處。

說到缺乏思考能力，我想到一件趣事：我上大一時，一個老外，數學差生，問我朋友，為什麼 (a+b)^2=a^2+b^2+2ab，我朋友說這就是個公式啊。於是我畫了兩個正方形幾何證明給老外看，他才明白。這才是真正的數學啊！在國內大概很少會有不懂由來的人詢問此公式來歷。若是一個中國人問同樣的問題，我想很多人定會說：「你是SB嗎？這都不會？」。不求甚解只看結果，終究是無判斷力的偏執奴隸。

數學是鍛煉邏輯能力的最佳途徑，可現在這種教育模式不提倡獨立思考「為什麼」(why)，只崇尚「怎樣做」(how)，記住公式就完了，管你為什麼。

#錯誤的邏輯推出錯誤的結論。

「不加以檢討的人不值得活」——蘇格拉底可怕的是，缺乏邏輯能力已危害到了生活之中：

#因為作者缺乏邏輯，害我生活中浪費一個鐘頭打字，說的沒錯。

在我初次在個人公眾號發表文章後，一位數學博士生偷偷地在朋友圈「反駁」我的觀點：「一派胡言，這種數學水平的人還敢發表高談闊論，不愧是人才。」

#一派胡言，這種數學水平的人還敢高談闊論地把批判他的人批判一番說什麼別人批判他高談闊論，不愧是人才。

我不是數學最好的人，更不介意背後責罵我的文章。但這種以個人資歷削弱他人觀點、以人身攻擊形式來反駁，也有點幼稚。這更讓我確定，數學考得好的人，邏輯能力和同理心卻不一定高。

#因為不是所有人都願意逐條反駁你，幾乎沒一條有道理，所以他乾脆就說一派胡言。我現在也覺得我不該逐條反駁，太浪費時間了。真是可惜，鄒助教當年怎麼沒把你掛了。

總而言之，中國人在學習上花的時間全世界前三，可我們學術水平很落後。而我們還在用「外國人不會乘法口訣，1000以內加減法不會算」來掩蓋數學上的弱點。

#很落後是扯淡。

數學普及教育並沒有把精髓傳授給大眾（大部分人是數學平平的百姓），而研究教育又尚無領軍成果。所以，數學可能是中國教育最失敗的學科之一。

#沒有領軍成果是扯淡。

當然，這不是老師和學生的錯，只是我們還未探究出好的學習方式，不犯錯誤不會知道什麼是正確的。矛盾地說，最正確的學習辦法數學專業人也不清楚。但我肯定，至少現在的方式不恰當。

#數學專業人很清楚，你是傻逼。

我希望中國的數學研究能夠崛起，因為我期待學到一個以中國人命名——名留青史的定理。

#一看就不是學幾何的，Chern Class都不知道。

求作者畫圖給我解釋一下流形……

解釋一下單位分解定理也可以啊

真的看不懂啊OTZ

看見計算不重要我就樂了，那黎曼幾何和PDE怎麼學啊，這還只是基礎課

在加拿大UBC做TA好幾個學期了，帶的是機械系的物理。他們很多人連lnx的導數都不知道，有時候甚至感覺無法交流。。中國的高中教育肯定有其可取之處，這種體系培養出來的高中生其整體或者說平均數學能力是要強於西方體系。但是國內教育過於注重整體化，把有限的資源平均分配下去，各類學生不加區分的採用幾乎一摸一樣的教學手段，造成真正有能力和天賦的學生平庸化。而歐美則將其本來就豐富的資源因材施教，有興趣的人可以一直保持興趣，加之歐美普遍生活無憂，有足夠的精力和後備保障支持他們玩票科學，更具興趣和情懷。雖然這樣的結果使得他們平均水平不怎麼滴，但能湧現出很多世界範圍內的領頭羊

確實，如果不是因為有這樣的教育，怎麼會教出來類似這位作者一樣的人呢。

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這並不是諷刺，三線及以下城市的非重點中學的非重點班的數學老師教出來的全是這樣的學生，這樣的人八成是考不上本科的，也就自然不知道數學有什麼用了。

並且其實你們沒有發現嗎？清北或者一線城市重點高中的教育其實根本就不是中國式教育，反而是中西結合式教育，還有高票所說的問題，其實正是因為這些人本身基礎紮實，又接觸到了西方的理念，才能這麼優秀的。

什麼是真正的中國式教育呢？當然是中國最普及的教育方式才能代表中國，這個沒問題的，所以最普及的教育就是這位公眾號作者所說的問題，這是事實。

你們不能用你們提前接觸了先進的理念回來代表中國，事實上，只要認真學英語看paper的人，都早已脫離了中國式教育。你的成就只能代表你，或者精英群體，代表不了中國。

寫在前面：這個回答我寫完後覺得有點偏題了。本來打算刪掉但是想想還是貼了出來。大家暫且看看，或許能解答一部分問題。

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其實那個文章也沒有把中國的數學教育說的那麼不堪（盡量平常心），但是裡面把高考數學和綜合數學培養混為一談，有些不太合乎邏輯。。

一個國家的教育方式和內容是隨著一個國家的國力和國情走的。好多人覺得美國的教育方式好，在數學上能培養出學生的創造力，邏輯思維能力，從而對數學有著更加優秀的了解；而國內培養出來的大多數是做題機器，窮盡一些細枝末節的奇淫巧技但是對數學「大方向」的了解並無益處。

說其原因。有人覺得是美國的遴選機制優秀。也就是美國大學採取申請制度，提供學生更多選擇的同時也能更加多元化的考量一個學生。從而也反向刺激鼓勵學生在高中階段不光埋頭在做題裡面，而是更多的去自我思考，參與活動，從而激發創造力等等。這個說法就算不完全對但至少也說中了八成。那為什麼中國不採用這種方式呢？教育部的官員們和學校的領導們絕對不傻，我們能看出來的事情他們絕對比我們有更好的了解，但是這種方式在中國目前就是不太可行。中國教育的現狀是一系列現實問題的妥協的結果

中國現在的目的還是：盡量公平的保證絕大部分人有機會上大學。而這種保證公平的方法，除了只看分數的高考，還真沒有啥別的好辦法。

造成這種局面的主要原因其實還是國情和國力的差別。雖然近些年咱們國家空軍J20先進戰機裝備，海軍中華盾艦和航母開始下餃子，但是不得不承認，中美的貧富差距還是存在，再加上人口的巨大差距，從而造成了教育資源的不對等。話說的極端一點，在中國是10個人爭取一個大學錄取名額，在美國可能就是10個人爭取11個名額，也就是別人不愁大學上。如果中國也採用和美國一樣的遴選機制，那教育資源就會更加的會向大城市傾斜。畢竟，在大城市參加「多元化」培養的機會比農村多的太多了。長期下來，教育資源極度分化，對中國是一個非常壞的事情。

所以高考這個就看分數的考試的基調也就定在了以教科書內容為基礎，有限拓展的內容。對於數學來講，確實沒有太大的發展空間，只能玩一些「細枝末節」的奇淫巧技。但是這些「細枝末節」的奇淫巧技是完全浪費嗎？更不是啊。數學這個東西，不光需要大局觀，更需要能精密處理要問題小細節的能力。我當TA的時候就碰到很多學生老和我說：「大方向我都懂，但是就是算錯了」。哦，那這個真的等於沒說。而且，小細節處理不了，大方向我真的不覺得你懂了。總是強調大方向的人，有的時候其實就是「好高騖遠」了。

舉個小例子。在上美本的時候刷過吉米多維奇。這套蘇聯的書可算是本科神術了，裡面妥妥的全是題主引用文章裡面不屑的「小細節」或者計算能力。但是刷過一遍的人都能拍著胸脯告訴你，自己對數學的「感覺」簡直不可同日而語。數學，是「做」出來的，不是「想」出來的。你解了1000道微積分的題，肯定比只看過一遍微積分定義然後就去關注大「問題」的人更懂微積分。

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回到你的問題。你說你喜歡數學，這是非常好的事情。數學成績不錯的話也就是說你可以保證學校功課的同時有著大把的自主時間。我在這裡給你提幾點小小的建議。不一定全對，但希望能給你提供一些思路：

數學作為一個學科，要的是解決現實存在的問題。其中一些定理的發展背後都有著濃厚的時代和現實需求的背景。想要更好的了解數學，自然需要了解數學的發展史，了解「數學為什麼這麼發展」。我以前看過一本書叫《數學史概論》，李文林著，內容還不錯。你可以去看看。

你才高一，我覺得可以試著參加一下數學競賽。不要對競賽有反感覺得那又是「奇淫巧技」。其實不是的，競賽數學確實可以鍛煉你的思維能力，讓你學到如何有效的解決複雜的問題。對於提高數學思維很有好處。

最後，現在網路發達了。各種大學的公開課在網上都很容易找到。國內國外的都有。在你看完那本數學史概論後，自然對數學的各大學系有了初步的認識。到時候可以在網上找自己感興趣的方向，微積分，初代，等等，看看相關的公開課。不求看懂，有個印象就好。不過如果真的發現有寫內容非常合你的口味，那找來相關的教材認真研讀就更好了。

更新：覺得中國數學教育失敗的請看看米國的數學教育. 我也是TA. @Yuhang Liu 所提到的現象可以說是遍地都是. 算數都算不好, 證明題就更不用說了.

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不請自來.

不做一定量的題就想學好數學? 天才也許可以, 我等凡人還是乖乖刷題吧.

我求求你們別來知乎討論這種朋友圈文章了。

其實我高中的時候也經常被這樣洗腦，誤認為「應試教育」的結果必然是低下的理解力和書獃子般的未來，從心底崇尚放飛的教育。

大學讀了數學系，憑藉著一開始的熱情胡想八想，但是從來不刷題，也懶得聽課，考試基本靠突擊衝過六十分皆大歡喜。並不斷自我安慰，考分高的書獃子們正不算磨滅著自己的創造力和天分呢。

三年後，有一天我突然發現，縱使我再喜歡數學，我連一個簡單的數學分析定理都不能理解、都不願下功夫理解，我光憑著yy是絕對不可能走上數學研究的道路的。

當年我是一個多麼想從事研究工作的人啊，我仔細思考了一周，不得不痛苦地放棄了理想，我一直沒有動力去不斷地刷題、打基礎、下苦功，即使再熱愛也不可能有什麼真的結果，甚至有可能自己所謂的熱愛不過是熱愛這種自己熱愛數學的感覺。

之後，我就碩士去學經濟學，當然碩士時同樣想過要不咱走條經濟研究的道路？好在……吸取了本科的經驗，我連教科書都沒有動力刷三遍的時候，我就果斷放棄，給自己確定了目標——畢業後進個金融機構好好搬磚……

畢業後，我更是發現:無論是對學業還是工作，訓練都是學習中很重要的環節，不斷認真、刻意地訓練是通向成功的不二法則，沒啥捷徑。這不，有時候工作中遇到困難，我又會重新拿起書補一些理論的知識，以彌補我過去幾年欠下的債。

不知道是我的理解偏差，還是大家的理解偏差。我不覺得文章內容有多麼貶低中國數學教育——雖然題目起的確實太過嘩眾取寵。

我先表明一下大立場，我認為中國教育有問題，也回答過一個中國教育最需要什麼的問題。但是現階段，就中國目前的狀況而言，中國教育已經在它能達到的限度範圍內做的挺好了。

但是這中國教育確實是有很多不足的，比如過重的競爭壓力催生的題海戰術——就這一點來說，文章提的確實沒有問題。而因為這種題海戰術導致的後勁不足也是我們不得不去面對的一個問題。

現在中學教育提核心素養，其中有一條叫做實踐創新。其實以往的研究也早就讓我們意識到，雖然我們中國學生的素養很高，解決問題的能力很強，然而創新能力是較歐美國家欠缺的。這也正是中國學生後續發展中為人詬病的。

提到創新能力，就要提創新能力的幾個重要指標，其中之一就是發現問題的能力。然而中國教育的題海戰術壓縮了學生的發揮時間——因為我們不得不承認，傳統講授法的課堂是最高效，而做題講題更是高效中的高效（對大部分學校和大部分學生而言，以及，這裡所謂的高效是針對拿分）。所以中國的學生相較國外缺少更多的自由思考時間，也缺少更多主動探究、提問的機會。從這個角度來看，中國教育確實算不上是成功的。

還有一個重要指標就是打破慣性思維的能力。然而過多的題海戰術幫助學生大大加強甚至固化了慣性思維。慣性思維不是一個壞東西，它可以幫助我們更快地在一種固定模式下找到一般的解決路徑。然而，過猶不及，過強的慣性思維則會讓我們一葉障目，難以表現出創新的一面，而不幸的是高等數學的發展依靠過強的慣性思維是很難有所成就的，在一定階段下，我們需要聚合思維，也需要發散思維幫助我們開拓視界，打破常規。

當然，題海戰術是當前國情下幾乎必然的選擇，優劣參半，也不能一味地詆毀。不過我觀文章中似乎也沒有過於偏激的說法來抨擊中國教育。

所以如果讓我來評價這篇文章的話，大概就是：

角度對不對兩說，可深度不夠；

內容好不好再論，但標題嚇人。

謝邀。

看了那麼多討論鏈接中的文章的答案，我來好好地回答一下問題吧。首先把題主的問題分一下吧

1。

我是一個在國內的高一學生，打算在國內念本科，本科畢業以後申請美國的研究生。我從小數學成績就不錯，也一直都很熱愛數學，但是看了這篇文章以後感覺有一點迷茫。

Perfect!熱愛數學，數學基礎不錯，國內讀好本科，然後去美國讀研究生，不錯的想法呀？什麼？迷茫？看了這個文章，迷茫了？不知道你迷茫的是什麼？迷茫於要不要選擇數學？還是要不要在國內讀本科？若是前者，好吧，其實我也有點迷茫，確切是說是疑惑，為什麼這個質量的文章能夠讓一顆火熱的心開始迷茫呢？好吧，再退一步，畢竟不同人看這個文章的體驗不一樣，那大家能夠統一的看到的是什麼呢？文章主要是在批判中國的教育制度吧！這個不會有不同吧？既然是批判是中國的教育制度，那麼為什麼會對你熱愛數學選擇數學之路產生影響呢？你喜歡的是數學，想要做的是繼續你的數學之路，中國數學教育制度如何都不應該是成為你是否選擇數學的理由。

PS:倘若文章是在說學了數學後人生多麼悲慘，我倒是覺得這才能成為你迷茫的的論據呀！

當然如果你是迷茫後者，那麼倒是的確可以斟酌。那麼問題簡化為了，你在國內本科vs直接國外本科！這個問題很大，不敢亂說太多，僅數學學習的個人感覺（包括個人學習經驗，助教課程，以及各種大朋友小朋友的聊天結果），國內的本科數學遠比國外本科數學更適合一直以來習慣於中國教育體制的學生。言下之意就是說，若是你的之前教育都中國特色的話，請把這個中國特色的大學數學基礎學習進行到底，因為在這樣的你熟悉的環境下，你的數學基礎才能打的更紮實，才能讓你本科數學學習收益最大，畢竟本科的數學還是基礎，只不過是現代數學的基礎，而以前你學的都不過是古代的罷了。當然本科之後，當你具備了一定基礎之後，想要走的更高更遠，或許那時的國外的氛圍才是對你更有益處的。

說到底，體制如何不是一篇這樣深度的文章可以妄言的，統計學意義上的「中國的」XXX結論也不是那麼容易下的。於你而言，你要明確的是，你邏輯思維能力如何，你的基礎和能力如何？拋開做題，你對數學的理解是什麼？你的真正興趣是不是數學，你有沒有足夠的信心去進行之後的枯燥的數學學習，諸如此類，想想這些跟自身相關的的！其實，體制還是體制，你改變不了，中國特色還是中國特色，你沒有辦法真正跳出來，興趣還是你的興趣，熱愛還是你的熱愛，數學還是數學，你要做的找到自己的興趣，盡最大可能地打好基礎，然後在這條路上堅定不移地走下去。

2。中國的數學教育真的如這個作者說的那麼不堪嗎？

問題太大，不想說太多。但是從我的角度來看，真的不至於，而且比較贊同之前的一些答主的一些回答。核心就是，中國精英教育問題遠大於基礎教育。由此衍生出的，高等學術情況較之國外總是被批判的一塌糊塗。但是回到基礎教育，數學就是個很好的例子，真心的數學基礎教育不僅沒有那麼不堪，還具有不小的優勢，畢竟，在中國，菜場的大媽都可以跟你在一毛錢的計算上，快且對，而在西方社會，比如UK，Tesco的貨架上時常會堂而皇之的出現，一個99p,打折促銷2個3鎊。（當然這裡我相信的是他們不是為了欺客，而是真的算不請！）

3。我需要怎麼準備和學習才能掌握這篇文章里所說的必需的數學能力呢？

首先，總的來說，個人也是同意這篇文章的字裡行間透露的都是作者的無知，不用看誰寫的，哪裡畢業的，這些都不重要，重要是他分裂的數學這個整體，不需要技巧，不需要記憶，不需要計算，只需要邏輯，只需要精髓，這樣的數學真的還是數學嗎？至少我不那麼覺得。技巧是在數學世界中邏輯思維的高級體現，公式是前人對解決問題的方法的總結，計算能力是數學學習的必要的條件，我就不相信，一個連乘法表都不會的人可以學好數學!

因此，我不是很明白這裡指的是哪些數學能力，如果泛泛來說，那些文中的關鍵詞確實你是需要的，不論是他所倡導的還是他所批判的，比如邏輯思考能力，比如計算能力，比如抽象化的思維，比如全面化的思維體系，等等。

但是拋開這些，還有一點比上述能力更為重要的是，你需要區分哪些文章言之有理，哪些文章是在嘩眾取寵，進一步講，區分文章的哪些點是言之有理，哪些點是為了吸引眼球的！

至於如何準備學習，那麼就是現在開始一步一個腳印好好學習數學，因為這些在你系統學習數學的時候你一定會慢慢養成的！

轉載。

1.曾經有教育家做了一個實驗，給中國孩子和美國孩子一杯水，讓他們不用火就讓水沸騰起來。中國小孩拿水在太陽下曬了一天，沒有如願。而聰明的美國孩子拿來四杯25度的水混合到一起，輕鬆地把水溫升到了沸騰的100度。僵化的思維，落後的體制永遠無法培養有創新意識的大科學家。

　　2.曾經有教育家做了一個實驗，給中國孩子和美國孩子一杯水，讓他們不用火就讓水沸騰起來。中國小孩拿來四杯25度的水混合到一起，輕鬆地把水溫升到了沸騰的100度。而樸實的美國孩子拿著水在太陽下曬著，靜靜等待，最終水也升到了100度。雖然美國孩子輸了，但是雖敗猶榮，因為美國教育下的孩子誠實而有品質，從來不會耍小聰明。這樣的孩子，以後才能成為正直的人。

　　3.曾經有教育家做了一個實驗，給一群中國孩子和一群美國孩子一人一杯水，讓他們不用火就讓水沸騰起來。中國孩子都把水放在太陽底下曬了一天也沒到100度，而聰明的美國孩子們在一起經過商討以後，把水混在了一塊，剛好四杯25度的水混合成了100度。僵化的思維，落後的體制永遠無法培養有創新意識的大科學家，也永遠無法培養出有合作意識、互助精神的青年。

　　4.曾經有教育家做了一個實驗，給一群中國孩子和一群美國孩子一人一杯水，讓他們不用火就讓水沸騰起來。中國孩子在一起經過商討以後，把水混在了一塊，剛好四杯25度的水混合成了100度。而美國孩子都把水放在太陽底下曬了一天，終於把水溫升到了100度。中國的孩子永遠學不會自己解決問題，而總是想依賴群體的力量，而美國孩子能夠獨立自主，自力更生，這樣的民族才有希望。

　　5.曾經有教育家做了一個實驗，給中國孩子和美國孩子一杯水，讓他們不用火就讓水沸騰起來。美國孩子想想，覺得不可能，於是放棄了。中國孩子卻在太陽下把水曬了一整天，非要把水溫升到100度不可，不然就不回家吃飯。最終還是失敗了。美國孩子從小就懂得知足與放棄，而中國的孩子在填鴨教育的影響下，依舊愚蠢地執著堅持不可能的事情。這樣永遠也培養不出大科學家。

　　6.曾經有教育家做了一個實驗，給中國孩子和美國孩子一杯水，讓他們不用火就讓水沸騰起來。中國孩子直接認輸了。而美國孩子偷來他爸爸的步槍把教育家斃了，從此再也沒有被教育家研究的煩惱了。從小培養反抗強權的意識，比任何教育都重要。

畢業了工作後才發現原來很不屑的刷題也是一種有效的學習方法，題目是對現實的高度概括、歸納和延伸，通過刷題可以檢驗學習成效，同時還能讓你知道什麼是學習重點，對於不會的問題，能帶著疑問去思考，查缺補漏，讓知識掌握的更加牢固。我有這樣的體會，有時候看書看不明白或看了沒啥印象，做幾個題再回去看，看看問題考察的什麼知識點，怎麼運用，反覆的過程中就明白了、加深了理解，適度的刷題對學習還是有幫助的。想一想吧，會刷題未必學得好，但題都沒刷好，能說對知識掌握的很好嗎？特別是某些情況下沒有條件去實踐的時候，刷題就更有用了。其實刷題代表的對書本知識的學習和實踐應該更好的結合，而不是對立或過分偏重其一。

紐大的數學研究生算個（嗶---）

我一直很感激我的數學老師們，我認為數學的意義在於思維的縝密和邏輯的嚴謹。

1. 粗心的孩子是永遠考不了高分的，數學對他們是一道篩選。我當初經常因為粗心錯題，我老師就罵我，說我不會。我反駁說我會，就是粗心。老師回了一句，你1+1也會因為粗心算錯么。從此我再也沒把粗心當借口，而是當作我的敵人。

2. 數學的確讓人變得更加聰明。這個聰明不是廣義的，而是說他讓人在理科上思考、賺的更快，讓人大腦保持一種高效的運作狀態。所以我一直認為應對考試的那部分智商是可以提高的，因為腦子是越用越活的，數學就是那塊很好的磨刀石。

3. 中國初級階段的數學本來就不是為研究準備的，而是義務教育的一部分。他出現畸形並不是它的錯，而是應試教育以及有限的教育資源和巨大的人口之矛盾導致的問題，但是我們也不能說他們錯了，所以……不要企圖通過批判數學讓大家不再學習數學或者拋棄應試教育。

我覺得這個作者基本上就是把以前網上的一些心靈雞湯串燒了一下，然後搞出這一大堆東西。這篇文章是指出了一些問題，但是講的亂七八糟的，同樣也存在一些錯誤。根據其他一些答主的說法，這個作者其實根本沒在中國的大學裡讀過書或者教過書，自然也就根本不清楚中國的數學教育在那些方面需要改進。這個作者在本答案中又補充了一堆東西，但看下來同樣也有問題。

這篇文章的標題是「刷題刷出來的數學教育」，中國的數學教育當然是有蠻多問題的。但是刷題恰恰不是問題。事實上中國傳統的數學教育，在中小學階段讓學生大量做題，其實是優點而不是缺點，說中國傳統的數學教育只側重計算，我覺得也比較片面，大陸90年代以前的中小學數學教育，平面幾何和立體幾何部分的教育就還是很強調邏輯推理和證明的。不過這個作者在本問題的回答中又補充道：

我很喜歡幾何。可中國的平面幾何已經嚴重偏離了數學本質：需要猜測地去加輔助線，而從不考慮或老師很少會講為什麼考慮這樣加輔助線。在國外的微前里，根本沒有立體幾何，直到多元微積分才講一些簡單立體幾何。立體幾何證明純粹是為了給高考數學故意添加難度的項目。現代的代數幾何和解析幾何皆不需正三稜錐的二面角怎樣求，工科的人更不需要做立體幾何證明去解決問題。「立體幾何增加空間想像力」乃不假思索的命題，什麼「空間」的想像力？3維空間的想像力還是胡謅空間的蠻力還是玩QQ空間的誘惑力？空間想像力是想像出來的。每當我做出難題、理解新定理時，不覺得靈感從哪道幾何題而來。

但實際上，我覺得這個說法很有槽點。搞一堆輔助線做平面幾何題，又不是中國人發明出來的，實際上中國傳統的中學幾何教材的理論體系都是沿襲Kiselev的中學幾何教材，偏偏這本書是被公認為很經典的教材，被翻譯成中英法等多種文字，被包括Vladimir Arnold在內的許多數學家所稱讚。這其中關鍵的問題是，用綜合法來教平面幾何就不可能不用輔助線。如果按照作者的想法，那就只好只用向量來教幾何的，可是這樣教幾何，恰恰削弱了對邏輯推理能力的訓練，基本上就是算來算去了。難道他打算在中學直接給學生教抽象代數來保證證明和邏輯推理訓練不成？對於中小學生，非要教他們抽象代數這樣的比較抽象的東西，完全忽視了教育規律，除了數理特長中學之類的特殊學校中的少數尖子生，大部分學生根本理解不了，當年美國搞新數學運動，大幅度提升了中學數學的難度和抽象程度，現在回顧一下，一方面，效果不能說沒有，起碼美國13個菲爾茲獎得主中4個都是在推行新數學運動的那十年接受的中學教育，但另一方面，眾所周知的是，完全不知所云的學渣也大幅度增加。

進入90年代以後，大陸的數學教育在某些盲目崇美派的鼓吹下，台灣的數學教育在李遠哲等人鼓吹下，向美國看齊，大搞減負等等，導致了很多的問題，使得學生平均水平下滑，這早就引起了很多業內人士的擔憂。其中問題之一就是很多地方的中學數學教材，平面幾何被嚴重削弱，導致學生證明能力下滑，我有熟人在清華給工科生當助教的時候，就發現個別人甚至不會證明 $sinx^2$ 不是周期函數，實在搞不懂這人是怎麼考進清華這樣的學校的，我讀書的時候，從來沒聽說這種事。

任何從事數學研究的人，都需要對基本的技術足夠的熟練，抽象和邏輯推理能力也不是天生就會的，而是需要經過一定的訓練的，做習題就是主要的訓練方式。當然我也知道有些人看起來不是做了很多習題，但是假如仔細問一問，這些人基本上都有看書看論文的時候推定理的習慣，你看起來他沒抱著一本習題集拚命做，其實他也是做了很多無形的習題的，而且這樣的習題恰恰訓練價值比那些人為編出了折騰學生的習題訓練價值更大。事實上美國的IMO金牌和Putnam競賽優勝者也是需要做很多題的。當然這個作者也提到了，他不反對題海戰術，但他也沒說清楚他支持什麼。

作者又補充說：

我搞不清楚他究竟看的是那本「國內的抽象代數教材」，本人國內的抽象代數教材看過的就只有馮克勤的《近世代數引論》，不過好在這本書在國內還是蠻多學校在用的，但要說講得詳細，老實說，我覺得馮克勤比Kostrikin的《代數學引論》第三卷詳細多了。而且馮克勤的書也沒啥例題，所以他說的這個事情是不全面的。如果說教材講解不詳細的是中國代數學落後的原因，那按他這個邏輯，俄羅斯的代數學豈非應該更落後了？要知道俄羅斯大學的教授上課寫的講義只會比Kostrikin更加濃縮。事實上，這在現實中並沒有發生。至於說美國的教材習題難度大。兩邊的不同的教材的習題，難度差異其實都不小，非常計較的話，Artin的代數學算是美國最有名的抽象代數教材，麻省理工、普林斯頓都在用，但要說習題難度，Artin比馮克勤簡單多了。至於他說中國學生考強行刷題積攢套路云云，這在現實中我看並不存在，一方面，國內其實根本買不到一本有大量習題的抽象代數習題集，根本就沒辦法強行刷題積攢套路，但凡我知道的抽象代數做了很多題的，都做過國外的教材，所以假如有套路可以攢，那就是說這些國外教材的習題也有套路。而且我也不知道抽象代數這種課怎麼強行刷題積攢套路，我讀書的時候，抽象代數題刷了不少，但你要問我有啥套路，反正我是想不出來。非要說有套路的話，美國最流行的幾種微積分教材都是很簡單的計算題一大堆，比中國的微積分教材可能題還多，倒是完美符合作者說的中國的數學教育強調計算，攢套路的黑點。

當然了，在碩士及以前這個階段，中國的數學教育不是沒有問題，但是美國當前的數學教育其實問題更大。要寫當前的中國數學教育有啥問題，我想我能寫出一堆。當然，要我批判美國的數學教育，我看能寫更長。

我們可以負責任的說，中國的數學教育是極其紮實的，只不過這個作者並沒有足夠優秀的能力去感受，簡單說就是他是個loser無需用到高層次的數學，等你學了足夠多，檔次足夠高的數學的時候，你才會回頭感慨之前的基礎教育是很有用的

在此我們還是希望題主不要為這樣的充滿負能量和偽命題的文章所困惑了，最後，對這種人，外國的屎都是香的

數學思想的學習不夠，學習過多集中在技巧的層面，缺少對數學本質的追索。學完了微積分，不知道什麼是微分什麼是積分，不知道微分和積分的基本矛盾是什麼，不知道一元微積分和多元微積分的根本區別是什麼，不知道什麼是外微分形式。學完了線性代數，多數人認為矩陣就是數表，究竟矩陣是什麼？為何有如此廣泛的應用，矩陣的乘法為何如此定義？

在我看來做具體題目的技巧都不重要，重要的是數學的思想，簡單的來說微積分思想就是函數千千萬，一次最簡單，用一次來替代非一次，以直代曲，化繁為簡。

而中國的數學教育恰恰是忽視了數學思想的學習，對數學本質的追索，這些數學定理數學成果，數學家究竟如何發明出來的？平常的數學教學集中在做具體題目的演算法和技巧上面，老是把數學中細枝末節的東西當成寶貝一樣，這些東西確實要學，但是只學這些演算法和技巧就成一種舍玉取瓦的行為。

有一次在加油站的小店裡買了十幾刀的東西，付完款出門時候發現收了我五刀的稅。

於是我拿著小票去找手售貨小哥：哎你這個稅怎麼這麼高？

小哥用一種看著剛下船的外國人的憐憫眼神看著我，語氣沉穩，語速放緩：在美國，這個國家，買東西，是，要，交稅的。

啊我曉得啊小哥，我是問你為啥這麼高。

這個稅，是國家，規定的，每買一百，就要收七刀，的稅。不是我們店裡，要收，是國家，稅務局，稅務局知道嗎？是它收的，不是我們。你看這個，收款機，自動，自動收的。

我有點頭疼，但是為了我的錢包，我繼續堅挺：你不是說買一百才收七刀嗎？我才買了十幾刀，為啥有五刀的稅？

小哥居然嘆了口氣，換上了一種看智障的眼神：對啊，一百刀，七刀的稅，所以，十幾刀，收五刀啊，因為沒有到一百，所以不到七刀。

場面一度十分尷尬。

最後的最後，是在我搬出了小學老師教的加減乘除法當場口算給他聽，而他一臉震驚的拿出計算器。。。沒錯，計算器！在計算器上按了半天得出了和我一樣的正確答案之後，用崇拜的眼神退款並強烈要求送我一根巧克力棒。

我啃著巧克力，揮揮手離去，深藏功與名。

嗯哼。

那個，題主問的是啥問題來著？

我也不知道美國數學有多好，中國有多差。

我只知道我在美國大學數學院當研究生課ta，研究生院課程思維難度上能達到國內大二水平的都極少，我看著來選課的gpa3.9+的本科生對著國內大一難度的證明題抓耳撓腮笑而不語。。。這就是你們口中重應用重邏輯嚴密輕思維難度的美國數學。

誠然國內數學有過於強調解題技巧，本科之前輕視形式嚴密等缺點。不過，就培養出的數學系本科生質量來說，吊打美國還是綽綽有餘的。

從數學普及教育來說中國的數學教育算不錯，但從尖端數學人才培養上講確實是不行，不過這是由於我們數學家少造成的，這裡面涉及兩個問題

1.尖端數學人才的培養需要老師擁有極高的素質

比如一個真正喜歡數學的人，他高中的時候一般會先學完高中知識然後在超前學一點大一的數學，但即使是超前學大一的數學高中老師也沒辦法知道。因為大部分高中老師大學的考試全部是抄過去的，連大一的高等數學都不會，當然這不怪他們，畢竟他們不少人的老師可能是紅衛兵，這種教育出來的人你讓他會高等數學是強人所難。所以高中老師一般是要學生不斷地反覆刷高中題，其實對於真正喜歡數學的人應該有很多更有意思的事情可以去做。

以前丘成桐反對中國搞數學競賽加分，覺得競賽是偏門，他的反對也有道理，主流的數學絕不是競賽那樣的。但即使是數學競賽又有幾個中國高中老師會做，百分之99以上的高中老師不但不會做競賽題，還反對學生搞競賽，這樣好苗子怎麼發展興趣。至於丘成桐那種讓數學尖子在主流數學上拔高提前學習大學系統數學知識的教育方式在中國就更不接地氣了。高中老師會做競賽題的都是鳳毛菱角，能熟悉大學知識體系的人就萬里挑一了。以前看到有報道說譚澤睿學數學不喜歡做題，如果他不是生在個好家庭有個好班級，老師絕對不會允許他用這種不做題的方式學數學，他很可能走向叛逆。不過隨著時代的發展情況在好轉，新一代高中老師裡面有不少博士。

如果你高考沒考進top校進了下面的學校，你老是可能連個數學分析高等代數都不會，誤人子弟，你更別想學了，很多人覺得高等數學難其實就是因為中國下面學校老師太差，當然他們那個時代文革剛結束，自己也只讀了個大學，並且那種環境下也不會讀太好，這也不怪他們。很多二本考研完全靠最後一年自學衝刺，前面在大學裡面幾乎等於沒學。

2.單一化的教育選拔不利於頂尖人才培養

你數學學得再牛逼，人家還是要你高考，所有人都按照這個標準來選拔，即使你學了大學知識又怎麼樣？競賽沒拿獎一樣呵呵！這就極大地限制了大家學習的範圍花盆裡種樹，但真正的大樹往往會長出花盆。比如彭柯曉，明明高中就學了泛函分析，北大當然想招收這種人，但是政策不允許，所以不讓招。如果在美國，教授看你高中生都學到大三了，肯定讓你進去。在中國高考幾乎是唯一的標準上清華北大得考千里挑一萬里挑一的分數，但在沒過上名校的人成績雖好，但一般也就sat前百分之十，還要看很多別的東西，在中國前百分之十一本都上不了。美國多元化的人才評價體系自然給了人更大的發展空間和發展平台。丘成桐搞得丘成桐中學數學競賽，主要是中國人參加，港大能保送，哈佛能保送，就是清華報送不了，丘成桐還是清華系主任。

但這種多元化的人才選拔機制並不適用於中國，中國人都太重視教育，不像美國下層人民覺得讀書的是書獃子也不鼓勵小孩子讀書，所以他們不關心學校招生的事情，學校想怎麼招學生就怎麼招。但中國人卻太重視教育，清華有一點風吹草動網上可以罵聲震天，如果讓他自己想招什麼人就招什麼人，估計很多招生會被外行拿到網上來嚇討論。事實上美國大學多元化的招生政策除了招收了頂尖人才以外也招收了達官顯貴。就像中國前幾年搞得自主招生幫大學招了真正的科研人才也招了關係戶。

中國老百信把大學招生盯得太死了，不給大學一點自由，其實這樣反而對大家不好，試想如果某企業家捐哈佛的兩億元捐給清華讓他兒子上清華，這些錢的零頭就夠付清教他兒子在清華的消耗了，其餘可以讓清華做很多事情，培養很多學生。

奴隸社會這個公眾號本身就喜歡搞這種神神叨叨看起來不明覺厲，稍微想想十分sb的東西，不用太認真。

要說數學教育，中國模式的缺點在於頂尖學生缺少自由發展的空間和有力的引導，和大家一樣要在追求熟練的高考模式下消耗很多精力，除了極少數幸運兒。普通學生基本不知道為什麼要學數學，"數學買菜用不著"這種論調充斥社會，其實不是學的太多反而是學的工具太少導致根本不知道怎麼用。

本科階段不少工科專業的數學常常重求解輕原理，重數字輕推導，數學基礎課和專業課缺乏聯繫，這些都是實實在在的問題。當然美國模式也好不到哪裡去，多數學生在基礎教育階段已經被教成數學殘廢了。

與其看那種沒邏輯的公眾號不如找認真啃啃數學教科書。

說一個前段時間微博就行的截圖

某中國留學生在11區消費2643日元，支付售貨員3143日元，該售貨員用打量奇珍異獸的眼光看原po，拿出計算器反覆計算3次後找零500日元。

之後美國留學生回復:知足吧，我們美國，這樣搞，售貨員直接白眼你，收你大錢找零，補一句"我們不收零錢"

從西西河轉載的，作者 changshou：

本人對理科教育一直很感興趣，在河裡多次就此話題發帖。很多河友對教育以及中美體系比較甚感興趣觀點眾多。現在我想簡述一下我在美國七年求學執教的一些第一手見聞和感受。一是希望起到拋磚引玉之效，二是給自己總結一下，為自己回國工作後和人侃教育整理一下材料。

　　幾點說明：

　　1 我在21世紀初在北京某大學A學習，之後來美留學讀博士(涉及學校 B C)，再往後在美國執教(大學D)。我對國內本科碩士，國外本科博士等階段的基礎科學教育(包括學習和教學)都有一定體會，在我的系列中也會對中美的大學做一些對比。

　　2 我的專業方向屬於純數學(以及相當程度的理論物理)。我對實驗類學科或工科了解很少，故無法涉及這些方向。但我教過不少數學課(大學裡學生最雜的課)，這使得我能大範圍接觸全校各個專業學生並由此感知他們的數學水平。

　　3 我求學的學校各自代表了中美的最高水平，我執教的也是老牌藤校。一方面我感覺到了一流大學確有過人之處，另一方面我也看到了一些令我大跌眼鏡的現象。我感到這兩方面的很多東西我似乎沒有在中文媒體網站上見到較多的提及 (雖然談論建立世界一流大學的文章很多很多)。

　　(一)在 B和C的經歷

　　我是大學B的學生(研究生)，但我的導師在大學C導致我常到C校去，故我對兩校均有了解。

　　本科新生數學基礎弱於中國同地位大學

　　B有美國數一數二的理科生源並有很多頂尖國際生源支援，但我感覺他們的平均數理水平仍不及我在中國的母校A的(規模更大的)入校生源的水平(當然A的生源在中國也是數一數二的)。我認為這是中國基礎教育的一個勝利。當然B的新生水準也是不錯的，少有我認為明顯配不上B的。

　　題海/考試海/教輔/補課體系

　　儘管B有很好的生源，他卻毫不懈怠，反倒響鼓偏用重鎚敲。B高度重視數學基礎課並有自己一套方案：

　　除了通用的教材，還有兩三套自編的教學講義和「教輔材料」;教學講義和「教輔材料」各有側重，相互補充，時有更新;大量布置作業習題並對習題精心組織分類;除去正課外，要求學生必須上一周兩次的小班習題課(由助教上)，而由於有超強的研究生生源這些助教(在讀博士研究生)大都具備獨立主講全課程的能力(相比之下中國的大學A里甚至很多博士後都不能做到這一點);由於具有極高的師生比例以及博士生本科生比例 B可以為每一門大課組織龐大的教授/助教/批改作業者體系;教授和助教均提供很多課外答疑時間;相關院系，學生宿舍，學生內部均會組織「學習班」「解題班」等，有的學生甚至自己出錢雇家教教自己。

　　此外小班習題課上常有各種小測驗(計入最後成績);全體的大考試則每學期(12周)有3到4次 (相比之下中國的大學A通常16周內只大考兩次)。

　　開始我還沒太在意，後來我突然意識到B的這套體系不是很像中國高中盛行的題海/考試海/教輔/補課體系么?

　　那麼這套體系運行情況如何呢?至少從出口看，效果很好：學生考試成績不錯，我教高年級課時也感覺學生的低年級課的基礎打得好。學生的負擔很重嗎?那是很顯然的。有時我都覺得沒有必要搞這麼多任務。但可能是學生已成年以及本身上進心強等方面的因素我沒有聽說過什麼被壓出嚴重心理問題的事(也可能我孤陋寡聞了)。

　　B的這套本科基礎課教學體系是B在北美諸校中脫穎而出的一大法寶，這一點我在到了大學D後有極深體會。

　　B是讓很多中國大學流口水很多知識分子常掛嘴邊的榜樣，可是有多少人知道B的基礎課教學體系是這樣嚴酷(和類似中國高中)呢? 我曾試圖和來B「考察高等教育」的中國高校人員介紹B的經驗，可他不感興趣。能調動起興趣的是各種雕像Logo和特色建築帶來的「人文氣息」和學生活動招貼，草地休閑等體現的「自由學術氛圍」。。。。。。

　　現在我講講B和C大學的研究生教育情況。我只了解數學這樣的基礎理論科學，工科和實驗科學的情況可能不大一樣，敬請注意。

　　研究生學術水平遠超中國同地位大學

　　這當然是來美之前我就預計到的，但來了之後我才知道究竟強到何種程度。

　　雄厚的學術背景

　　不少研究生在剛入學時或入學後一年內就已經掌握了不少較深的理論。兩年以後，我見過的國內來作訪問的一些985學校教授已經無法和我們討論問題了因為有太多我們懂而他們不懂的東西。

　　精神原子彈

　　一個突出的感受就是關於人的精神面貌。這裡是我見過的人的精神力爆發性最強的地方。有一批為學術痴狂的學生時不時處於唯恐自己學得太少太慢的精神狀態。我也是其中之一。在來到這裡之前，我覺得自己長期處於一種與周邊格格不入的學術化偏執狀態，來了之後我覺得自己不孤獨了。我甚至很擔心我的某些同學會過勞死。

　　驚人的效率

　　強大的背景和只爭朝夕的精神造就了驚人的學習效率。和中國的A大學做個對比。比如在A大學五六個好學生進行任務分解折騰十二三個星期的討論班(每周討論一次) 可以理解清楚某一複雜前沿學術文章。在那時候我感覺良好得很，因為若把這文章交得我手裡我一個人便能在相同時間內輕鬆搞定。而到了在C大學裡一個研究生中的猛將靠單幹兩三個星期就能拿下。當然我沒多久也成了這樣的人。但如果不是B和C的環境我恐怕還在沾沾自喜自己鶴立雞群一個頂五六個而沒有意識到自己的效率還有提高至少五倍的潛力。

　　強烈的主人翁意識

　　B C的不少教授自身便是學界領袖，決定著學術的發展方向。這深深影響了學校的氣氛和學生的心態，彷彿自己就處於世界中心未來也要爭做主人翁一般。這固然有自大和可笑的一方面，但也意味著很多學生面對再難啃的學習上硬骨頭都有「志在必得」「攻必克」的自信。而這種自信在中國國內的大學是非常缺乏的：我見過太多國內的聰明孩子不敢去學最難的學術文獻。

　　也有一些平庸者

　　當然我要承認再好的學校都有一批水平一般的學生。不過他們中的一些在退出學界走向社會後反而可能成為比我們這些學究社會影響力更大的人。

　　人的差距是最大的

　　我一向不認為中國大學和世界一流的差距主要在於體制。首當其衝的問題是錢比人家少太多。這個問題在近年來得到了較大改善，但也面臨需要持續大投入和一定時間積累的問題。

　　那麼在錢的問題不那麼突出以後，什麼是主要矛盾呢? 我以為是人的差距。確切地說是中國未能在本土完成基礎科學一流人才的原始積累。我希望我的見聞能使讀者理解為什麼即使中國現在全盤複製美國的大學體制，中國的大學的基礎科學研究生教育也是無法和B C這樣的學校競爭的--- 研究生們的學術基礎天賦野心勇氣甚至勤奮程度都遠遠拼不過。

　　那麼是不是中國的基礎科學沒希望趕上美國了呢?中短期內(比如15年內)我覺得是這樣的。但長期看則不然。不過這要等我以後的文章解釋了。

　　(二)在D的經歷和思考

　　畢業後我在大學D任教。D是老牌名校，是美國綜合性大學第二梯隊的一個典型代表(B C屬第一梯隊)。我在D大學教過從大一到大四的來自各個院系專業的學生，有的課還是人數頗多的大課。和以前一樣我只能通過數學能力來了解學生。

　　本科生入學水平遠弱於BC

　　有些人在我看來需要重修高中乃至初中的一些數學課。個別人連小學數學(如分數的四則運算)都不熟!這絕不是我個人的偏激看法。比如學校出的關於新生數學能力的診斷性考試題竟然要考察自然數的四則運算，分數的四則運算，一元一次方程等(當然後面會考到高中的複數極限導數等)。而多數新生在這樣簡單的考題上竟只能拿到一半分。更可怕的是，他們中很多竟然敢於免修第一門微積分課(直接上第二門)。。。

　　教學困境

　　顯然，在這樣的情況下想讓學生知其然也知其所以然已成了幾乎不可能的任務。一些剛從象牙塔畢業的青年教師(我是其中一員)對此沒有思想準備。我試圖保住一條底線：最起碼我要解釋教科書上寫了的東西讓他們在學完後能看懂教科書。但即便這樣低的目標我也根本達不到而以慘敗結束。比如我一直耿耿於懷的一件事是：我教的微積分學生可能幾乎沒有人明白積分的定義。。。直到第二年我才從更有經驗的人那兒了解到：不要試圖準確描述基本概念，也不要花較多時間解釋主要思路動機或多問為什麼(因為這對學生來說實在太難了。。。而且會遭到學生的強烈反對)。

　　那麼是不是說在所謂「素質/啟發性/創造性/實質性」教學完全走不通後只有「填鴨」教育一條路讓學生會算一些題就行了呢?事實上由於沒有大學B那樣強的(類似於中國高中的)管控體系我們連「填鴨」的能力也沒有。

　　最終的結果是通常已經有所放水的期末考試常常是多數人無法及格。而且低年級的劣質情況積累影響中高年級，甚至導致系裡不得不把一些有多年歷史的中高年級的課程內容砍掉1/3以上 (但之後仍是大多數人考不及格。。。)

　　我剛到學校時曾與系裡一位老教授攀談，當談及基礎教育失敗導致學生數學能力極差且有越來越差之勢時這位曾上過戰場的老頭竟然控制不住在我面前哭起來。我在教了好幾門課後開始明白他的痛苦了。

　　學生有自由但反受耽誤

　　另一件讓我印象深的事是：D沒有讓我覺得學術上拔尖的本科學生。到了高年級確有一些功課學得很好也有心向學的人。我給過他們一些進一步發展的意見指導，但無一例外的發現他們學過的東西非常非常少對學科的理解則基本還停留在新生和科普水準。在了解了他們在本科三四年中的學習經歷後我發現他們基本上都有幾個問題：

　　1 在中低年級並沒有完全想清楚自己未來要幹什麼因此花了不少時間去體驗其他的專業以及很多「通識課」。大學自由靈活的體制也鼓勵他們這麼做。

　　2 以為自己所有的專業課都學得很好就行了。

　　這樣做有啥問題呢? 問題在於他們被真正拔尖的孩子(其他學校的和外國的) 甩開得太多太多了：三四年前大家的起點差不多，而現在別人「輕舟已過萬重山」高出他們好幾個境界去了。怎麼會這樣呢?這是因為最拔尖的學生具有很強的目的性 (我一定要當科學家)，自我指導性(給他足夠的書，他自己就能鑽研出來) 和自我激發性 (學得越好就越不滿足甚至越焦慮)。

　　D大學的好學生沒有這麼強但是如果他們從大一開始就堅持貫徹明確的專業培養計劃他們和最頂尖學生的差距不至於這麼大(起碼學的專業課會多得多)。而現在我只能指出他們的學術基礎太薄弱(很多基礎專業課沒學)並開出長長的課單書單。但我知道他們沒時間了：畢業期申請期快到了，一些孩子也痛苦地意識到：自己看似沒有什麼問題的學術之路實際上導致自己已經輸在起跑線附近(如果以成為一流學者為目標的話)。

　　堅持貫徹明確的專業培養計劃這其實是中國大學的辦法。中國大學給學生轉專業和定專業的自由遠不及美國學校。這當然導致了眾所周知的學生不得不學不喜歡的專業的問題但也保證了次好的學生在願意走此專業道路時不至於落後先進太多。這些次好的學生(假設在中國最頂尖學校)的學術競爭力強於大學D的上述好學生(雖然D的科研和教授實力目前肯定強於中國最頂尖學校)。

　　我知道中國一些大學近年來喜歡搞所謂「寬基礎」的綜合性強的「XX班」並賦予這些班的學生廣泛的專業選擇權。但我也了解到很多這樣的嘗試產生了不小的負面後果(比如事實上削弱了學生的競爭力)，在有些學校甚至導致了公開的矛盾衝突。D大學和中國的實踐提醒我們「寬基礎」「通識」培養體制存在的弱點：最頂尖學生不會因此更厲害但次頂尖學生可能會嚴重落後(並在某個時候遭遇信心重挫)。

　　上文講到大學D的新生基礎太差，導致教學質量很差。這其實對學生的傷害最大。最直接的一個表現就是

　　數學科學死亡行軍(math-science death march)

　　這是紐約時報一篇長篇文章鏈接出處中強調的一個詞。這篇文章主要講的是：為什麼有很多愛好科學有志於學習理工科的孩子到了大學學習兩三年後紛紛轉專業?----因為理工科實在是太難了(so darn hard)，特別是孩子們無法戰勝低年級的數學科學死亡行軍(math-science death march)。

　　But, it turns out, middle and high school students are having most of the fun, building their erector sets and dropping eggs into water to test the first law of motion. The excitement quickly fades as students brush up against the reality of what David E. Goldberg, an emeritus engineering professor, calls 「the math-science death march.」 Freshmen in college wade through a blizzard of calculus, physics and chemistry in lecture halls with hundreds of other students. And then many wash out.

　　這篇文章本身沒什麼大不了，最有價值的其實是後面的1000多條讀者評論。其中有大量認真撰寫的長評論，我強烈推薦英文好的人看一看(順便說一下，英文主流媒體常有讀者評論比正文有意思的情況)。除了一些有些離題的抨擊外國人或華爾街搶飯碗外，評論中出現了兩派：一派有很多學生，指責大學要負極大責任：如教授高高在上，所學內容過於晦澀，教學方式過於呆板等等;另一派有很多大學教師和老工程師(很多人上來先亮身分：我做XX/我教XX 已經多少年了。。。)，這一派認為主要是學生水平太次，不如自己這一代人。我雖然比學生大不了多少，但我屬第二派(屁股決定腦袋?)。大學教學固然可以挑出毛病，但在學生的極薄弱理科基礎(尤其是數學)面前都屬於小問題了。

　　我對這件事(數學科學死亡行軍) 有直接的體會，親見一些有夢想上進心強人其實也算聰明的學生由於搞不定我講的課(也許還有其他課) 而基本上喪失掉了追求夢想(探索科學或者做工程師)的可能。我觀察過一些常來問問題的學生發現糟糕的中小學教育導致他們腦子裡的知識點處於一團亂麻的狀態(可能比沒學過還糟糕)而這種狀態又進一步導致他們有條理的梳理組織思路的能力極為欠缺。即使我問一些他們中學學過的東西他們往往都會很快暴露出這些問題來。

　　把問題帶到下一個階段

　　也許有讀者會說我這個學究要求太高很多學生準備做應用技術或商業金融不需要把基礎課那麼好。但我強調的其實是即使是只要求不求甚解照虎花貓地使用不少學生也有不小困難。如果要打一個比方我覺得可能類似於要一個只認識1000個漢字的人讀報紙。以我們輸出的學生水平看，很多人要想在實際工作中 (比方說)考慮優化問題分析處理信號或者分析稍複雜的統計數據勢必感到吃力而且缺乏變通能力(這點從他們做應用題就能看出)。

　　一些對中學教育很憤怒的大學教授用「garbage in, garbage out」來描述這種情況：高中送給我們基礎太差的學生導致應用專業畢業的也是基礎很差的學生而這又進一步影響到工業界。我可以告訴河裡一些在工業界工作的河友一個秘密：除非你的工程師來自第一梯隊大學(最有名的那六七所)否則你得假設他的成績可能水分很大特別是數學基礎課(因為數學系通常在學校里較弱勢不敢得罪人)。比如如果他的成績為B 這其實可能意味著他實際成績不及格。。。。

　　研究生教育不算拔尖

　　再簡要說一下研究生教育。D大學的教授雖不向B C那樣強勢但也基本都是功力深厚的悍將。可是D的研究生精神面貌就遠遠不如 BC的研究生，反而更像中國最頂尖學校的研究生：有強烈的主人翁意識的人很少，沒有很多精神原子彈，(最令我窩火的毛病)很多人不敢學習自己方向上最難的學術工作。。。

　　我感到中國國內的最頂尖大學在研究生教育上和D大學這樣的學校比雖然仍然落後但已經可以望其項背了。比如如果未來幾年能夠保持現在的吸收海龜的勢頭，那麼在我熟悉的學科(數學)上十年後達到美國10-15名學校的研究生教育水平是完全有機會的。

　　第二梯隊基礎科學教育形勢不容樂觀

　　如果連 D大學這樣的學校生源都大成問題，我就不得不懷疑：除了個位數的最好學校外，美國其他的學校的美國理工科生源質量都有大問題。我沒有專門調查其他學校情況，但我零星接觸的情況同我的懷疑是吻合的。

　　我回想了一下我在國內的高中情況：中國的第一梯隊學校和其後的學校理工科生源質量遠沒有這麼恐怖的巨大落差。

　　不要再猜測學校

　　順便說一下，因為我說了很多D大的毛病，所以希望河友不要猜測D大是哪所學校(其實如果仔細看帖又對北美大學熟悉的話範圍很容易縮小到兩三所)以免在網上流傳後引起不必要的麻煩。ABC也不要猜了(雖然可能比猜D還容易)。

　　(三)我的一些思考

　　注意：1 我在這篇里只講大學的基礎科學研究和教育。2 我說的很多是對理論科學的觀察，實驗科學因為依賴於大量實驗設備分析起來可能會有所不同。不過我認為我講的大體上恐怕還是成立的。如其他領域的河友有不同意見歡迎提出。

　　美國最頂尖大學在基礎理論科學研究和教育上擁有巨大優勢

　　簡單的講美國擁有的第一流教授和學者佔世界的份額實在是太大了。按我的粗糙印象這類似於美軍在世界軍事格局上的地位。其他的表現比如吸引全世界最好學生從而擁有最好研究生院等都是建立在這一基礎上的。 (雖然我提過美國大學本科生源的嚴重問題，但最頂尖大學的還不錯而且作為象牙塔里的東西基礎科學的研究拼的是教授和研究生生源(不限於最頂尖學校)。)

　　不錯隨著美國經濟地位的下降它維持這一地位的能力會下降。但是這並非一個突變的過程(假定不爆發世界大戰或者蘇聯式經濟社會崩潰)。除了美國的經濟地位在中短期內大概不會暴跌式下滑外，具體到學界有三個特殊因素是很值得注意的：1 除了中國美國在經濟上沒有威脅大的趕超型的競爭者(歐洲日本經濟更慘)，而目前中國仍未在本土攢出哪怕一個理科世界一流的大學;2 一個第一流學者成熟後往往有30年「一流水準保質期」，這是很難被政治經濟條件改變的(當然做實驗的人會面臨經費問題)。這意味著即使現在美國繁殖一流學者能力受到了嚴重打擊僅憑已有人才也能維持一些時日，更何況這件事還沒發生;3 最頂尖的學校本身處在經濟社會金字塔頂端抗經濟打擊能力很強。

　　如果你認為中國有在15年內基礎科學趕上美國的機會不妨打開美國最強的10所大學查看相關領域的50歲以下非華人學者的名單。15年後這些人極有可能仍在美國。然後你再想想中國如何能在15年內製造出一個超出這些人的群體來。我的看法是：即使所有華人立馬回國中國一流學生也不再赴美留學也未必做得到。原因很簡單：時間不夠來不及繁殖那麼多國際一流學者。

　　美國獲得第一流地位的「經驗」對中國借鑒意義不大

　　那麼美國是如何做到這麼強的呢?我的看法是

　　1 美國的人口對任何其他發達工業國都具有壓倒優勢。從科學圈的角度看這人口不僅指美國的三億人也包括加澳兩國和部分英國的。

　　2 二戰導致了人類近現代史上最大規模的科學人才轉移。轉移目的地是美國。其實雖然美國在19世紀末就是第一工業國直到20世紀30年代初世界科學中心仍在歐洲特別是受一戰重創的德國法國。然而僅用短短10多年希特勒就重畫了世界科學版圖。我願舉一個很有代表性的例子。國際數學家大會是4年一次的全世界所有分支數學均參與的大會，具有很廣的代表性(其他學科沒有這麼全面的大規模的全行業大集會)。 1932年國際數學家大會 20個全會報告只有兩個是用英語作的(讀者可以由此想想當時美英在國際學術界的地位)。之後希特勒上台，二戰來臨，在1936之後就14年沒開會。到再下一次(1950)時， 22個全會報告有20個是用英語作的，英語也從此有了國際學界的絕對統治地位。

　　3 蘇聯解體導致了人類近現代史上第二大規模的科學人才轉移。蘇聯人才轉移對生化可能影響小一些，但對數理科學來說可是極為壯觀：這是從20出頭的天才大學生到80多歲的泰山北斗的全體系的遷移。轉移的人少數被歐盟吃了，大部分被美國吞了。

　　4 在美國的基礎科學於二戰後取得西方陣營的獨大地位以及冷戰後取得全世界的獨大地位後有能力輸出第一流後備人才的國家(如中印等)的一流學生蜂擁而至更使美國如虎添翼。

　　其他的因素(比如很多人津津樂道的「體制」「創新精神」「自由」等)即使是有利因素其影響力也和上述因素不在一個量級上。

　　對中國而言：因素1天然具備，在經濟趕上來自然就會發揮作用;因素2 3 可遇而不可求(多半是不可遇);因素4屬於已經成第一科學強國後的錦上添花，對如何做到第一沒什麼用。

　　美國大學的基礎科學體制宏觀上是一個容易學的順其自然的體制

　　雖然美國獲得第一流地位的「經驗」對中國借鑒意義不大，但仍可考察一下其維持第一流地位的「經驗」。比如說大家都愛談的「體制問題」。

　　在我看來美國的基礎科學體制在最宏觀的層面上其實很簡單：用大把的錢養大把的「學霸」(對大學者的昵稱)，學痴，頂尖學生; 然後讓這些人自己折騰自己治理就行了。中國有了大把的錢後也可以學當然學了以後還有等足夠的時間才能見效。

　　現在人們抱怨的種種中國學界問題基本都可以用這套體制來化解。缺乏創新精神? 「學霸」和頂尖學生就是創新的標杆;學術抄襲腐敗?「學霸」，學痴等很少會這樣對此容忍度也很低;心思不在學術上?在中產之後還心思不在學術上的人會被邊緣化;學術上近親繁殖，派系山頭鬥爭?嘿嘿，「學霸」/大學者基本都是有態度的人因為學術上總要面臨有所為有所不為的問題。為了貫徹自己的學術判斷，「學霸」分派系搶話語權是常態。那美國學界為啥沒亂套呢?學霸太多自然地就形成制衡了，派系之間的「多不管」地區也很多為標新立異的人提供了空間。

　　順便說一句：我認為真正最難學的是蘇聯體制，而蘇聯體制的效率明顯高於美國體制(至少在數理科學上是這樣的)。不過這需要另開一帖才能談了。

　　是不是說中國從美國除了最簡單的燒錢「順其自然」外就沒什麼可學的了呢?不然。美國體制的一些具體舉措仍有可借鑒之處。

　　美國體制的一些具體舉措有可借鑒之處(舉例)

　　我舉例講一個我覺得值得借鑒的東西：tenure track 體系(終身教職軌道體系)。研究性大學選擇自己認為比較有前途的做了一段時間博士後的青年學者將其置於此終身教職軌道上考察數年。期間較好地保障其研究條件。數年後若發現此人確實不錯則委任為終身教授若覺得沒有那麼優秀則讓其走人(即所謂的「不升即走」)。這是一種競爭性很強的制度，對最強者很有利(快速上升有效地避免論資排輩)，對次強者有一定風險但也可以強烈激發其動力。

　　對中國來說這種制度不僅有利於增強國內學術環境里一直偏弱的學者的鬥志，而且也是中國在有錢後同美國搶奪一流人才的需要(畢竟絕大多數海外華人科學人才是在美國)。10年前我就聽說過有引進此種制度的傳言但可能因為客觀條件所限(錢少?)沒有施行。最近幾年，幾所國內最好大學開始在基礎科學院系逐步開始使用這套高門檻高風險高回報的制度。據我所知這在海外一流青年學者中引起了很大關注很多人都動心了，不少已決定回國或正在籌劃回國。。。對這種「高門檻高風險高回報」而且顯然對非海龜不利的制度當然有不少不同意見(科學網前不久曾集中討論過這話題)但看來上層下了決心要和美國正面直接競爭。

　　美國理科基礎教育質量差而且積重難返

　　我前面的幾篇已描述了我認為美國理科基礎教育質量差的理由這裡就不再多說了。那麼有沒有辦法改變呢?在D大學讓我大跌眼鏡後我決定做一下調查。當然很快我發現早有受不了了的大學教授作了調查並常年奔走呼號。(Berkeley的伍鴻熙就是這樣的一個熱心人，他收集了大量資料和例證鏈接出處教育愛好者可以去看看)

　　總的說來我認為明顯改善的希望很小。

　　1 中小學教師素質太弱本身也是糟糕理科基礎教育的受害者

　　比如伍鴻熙和他的同事調查了很多中小學數學老師，竟然罕有人能解釋類似於「除以一個分數等於乘以它的倒數」這類簡單事實的原因!(可惜我一時找不到有多高比例教師做不到這些事的原始數據，不過絕對是駭人聽聞的高)。最後作調查的大學教授們發現中小學數學老師在上中小學時他們的數學老師就未能給他們解釋這些簡單事實的原因。等他們長大了，逐漸見怪不怪，也能順利做計算，可是他們始終沒有理解為什麼!他們雖然上了大學但往往是大學裡學得較吃力的學生被微積分線性代數折磨得夠嗆，而且最重要的是：大學也不會教這些東西呀。

　　這時我就深刻感覺到了中國這套師範學校體系的重要性。

　　2 教材和教學標準體系有嚴重質量問題

　　看了憤怒的大學教授和一些家長的控訴後，我才了解到原來很多流行的數學教科書內容有嚴重漏洞，歧義或錯誤。感興趣的河友可以去看上面鏈接中伍鴻熙找出來的各種奇葩例子。我只半劇透一個。一些美國學生不懂分數的乘法：為啥 2/3 * 1/5=2/15? 就是不懂!甚至還專門造了一個詞(fraction phobia--分數恐懼症)來描述這種不懂的恐懼。 (中國人想不通)這事兒怎麽就能這麼難呢?美國的教科書害的。。。

　　教科書的問題其實是教學大綱和教學指導思想的產物。那麼教學大綱和教學指導思想出了啥問題?大致說來美國有兩派。第一派由中小學教師和教育學專家組成主張初等教育要實行「啟發式」「探索式」教學多從實際從動手出發用計算器等代替傳統計算教學等;第二派由大學教師和一些家長組成主張傳統教學法強調記憶和練習強調嚴格的書本知識學習。兩派爭執不下矛盾公開化在90年代曾釀成著名的「數學戰爭」(鏈接出處)。從現在的情況看第二派在掌握教育主導權上失敗了。前述的問題是在第一派的思想下產生的。

　　3 教育改革阻力極大

　　那麼美國能不能回歸一些傳統或者直接向中國之類的體系學習呢?不少人就是這麼主張的(當然他們中的很多不說學中國而說學新加坡之類)。但是這類改革會受到強大的教師工會阻撓。家長總是分散的，大學教授人數少而且外國人多不接地氣。他們是無力和人數眾多高度組織的中小學教師爭權的。更不用說把握相當一部分話語權的教育學專家們往往是第一派。。。。。。

　　4 經濟困難

　　宏觀經濟困難導致美國政府捉襟見肘。各利益集團都要爭奪縮水的經費蛋糕。在金融軍工醫療等巨人面前公立教育是弱勢。。。

　　5 種族因素

　　非洲裔和拉美裔的理科成績弱在好大學的理工科里所佔比例極低。而他們占人口的比例在不斷上升。。。

　　6 教育標準在全國範圍內不統一

　　在聯邦制下地方有很大的自主權。我詢問過我的學生，感覺不同地區的學生學的課的難度知識點甚至順序都會有很多不一樣，情形十分混亂。更麻煩的是美國人遷移性大。我聽說有很多孩子在搬家後會出現學習的課程無法銜接的麻煩。我甚至知道有的人在中學裡沒學過物理(連牛頓三定律都沒學過)。。。

　　7 反智主義的干擾

　　有至少兩類反智主義。一類基於保守宗教思想。這類思想對知識分子沒大的影響力但有一定群眾基礎，有民粹式的政治影響力。其對某些地區出身的人有洗腦作用。比如曾有學生告訴我他因為對上帝的信仰和家庭教育因素長期以來對學習物理和數學有難以克服的感情排斥性。。。

　　另一類則以相對主義多元化極端環保主義女性主義等面貌出現或者表現為一些受過良好高等教育但理科學得不好的人質疑學習理科的必要性。這些人雖不如第一種多但往往更難纏。我可以舉一例管中窺豹。紐約時報曾刊登一文鏈接出處鼓吹「數學作為必修課會阻撓我們發現和發展年輕天才」(Making mathematics mandatory prevents us from discovering and developing young talent.)並建議大多數人不用學中學的代數了。注意，這是中學的代數：是教你用xyz代表變數教你了解多項式教你解一元一次方程的代數課! 他的提議固然受到了多數讀者的抨擊但值得注意的是也有相當一些人支持他。。。

　　中國的這方面的情況要好一些。第一類在輪子被鎮壓後沒有什麼引起我注意的跡象;第二類呢?嘿嘿我覺得中國公知的腦殘度是不輸於美國的。好在他們的幾乎全部注意力一直放在TG身上。。。

　　美國的理科基礎教育質量差是美國人自己也意識到了的一大問題各種抱怨充斥媒體但始終不見什麼好辦法。我在做了一些調查後也感到問題積重難返解決希望渺茫。

　　美國的基礎科學研究高度依賴外國人才輸入

　　這是大家都熟知的事實。那麼依賴程度有多高呢?最好的辦法是看各學科的行業學會的年度報告。我查看了美國數學會的多年報告發現美國的數學博士中出生在美國的所佔比例常年維持在四成多。另外在其所統計的美國頂級大學數學系高引用率學者中外國人佔六成。所以在數學界可以說至少半壁江山靠外國人。其他的學科也許會略有不同但美國的基礎科學研究高度依賴外國人才輸入應該是個準確的判斷。

　　美國的這種情況是非常奇特而且前所未有的。歷史上曾出現過的其他頂級科學強國(老歐洲三強英法德以及後來的蘇聯) 在巔峰期其科學事業都是基本上完全由本族人支撐起來的。

　　基礎科學研究高度依賴外國人才輸入是一把雙刃劍。

　　先說其好處：1 它使美國科學在世界上所佔份額大大超出其經濟總量佔世界的份額(美國GDP約為世界的兩成多但頂級學者顯然不只這一比例)。2 它使美國的潛在競爭者追趕美國的難度大增。

　　但它也有明顯的風險：當國家相對衰落到一定程度後可能會導致科學水平大幅度下滑難以堅守住一個高位。

　　我仔細解釋一下。

　　以數理科學為例。外國人才的最大兩個來源是前蘇聯人(或者稍廣一點--前華約人) 和中國。蘇聯(和華約)靠著具有驚人培養人才效率的蘇聯體制在冷戰結束前夕積累了群星璀璨後浪推前浪的全年齡段頂尖人才梯隊。蘇聯崩潰後人才梯隊幾乎全體系地離開蘇聯多數去了美國。此後蘇聯地區的優質科學研究和教育體系基本崩潰。現如今不僅在一流學術競爭方面基本出局(Perelman等極個別人例外，而且Perelman是脫離學術體系的異類) 前蘇聯地區甚至連向美國輸出一流後備人才(頂尖大學博士生)的能力都已非常薄弱(我留意過好幾年B的研究生來源，我想不起一例B大學從前蘇聯地區的大學招研究生的例子而同期B從中國招了一大批學生)。簡單的說解體後的蘇聯不僅金蛋被搶光會下金蛋的母雞也被殺死了。

　　蘇聯解體20年了。未來15年內美國從蘇聯獲得的人才戰利品將過期而且無法補充。

　　中國的情況則是最有意思的。自中國對外開放以來中國理科的最頂尖學生就持續不斷的流向美國。這一方面強化了美國的領先地位另一方面導致中國長期失血始終難以完成本土一流人才的原始積累。可以說中國近二三十年的狀態對美國維持其地位來說是非常理想的：中國基礎和本科教育足夠強可以大規模長期為美國輸入後備人才但研究生教育和基礎研究足夠弱以至於無法大規模吸引頂尖人才迴流。

　　然而中國的很多事業都有這樣的特點：格外漫長，挫折失誤連連，長期看不到希望(或者說只能將希望寄託於人多)，眼看著別人有很多「捷徑」但學不到手，最後走了一條異常艱苦一個台階都繞不開的路，然後逐漸收穫果實並能望見難以限量之光明前途但很多人還沒意識到最難的階段已過去。。。

　　我感覺中國的基礎科學研究大概也是這個路子：頂尖理科人才的長期外流純粹從國家角度看，在三十年尺度上是吃大虧的事，但從五六十年尺度看卻可能是最終盈大利的。中國通過美國的體系在海外順利完成了一流人才原始積累和建設全年齡段人才梯隊。由於中國經濟實力的急速提高，美國的令本國人民和精英都始料不及的地位下滑以及中國青年有了美國可被中國「取而代之」的「皇帝輪流做之賊心」，最近幾年來已經有未來10年內還會有成批第一流中國青年人才迴流。在我看來中國基礎科學在本土完成一流人才原始積累就如中國經濟總量超過美國一樣是沒有什麼懸念的事。各種人們抱怨的國內不利因素只會影響早幾年還是晚幾年實現的問題。當然從在本土完成一流人才原始積累到基礎科學趕上美國還需要一段不短的時間(學術後代繁殖需要時間)。

　　一個中國頂尖學生 20多歲到美國學習 30多歲回國工作這是一種新模式。六年前(08美國金融危機前)這樣的模式鳳毛麟角，但最近幾年呈現滾雪球之勢。我周邊(包括我)有越來越多這樣的人而且相互影響相互呼應。這和更早時期的頂尖人才的 20多歲到美國學習之後在美定居的模式大不同。後者對中國也是很有意義的(回國講學組織會議，保持華人在世界學術中心一席之地等)但對美國的直接貢獻更大。而前者則顯然對中國貢獻遠大於對美國的而且做貢獻的能力是在美國獲得。如果說美國在一流基礎科學人才這個領域從中國抽了30年血的話，現在中國要開始反過來從美國抽血了。美國無法通過刻意壓縮從中國招研究生阻止中國抽血：如果它這樣做則不僅會導致生源質量下降而且會導致頂尖學生不得不在中國深造從而幫助中國更快的進行一流人才的繁殖。更可怕的是中國學生在21世紀以來在美國後備科學人才中占的比例似乎越來越高近年來更是迅速擴散到本科階段(我親身體驗似有爆發趨勢不知是否和美國高中生的理科水平進一步下滑有關)。這意味著中國的潛在抽血能力還在增強。。。

　　美國能不能找到彌補「蘇聯空洞」和「中國抽血」的辦法呢? 由於本土理科教育質量積重難返靠本國人是極為困難的。這件事和美國高度依賴外國人才輸入的現狀是相互促進的。這事情有點類似於美國要將已經丟掉的製造業從海外拉回來一樣不靠譜。更麻煩的是，在製造業方面美國總還可以將希望寄託於新的高科技，而在基礎科學方面按照定義已經沒有更「高端」的東西了。

　　依靠其他外國也不太可行。印度或有在未來向美國輸入更多科學人才的能力但我很難想像他能彌補「蘇聯空洞」加「中國抽血」。歐洲有人才但只要法德荷比瑞等幾個老歐洲核心經濟不崩潰美國無法在現有基礎上多撈到多少。非洲大中東(以色列除外) 拉美東南亞等人口眾多但理科教育體系太弱輸出後備人才到美國一流學校搞基礎科學的能力很差。

　　從更長遠角度看如果美國的經濟地位持續下滑(哪怕僅僅相對於中國) 美國的白人人才也存在外流中國的可能。我以前覺得不大可能，但我近年來已經看到了一些國內最有錢學校用高薪招到美國中檔藤校正教授水平的白人。頂尖學者由於職業特點國際主義傾向較重而且美國和西方已有一代人以上學者是在高度推崇全球化的大學環境中成長的。。。

　　日本在經濟出現「失去的20年後」基本保住了本土的一流科學人才(當然這也說明了日本的封閉性)。在中美經濟力量對比易位後的20年內美國的科學界只怕「欲為日本而不得」。

　　教育問題顯現效應有較長滯後期美國精英可能準備不足

　　我以前提過一個第一流學者成熟後往往有30年「一流水準保質期」。另一方面一個中國學生可能現在剛到美國來讀書離他回國可能還有10年離他在國內開始有效的繁殖學術後代可能還有15年;這意味著雖然他最終屬於「從美國抽血」的人但這事有10幾年滯後期。

　　從主流媒體看美國的精英階層對教育問題顯現效應有較長滯後期這件事似乎沒有足夠警覺性至少沒有警覺到認為就算現在集中資源死保基礎科學地位都有可能動手晚了點。不錯有很多指出美國基礎教育差的聲音，但對於基礎科研和高等教育(研究生教育)輿論似乎還是普遍很樂觀認為這是中國差距甚大美國不必太憂慮的領域。對於美國高度依賴外國人才很多人單純覺得這是美國的優勢：外國人來說明我們厲害嘛。更有甚者各種有濃重意識形態色彩的膚淺言論還大有市場似乎喊幾句中共體制壓制自由就能推出中國創新趕不上美國。。。

　　美國例外論

　　根植於上述許多問題深處的精英思想根源是「美國例外論」。我認為 1 美國冷戰後的經濟地位與其人口比例高度不匹配 2 美國冷戰後的基礎科學地位與其經濟比例不匹配(與其人口比例更是超高度不匹配)。美國例外論者大概也同意這兩點。

　　我們的分歧在於：我認為從長的歷史尺度看美國的上述地位的獲得有很大的偶然性而且是不可長時間持續的(即使美國沒有犯大的錯誤)，更不用說美國還犯了一些大錯誤;而例外論者認為美國是「例外的」從而即使相對地位有所削弱，也必然是居第一位的領導者，不會被中國取代。很多誠實的例外論者也承認既成或幾乎既成事實(比如從中國出口超美到中國製造業超美到中國經濟超美)，但是他們往往在下一個里程碑處繼續持「例外論」。

　　結語

　　上述歷史觀的差異是很重要的。對很多美國精英來說美國的基礎科學和高等教育具有中國在值得預測的未來沒有機會哪怕接近的地位從而不僅成為他們自信的源泉而且可能為其他領域(如製造業)提供美國「王者回歸」的機會。對我來說在基礎科學和理科高等教育方面「中國速勝論」和「中國無法超美論」都站不住腳但中國在跨越我一生主要學術期的未來30-40年的「持久戰」頗有勝算。在認識到這一點之後我就知道我一定要回國：不僅因為我是中國人也因為我是希望參與到新的世界科學中心形成進程中去的「國際人」。另一方面我衷心希望美國人能平穩過渡到世界第二並和歐洲等力量一起實現基礎科學不過度集中於一國(中國)。這種長期存在的平衡和競爭力量對中國和人類的基礎科學的長遠發展都會是有利的，有長久歷史經驗積累的中國人當能體會

呵呵，一切批判中國基礎教育的，我覺得都是出於羨慕嫉妒恨。沒有紮實的基礎教育，就沒有那麼多優秀的中國學生。雖然回想過去初高中階段，充滿血淚。但這些年，我深深感覺到紮實的基本功和基礎教育對我的巨大幫助。

教育需要因應時代的要求不斷改革，但是不是推翻一切。好的要保留，不合適的要改進，才是正道。

我覺得說這篇文章的挺對的。當然，不可盲目全盤肯定之（畢竟裡面夾雜了不少疑似私貨的東西）；但提出的建議，我們還是要吸取改進的。

初等數學不談，中國的高等數學教育的確是沿襲前蘇聯的風格，這就導致很多東西學起來特別的機械死板。

比如說線性代數裡面寫線性關係，教科書裡面定義了一堆k，這樣的做法的確嚴謹，但是在老師水平不高的情況下，很容易把老師連帶著一起也坑了。

——向量α、向量β，倆向量在一條直線上，這就是線性關係。

你看，就這麼簡單的說人話，教科書做不到。（當然我估計我這麼一講，有的人又要噴我不懂線性代數亂說了。我知道確切的線性關係是一次函數關係，謝謝。）我個人認為，應該先給學生們一個大體的感性認識，再從感性認識提升到抽象思維。要從宏觀的角度告訴學生們「這門科目講述的是什麼」，再去摳個別細節也不遲。現在的狀況，卻是一門心思摳細節，卻忽略了整體科目是為什麼而存在的。這樣很快就會使學生們喪失好奇心和積極性，從而放棄數學這門學科。

就像線性代數一樣，我念書的時候，從來沒有一個老師對我這樣講過：

——線性代數，是通過矩陣來描述多個向量的學科。並在其中用數字來進行計算，解決高維解析幾何的問題。

你這樣一說：「同學們，我們生活的空間是三維的，但是我們現在就用筆和紙，來算四維空間裡面發生的事情！」

同學們一聽：「嘩！四維空間，太奇蹟了！我們也能做嗎？」

若是這樣，學生們還可能厭煩數學這門學科么？

已經有人批駁過原作者(a+b)^2=a^2+2ab+b^2的例子了，我就略微詳細說一下。當然了，首先說明解釋這個式子，用幾何圖形來說明並沒有多少不妥，初等教育里這麼解釋是非常常見。然而，一個接觸過高等教育數學專業學習的人，依然把這種方式認為是優秀的數學思維方式，我只能說，對於相當於國內大一後難度的數學專業課程的思想，原作者並沒有很好的掌握，原作者有對沒有公理化思維批評，然而從他的例子來看他對待數學並不是按照公理化思維。

那麼遇到（a+b)^2這個式子，按照數學，特別是說代數的思維會怎麼看呢？

第一步：(a+b)^2=(a+b)(a+b)，這來源於對^2的定義。

第二步：確認乘法關於加法滿足左分配律後，得到(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)

第三步：確認乘法關於加法滿足右分配律後，得到a(a+b)=a^2+ab;b(a+b)=ba+b^2，則原式=a^2+ab+ba+b^2

第四步：確認乘法運算滿足交換律，即ab=ba後，得到原式=a^2+2ab+b^2，證畢。

在不能告訴我a、b在怎樣的集合，符合什麼樣的運算的時候，問這個問題是沒有意義的，但我根據原作者的描述，該問題應在a與b都是實數的情況下，那麼根據實數的公理化定義實數滿足域公理，自然滿足乘法的交換律，乘法關於加法的分配律，那麼第二、三、四步才有意義。而當你當對於這些過於熟悉的時候（對於我們來說其實在小學時候就已經熟悉了！），那麼我們使用的時候就不需要再解釋這麼多中間過程是怎樣來的了。舉一個簡單的高等數學的例子的話就像21世紀的數學論文涉及到一個15階群的時候，恐怕不會有人去證明這個群為啥是循環群。

在我對小學數學模糊的印象里，記得教學中會有涉及到這些公理體系，介紹加法和乘法的運算前，會介紹什麼是交換律，結合律，分配律，這自然是有意義的。至於中國學生什麼時候開始對運算是可以不符合交換律的概念的呢？對於我來說，恐怕小學的時候就有了，我還記得小學數學裡會有一種題叫定義新運算，至少小學奧數里一定有。當那時我在處理一種「新運算」的時候，我還記得旁邊的我媽說了一句，你會算矩陣了啊，想想那時的我，就已經產生了一種對於非交換的代數結構的粗略印象，那還是很激動呢。看看，這原作者看不上的小學奧數里，是不是有抽象邏輯的思維呢？再舉一個例子，我母親是國內一所二流大學CS的faculty，總抱怨生源質量一般（雖然她說近年來感覺好了不少，不知是學校聲譽上升所致還是國內學生平均水平提高了呢？），她某天下班回家打斷在做作業的我，然後以教我點數學知識的名義向我講起了布爾運算，當然我是很快理解了，然後她說「看，這很簡單吧，為啥我的有些學生就是講不懂呢？」我不敢說一定是什麼原因，是否有初等數學能力不足帶來邏輯能力欠缺的原因，但是看看當年的奧數，多少涉及一點邏輯運算，又怎能說只是學的只是炫技而對高等數學沒有意義呢？

延伸一點，在涉及到前述問題的時候，高等數學的初學者怎樣進一步思考呢？比如，在初接觸群論時會思考，怎樣的群是非交換的？他會想到有矩陣關於乘法的群，還有四元數群的例子。然後呢，有的人會對四元數群這樣抽象的定義不適應，那麼如果能想到或者了解到四元數群可以用矩陣表示出來，應該會覺得，其實這樣的思維似乎並不難接受。到了這一步，這位初學者已經在無意中接觸到了樸素的群表示理論了，如果他未來會做代數，這大概會是一個開端。僅舉一個初學者例子，代表了怎樣是我個人認為合適的數學學習思維方式。

雖然，個人在數學Ph.d.里的水平不高，並不能給出對數學研究的很好建議。在個人閱讀過的一些數學大家的研究方法論的資料中，大體上不同數學家的研究範式是有較大差別的，例如竟然可以沒有大體固定目標，每每是突然讀到一篇或幾篇論文，無意間得到一些有趣的觀點，就決定做下去然後出了不小的成果，這種方式恐怕很多人看來不好，然而有菲獎得主便是這樣做的。

至於作者看作只是考察炫技的競賽，前面我已經提了一些，還想再補充一些，今年來，數學屆以Tao為著名代表的前競賽突出表現者，越來越多的成為了今日數學研究中的佼佼者，不信的自行查閱新千年的菲爾茲獎得主背景，雖然反過來說不一定都會很成功，但我接觸到的前IMO金牌的faculty，科研是否有很大成就也要看運氣、努力、與他人交流合作能力等等太多方面因素，但不得不承認至少數學思維能力他們比我高了太多，每每覺得作為他們的學生要跟住他們的思維方式多少會有點困難。對於我這樣的當年數學競賽自認做不下去改學化學競賽的人，只好掩面啦。

本人大一在讀，理科生，數學基礎不算差，僅根據個人經歷對現今的中學數學教育做點評價。

如今的高中數學確實變為了一門「套路應用學」，我們對不同的題目形成不同的反射。但是出題人還是在減弱這方面的影響。較難的試題無論是老師還是學生，都是不喜歡和不推崇的。相反，那些新類型的題目（例如「新定義」類型問題）受到了推崇，給予學生一個陌生的環境，將他在平日形成的條件反射通過某種方式弱化掉，通過他自己的思維能力將「陌生問題熟悉化，熟悉問題深刻化」。這樣的題目才是老師喜歡的，學生做了也歡喜：我一眼看著不眼熟，動點兒腦筋，又解了出來，有點兒意思！

上面所說的「新定義」類型問題，在許多高校的考試中比較常見，學校常常會將大學中的概念拿出來作為題目，讓你在臨場發揮下學習概念，理解概念。

但無論如何，這些題目到頭來，還是離不開「套路」二字，中國的高三學生會在高三的時候花一年的時間去刷題。等到最後，什麼題目沒見過，「新定義」問題再也不新，即使給的材料是新穎的，套路還是那個套路。

我個人覺得，中國數學教育顯得「套路」的主要原因是太偏功用了！它確實成為了一門公式使用的學科。我們老師曾經跟我們提到過一個活生生的事例：一般的高考，三角函數那塊兒不是考解三角形，就是考解三角形，把正餘弦定理，誘導倍角公式一用，都能做出來，但是有一年陝西特立獨行，考了個倍角公式（好像是）的證明，難倒一大批人。

這樣一來，問題就很明確地顯現出來了！在我看來，真正體現數學思維的，並不主要是那些公式的使用，而是對定理的發現以及證明。

高中那段時間，我很少見有同學一下課問：這個橢圓的標準方程是怎麼推的？它憑什麼是這樣？類似的問題也沒有，都是，這道題應該如何做，有時候運氣好，那些問題會涉及到諸如「橢圓標準方程」的問題，那他們也就順帶學習一個了！

上大學後，這個問題更加明顯了。心理系學習的是高等數學B。目的很明確，咱們學數學，就是用它，別的不管。這樣好了，一切證明都不管，老子就是拿著這些公式往上面硬套。

我的高數不肯那麼學，拚命想著這些定理是怎麼證明的，最後成績不盡人意。倒是線性代數，我在考前把所有公式背了一遍，倒也拿了個3.8的績點。

其他系的數學課程肯定沒有我們的那麼得過且過，但我有時在懷疑這樣的數學課程的存在究竟還有何意義？

高中階段，如果你數學有天賦，哪怕數學教學質量再差也與你無關，填鴨也不會磨滅你的直覺，因為你不需要教，自己看書就能搞懂。

如果天賦不夠，紮實的基本功訓練對你也沒壞處。

還有那個（a+b）2，無非是多項式乘法映射成正方形面積，成立是必然的，但非要畫個圖才能解釋清楚，那我就呵呵了。

利益相關：三線城市高考重災區，聯賽數學2等獎的弱渣，大學學的工科。經歷過填鴨，也不懂最近50年的數學，北美留過學，工作與統計沾點邊。

比起純數的大神們我的經歷應該更接近普通人視角，嗯。

這裡應該對「中國的數學教育」有一個明確的定義。如果指的是某某著名大學數學系或某某研究所做的工作，那是非常之堪的。不堪的是高考、研究生考試數學科目的設置。

中國的數學考試考察的是做題的能力，而不是解決問題的能力。中國的考試這麼考，於是中國的教材就針對考試來寫，學完以後學生除了考試啥都不會。比較突出的是同濟大學的《高等數學》、《線性代數》和浙江大學的《概率論與數理統計》，用來應付考試是絕佳的東西，但除此之外......

我考研數學142，看了《線性代數應該這樣學》和《Introduction to Probability Models》後我發現我之前根本沒學過數學，更不具備運用數學解決實際問題的能力，我會的僅僅是以極快的速度完成考試，能在規定的時間把卷子獨立做兩遍，不用草稿紙。

繼續認真刷蘇聯的題。。。

說句題外話，看了題主給的文章鏈接，想提出一點，在中國考駕照，不考繞樁

我去年給我們學校本科生當過概率統計助教。三分之一的小朋友期末考試不及格怎麼破？前十名九個人的姓是華裔的姓，而華裔只佔班裡的三分之一不到怎麼破？

利益相關：某藤校

本人非數學系學生，但是處在一個研究性的環境之中，覺得還是有一些理解的。

首先需要點明的一點是，說數學研究需要創新而不是炫技的恐怕沒有接觸過真正的數學研究領域，本人之所以不學數學就是因為自覺沒有這個天賦且對具象事物較為敏感。現在的數學理論研究隨便找一篇文章很少有所謂的簡潔和創新，當然也很難賺大錢，這也是大多數數學系學生最後走向統計和金融的原因之一。

其次重複機械的訓練是十分必要的，熟能生巧這句話說的一點都沒錯。你高中所做的只是上大學之後必須的基本知識，這不是熟不熟的問題，這是應該印在骨子裡的東西，哪怕像我們學物理的都應該有這樣的覺悟。高中以前的學習只是養成一個學習習慣，到了大學你會發現沒有答案幾乎沒法做題，到時候你就會想念高中能自力更生的時代了。

一些人認為是炫技的存在在另一些人的眼中或許只是研究的基本技能。

題主是想成為哪一類人呢？是想改變世界還是說改變世界的人炫技呢？雖然我也很年輕，但還是想說，年輕人要有追求，這也是我正在做的。

隨便去一個資料庫看看數學專業論文，你就知道數學研究和高中學習的區別了。

炫技？不存在的，你只會被數學按在地上c。

原作知乎： @amathnerd

A math nerd???!!!!!! Excuse me?!!!!!

看了下這篇文章，大概作者數學肯定不會好到哪裡去，我也不知道為什麼會存在這種上帝視角來評價中美的數學教育體系。

我本人做過本科生數值分析的TA，這門課有點特別，我的教授不管事兒，我的工作包括但不限於：

每周批改八十份又臭又長的作業

每周不定期OFFICE HOUR

因為學生說作業太難我每周還得寫講義和作業指導

最後打上分數給總評ABCD

我的感受是：

1：那些所謂本科GPA 4.0的很多同學在大三能熟練地掌握線性代數以及數學分析第一冊的都少之又少，更別談邏輯能力了，不是黑，我當時所在的學校以理工科見長，我們本科課程沒有拓撲學，最難得估計是到基礎的抽象代數。

2：美國學生中不乏有非常出色的學生，有很多學生每次學習態度都很認真，而且問我的問題很明顯都仔細思考過，當然，那幾個美國人平時上課一個個最後一排爐石打的飛起，考試的時候各個急性前列腺炎尿頻尿急的真的當我瞎子？

3：作者說一千以內的加減法都吃力真的可以歇歇了，你這條放在一百多開外的州立大學或者社區學校還能用用，放在前一百能排得上號的數學系這麼說真的會被人認為是智障。你看看克朗所那幾個牛逼的是不是北大的和那幾個法國毛子？

4：美國人真是好，只要想做科研，就算在非常差的州立大學，你都有機會接受到頂尖的數學家的指導，AMS會定期做夏令營，NSF會fund你的REU，大三大四可以隨心所欲跟系裡的教授做senior research，最後瀟瀟洒灑拿著幾份漂漂亮亮的推薦信去graduate school，而且還很有可能那個fellowship。

5: 當然，缺點也是明顯的，就是：效率低下，在美國教育更像是服務業，很多時候大多數教授，特別是在私立大學，會為了學生的反饋而更多的討好教授，曾經有一個學生很明顯的在考試中作弊被我抓了，本來應該是上報office記大過的，教授卻給了她一次再考試的機會，她最後跟我說他拿了A，並且教授曾經跟我說過：分數又不是錢，他們要你就給他們咯。值得慶幸的是我最後還是掛了四五個人，學習態度好的我也適當的會提分數，算是保留了我一份搞學術的底線。wtf......

我個人認為，中國很多的基礎教育，包括數學，物理，乃至音樂的基礎教育，都是世界頂尖的，我們學術水平總體還是比較落後的原因是：中國在科研方面，真的很窮。

國內數學教育的缺點也是明顯的

1：由於繼承了老蘇聯的那一套，我們講究坐功和算功，現代的應用數學很多時候更強調是idea和實現能力，說白了，中國學生的idea和動手能力還有待提高，但是我認為這只是訓練機會不多的原因，歸根到底：還是窮

2：有時候對學術的態度還不夠端正，當然我也是其中一員，我問心有愧，還沒能達到為了數學真理一往無前的勇氣，只求能一步一步走下去。

最後，中國的數學確實沒那麼的好，但沒這篇文章作者說的這麼不堪

為什麼中國人數學這麼牛，卻幾乎沒有中國人發現的數學定理？ - 知乎

中學數學教育怎麼樣不會影響數學水平的發展整體體制才是關鍵參考前蘇聯法國

...邏輯能力

你感覺不到你的邏輯能力在不斷解決問題的時候有增強？？我認為，反倒是多刷題多實踐才能夠鍛煉邏輯能力。假如你覺得不夠...那就學編程解決一些小問題，不需要學多深，能夠不斷解決問題鍛煉你自己就行了。。。

順帶一提，外國人口算不行是因為他們之前接觸的題都不是憑口算能夠馬上出結果的...基本上答案都是各種帶根號，小數的奇形怪狀的東西，然後再round，所以他們才會有專門教怎麼使用計算器，因此他們使用計算器的能力基本高於中國學生...

早上一起來就看到這個，好煩啊。

本人國內十幾流大學數學本科大三在讀。

那麼看這篇文章時，我腦子裡都在想些什麼呢？

（抱歉啊，不想逐段轉那個文章，所以下面的想法斷斷續續的。）

1、算數好都有鍋咯？(￣Д￣)?

2、「可咱們中國數學上的研究卻不盡如人意，這是為什麼？」

哦。

3、「數學是什麼？」

數學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發、促進、鼓舞並驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活；試圖回答有關人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；儘力去探索和確立已經獲得知識的最深刻和最完美的內涵。－－－－－－M.Klein

咦，文章作者，你剛說數學是什麼來著？

4、你說這麼多邏輯上的事……你是搞邏輯學的？你要是搞邏輯學的，你繼續按照你的思路，你會覺得所有人的數學都不好才對吧。

5、關於（a+b)^2=a^2+2ab+b^2，畫圖的「證明」國內的一些教材上應該有，只是你沒見過而已，更何況在這裡畫圖只是給我們一個直觀，不算是證明。你要說勾股定理用剪刀剪一剪也能證明我有啥辦法╮(╯▽╰)╭，不過我覺得看過歐幾里得《幾何原本》的朋友們會覺得那個證明才是數學＝0＝。

6、我知道你不是數學最好的人，我也知道你不介意背後有人責罵你。哦，我資歷比你低，所以希望你不要顯得幼稚。

7、最後我想盡量僅用本科目前所學的知識，從文章最後一句話「期待學到一個以中國人命名－－名留青史的定理。」分析一下文章作者：

(1)作者不搞代數吧，最基本的，你用到華羅庚恆等式的時候不會抖三抖？

(2)作者不搞數論吧，不然你用到柯召方法的時候不會內心一顫？（我就不提華羅庚和陳景潤了，我也不會那裡。)

(3)作者不搞幾何吧，Gauss-Bonnet公式很神奇吧，陳省身升級了一下你知道不？你要是對幾何感興趣，會不知道？（依舊不提丘成桐。）

(4)作者不搞計算吧，馮康有限元方法被你吃了？（表示我確實只是知道馮康這個人，沒看過具體他工作的內容。）

(5)作者不搞分析吧，不然陶哲軒這個名字…你起碼聽過吧。(嗯，我也只是聽過他的傳說，但是我聽過呀。）

希望此問題趕快終結一下吧，煩不煩啊。

某不水985兩年+美本TOP30 transfer兩年現在某top 20學校跟數學沾邊的（非純數非應數）專業PhD就讀隨便說幾句自以為自己的背景對各種信息都有所了解友好討論莫噴

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1. 大家似乎已經把課程難度、課程設計的問題討論得足夠多了，很明顯美本的課程設計比較簡單。比如，如果沒有AP，那麼很多學生第二年下學期才會學到第一門線代；這個在國內是沒法想像的。我transfer到的本科TOP30大學，應用數學BS居然最基本的抽代都不是必修，簡直可笑。大四老師還需要給考GRE sub的學生補習抽代…可笑到不行

2. 美本的一些大陸學生的確眼界稍窄，自己在水課里刷得開心，完全沒有見過真正rigorously訓練過的數學專業學生，尤其是頂尖的大陸歐洲學生。感覺在TOP10-TOP30 （沒讀過MIT caltech princeton harvard不敢妄下定論），成績A或A-對於想做數學的人才是及格線，但可惜我見過太多大陸學生，拿了幾個A就要不停地裝逼，然後問我本科前兩年有沒有這麼難…我心想，naive啊

3. 感覺一些答主有點帶節奏了…也許原文作者的確數學水平不堪，但是上升到個人高度disqualify作者的point的確沒什麼必要…再者說，作為作者的TA，在公共論壇上發言judge他，這個稍微有些違反某些ethical和education privacy act的嫌疑。至少我作為TA是堅決不敢和外人談任何關於我的學生的情況的....

4. 還是希望大家能夠盡量多了解一些信息再做出判斷，畢竟很多信息是不對稱的。比如，美國大學選課有時候是很自由的，很多學生到大四會選個水課刷一刷GPA。我本身的advanced ODE（傳說中的linear algebra and ODE的下一門）也是在大四上才上的，這並不體現我水平高低啊，刷個分而已…

5. NYU的數學碩士真的很水沒有聽說過被拒的…

並沒有，中國的數學基礎教育是很紮實的，只是高等教育中因為專業分化，數學在文科中不在被深造，在工科中也僅作為工具，僅有少部分數學物理等理科專業會學習系統數學，還有相當一部分學的是應用數學，這樣也造成了純理論數學一定程度上的稀缺，雖然在高尖端層次還在努力，但卻不是沒有和落後。作者對數學的理解和對國內數學學習的了解根本不到位。此外他拿增肌和減肥類比時，也暴露了他對健身一無所知。

找視頻，學。

非重點院校的教學水平跟重點院校的教學水平差距太大是最讓人絕望的。

感謝互聯網。

畢竟美國教育要培養的是商業人才。

應試教育確實會讓人注重背誦和技巧，但是有很多學霸都是理解型的學習。並不是這篇文章說的那樣。

高票都答得很好了，我再補充一點：

炫技和套路並非如文章所說的一點用沒有。

因為一個問題的數學本質是很複雜的東西，就像微積分的邏輯體系必須追溯到實數理論，概率論的邏輯體系要追溯到測度論。實數理論測度論都是更本質的東西，但是很多時候我們沒有能力也沒有必須去掌這麼高深的東西。在這樣的情況下，執著去去追求所謂的「本質」「數學的意義」本身就是低效的，更多的情況下，先學個套路，以後慢慢理解，才是學數學的正常模式。

所以千萬不要輕視套路。

這是一個挺過了實變泛函栽在數值分析上的數學狗的血淋淋的教訓。

我人是數學的學渣，高考的時候比我們班平均分低二十多分，好在用理綜超平均分六十多分給把總分拉上了一本線，那一年班上有人機讀卡沒來得及塗卡隨機塗寫都和我考一個分數，如果高考像考研一樣每科都劃分數線的話就可能沒我什麼事了，所以可以說是利益相關，我覺得國內數學教育標準過高真的有很大問題的，所以實踐中設計了通過刷題就能取得通過考試方式彌補了這一個問題。

雖然數學是一個非常重要的技能，然而現實是數學上的弱項並沒有在成為我工作中解決問題的短板，在所有的項目中，我的解決方式都是丟進軟體就解決。現實中經常遇到的情況是計算量非常大，不論多麼複雜的計算，都能通過編程解決，即使我會用手動計算也還是編程丟進計算機跑的。但是現實是除非個人有興趣，非計算機專業和數學作業是很少有學校開設計算機演算法課程的。但是我感覺數學課程的重點是在數學理論上，對於許多依賴於經驗的學科來說真的用處非常有限。

直到現在，我基本上都沒有用到比求導、積分更高深的數學，大部分的工程應用都是通過查表來解決應用需求的。當然我承認數學在一些科目中是基本功，比如我無法搞定的固體物理、量子物理等科目。我想也許這就是我物理老師說的，我們這麼課程的目的是選出能夠考到90分的優秀學生繼續研究物理，但是也不會讓絕大部分的人無法畢業。課程在設計的時候也許就考慮到了絕大部分的人學不會，所以用設計了背題可以通過的考核方法。

也許這樣的方式可以避免那些有能力的人浪費他們的天賦，不過我至今無法釋懷刷一個星期的量子物理、固體物理試題通過考試，但是實際中即使需要使用量子物理，也還是用的另一門課程里學的vasp軟體解決。

對於數學學習，只想說一句話：重劍無鋒，大巧不工

首先說一下個人情況，在國內上到初三，高一開始留學加拿大，現在高三。

我就從自己個人的感受來聊一聊高中數學吧，畢竟我也算是理科生，對數學這門課感觸較其他學科更深。首先，不可否認的是，這邊數學相對國內是要簡單很多的，所以我一直認為我們這邊高三可能也就學一學國內高一的知識。然而，前幾次跟國內朋友聊一聊，發現大體知識是很相似的。

那為什麼國內數學要難那麼多呢？

因為深度不同。

同樣是學導數，加拿大這邊你只要會基本的運用就夠了，如果能稍微深入了解一下，bonus mark也是絕對能拿到的。

而當我看到國內的數學題，運用難度有很大的差別，而這就需要國內的學生對此有著非常深入的理解。

我個人的感受來說，在加拿大學數學，你只要會照葫蘆畫瓢，成績是不會差的。你可以聽不懂到底發生了什麼，只要會做題就行了，題型就那麼點，連多刷題都不太必要。當然，老師上課還是會稍微講一下怎麼理解的，但是聽不聽就是自己的事了。

就這樣，為什麼很多本地人的數學成績還是不理想，甚至有一些中國人也不夠好呢？

數學的基礎教育。

我個人是非常感謝我曾在國內接受過的9年基礎教育。我高中三年基本不太需要開發進化我的思維就可以完成的比較輕鬆，大體上都是基於我想對紮實牢固的數學基礎。而這三年我也能明顯感受到，我的邏輯分析能力在迅速下降，因為需要深入思考的機會越來越少。

回國的時候總會有人問我，覺得什麼時候出國比較好。我的回答一直都是讀完初中吧，國內的理科，是真的可以鍛煉邏輯思維能力的。

同理，中國的數學教育真的很棒，而外國人的邏輯能力，大部分真的要比你們想像中還要更差一些，因為他們真的從來沒有鍛煉過，對數學也從未理解過。

瀉藥。目前在德國讀高一。只有親身經歷過，才知道中國數學思維方式是有多靈活，他們的數學教學是有多不堪。

有！！

高二學積分的時候，我很好奇球面積是怎麼積分積出來的（網上的答案都是錯的）。於是去問數學老師。老師看了一眼說，你有這閑時間，去把課後題做一做。

我很失望，但還是不死心，於是自己研究了幾周寫出一篇文章，研究出能算出球面的新積分法（後來在高數書上得到印證是對的。）

3.28

大家看看我推的精評，所以知道這個題的答案了吧（中國數學教育確實不堪）。

附我的解法。

題主可以看我的個人資料，本人這種國內普通985數學系本科畢業的自然在知乎不算什麼，但是我也可以負責任的向你說，我的大學本科專業教育，沒有虧欠我任何東西。
私以為，各個門類的本科階段專業教育的立足點都是讓學生對本領域的基本所有門類的課程進行一次合格的全面通識教育，而我的大學本科階段所接受的教育和享受的資源私以為是對的起我廉價的學費和我自己高考的努力的。無論是我現在最長用到的數值分析（本人計算數學肆業，統計和應用專業課上有一定差別）抑或PDE與ODE，包括數分、實分析、泛函等等，我的老師都對我進行了專業且細緻的培養，我覺得我的大學沒有對不起我的地方。

如果是論頂尖水平的數學家的數量

我國確實是離俄法美等數學強國有一定距離

如果是論普通老百姓的數學水平

你可曾回憶起在國外找零被支配的恐懼？

不得不說…我們國家的數學教育是很成功的

承上啟下做的特別好

何謂承上啟下？

就是說生活上便利的使用數學，算賬、找零、理財……基本上滿足需要，成年後遺忘一些技巧和知識，再撿起來或者需要上升一點，花費的時間成本也很低。

而高中畢業到大學高等數學等其他知識，也能很好的銜接上。

沒去過國外不懂，但如果那個段子屬實的話。

比6塊錢的東西給11找5塊錢都理解不了的歪果來說。

高到不知道哪裡去了。

為了一點打賞錢，也是怪難為人家的呢

確實很不堪，但並非是文章里說的那樣。

做題是思維訓練，大量做題是大量思維訓練。

做題提高智商不是瞎說的。

目前教育最大問題是優秀教師不足，扯別的沒有。

這種文章看題目也覺得噁心，數學教育不刷題，敢問他自己的數學水平如何？

寫這文章的或許高考數學只能考到滿分一半，也或許他沒參加過高考

國之將興,必有禎祥

透過我之前的至少86個回答

可以充分滴了解到中國對於數學的重視

「數學是我國人民所擅長的學科」　--華羅庚

讓我們來回憶(或者預習)下

一些久遠的記憶

「數學是我國人民所擅長的學科」　--華羅庚

這段文字是什麼意思?

這段文字中有缺失的資訊在

我們不知道,這是華羅庚在什麼著作與場景下講的話

但華羅庚作為忠貞的中國共產黨黨員與哈代─Littlewood學派的代表人物之一

(其實華羅庚同時也作為數學自學的代表)

假如這句話

是在華羅庚比較有影響力的時候留下來的話

這個我國意義可能不是單純的我國

可能是所有無產階級的我國吧

所以

(「在所以什麼啦?前提萬一是錯的呢?」)

所以這宇宙中的數學都應當為吾等所了解

同時

在有人算術計算錯誤或者是數學水平不高

甚至是智商感人時

我們有比藉此感到優越感更好的做法在

(可以思考一件事情

現在許多國家都是用選舉的方式推選出領導人

對於數學有所偏廢的人們選出來的成果可能也不是那麼樂觀)

最近因為感受到了神秘的東方力量的召喚

刻意研究了下

中國遠東的古老國度─印度

(「這可還真是"遠東"啊!!」)

關於算數的學法

17*19

若是小學時期

用的方法大概是

$egin{tabular}{rl} 17\ * 19\ hline 63\ 9\ 7\ 1 \ hline 323 end{tabular}$

(上述是LaTex語法的視覺特效

有需要的在留言寫我再補,

避免喧賓奪主這邊暫且不寫)

(先寫到這邊測試下效果如何)

好,看樣子也許似乎沒問題

那中學時的做法

17*19

我們可能會寫成

17*(20-1) = 340 - 17 = 323

雖然這樣子很快

但

有沒有其它方法

也是很快的?

印度的19*19乘法表背法

(之所以背或說練習19*19的原因大概是

印度以前基本上英文才是共通語言

似乎是近些年流行本土化教育

Hindi這語言的勢力才有些抬頭)

據聞是

17+(19-10) * 10 = 260

(19-10,也可以理解為19 mod 10

又或者說是19隻保留個位數,也可以說是19把1遮掉)

7*9 = 63

260+63 = 323

這樣算,也蠻快的

(速算的訣竅是,把過程導引到自己熟悉的計算方式上)

不過...

這是為什麼呢?

不禁讓人想起《知無涯者》劇情片段

哈代:我們要研究這種算式可能要花一輩子的時間(此處為中文字幕)

然後

拉馬努金拿出另一本筆記本

拉馬努金:may be two!! (也許要兩輩子)

(先去睡覺

想起來的話改天再寫)

你朋友圈看到的……注意重點（敲黑板），朋友圈啊，同學們這是一道送分題！

不算是回答吧，但是想從歷史角度上說一件事實，來稍微解釋一下中國科研成果為什麼在近些年不如國外，中國經歷了十年文革後，在1977年才恢復高考，改革開放也還不到40年，現代諾貝爾科學獎的獲得者的平均年齡在70歲左右（具體數字我記不清了），其他國際科學大獎應該也都差不多。

所以，懂了吧。至於說我們是靠刷題，你見過那個打遊戲升級的不刷圖？說我們沒這方面智商，沒創作力的，我只想說，你連數學前140分都TM得不著，還好意思腆個大臉跟我倆說創造力？

（手機碼字，格式不對，不喜勿噴。）

國內本科，目前在美國某專業排名top10高校研究生在讀，華人導師曾對我說以前他帶過美國學生和印度學生，最後還是覺得中國學生數學物理基礎更好。日後便主要招中國學生了。

我現在在讀南開大學數學系研一，本科也在南開大學數學系。研究生人少，我就匿了。

先不說別的，就原作者反駁那位數學博士的話就能反映出這人的水平。人家說他數學不行的意思，不是說他的數學不好，而是說他不了解高等數學。一個不知道高等數學到底該學什麼的人就敢關於高等數學怎麼學妄加評論，說是大放厥詞我以為也不為過。談論高等數學還用（a+b）^2舉例子我也是。。。而且這個【證明】只用兩個正方形是不行的，還得有兩個長方形好吧，這個圖初中教材上都有的，還【在國內大概很少會有不懂由來的人詢問此公式來歷。】初中內容有什麼好問的。。。。。

別的學校我不知道，南開大學的數學教育我個人認為是認真負責的。我所指的數學教育僅指教授的內容。因為從授課形式上，大學很難做到像高中那樣細緻。從內容設置到課程安排，我覺得絕大多數都很合理，對人的數學思維的培養很有幫助。不過要提醒題主的一點是，大學數學真的和高中不一樣。。。我報考的時候也是抱著大學數學是高中數學的延續這種幼稚想法來的，第一周就被數分教育了。。。當然大神另當別論。

題主還年輕，高中數學打好基礎，堅持自己的理想，保持對數學的熱愛，還有就是少看這些有的沒的，年紀輕輕的別隨便就被爆款雞湯文洗腦。

幸虧我出過國，幸虧我是學統計的，要不然真信了他的邪也是有可能的，畢竟讀到了碩士還能這麼一本正經胡說八道的人不多。

他們就是覺得美本吊打全世界唄。他們看不上中國也看不上任何國家唄。。牛津劍橋offer隨便拿，比老美更愛老美的多了去了

在courant跟他有交集，以這人腹中無物又喜歡夸夸其談的做派來看，寫出這種文章一點不奇怪。

文章中有很多處偷換概念和斷章取義的地方，而且很偏激，並且故意使用了看似與現在廣泛批評中國教育相類似的觀點，什麼應試，積極性等等，仔細看的話其實文章很淺，而且很多說法有錯誤，而且語氣有種嗓門大有理的感覺，並沒有有說服的依據，總體讓人感覺像數學不好的高中生寫出來的憤青文章。

這無非就是夏令營奇文的變種而已

不不不，這位作者很naive。

我們去年剛學了完全平方公式的推導（就是a+b的平方），不僅用了文章里的幾何方法證明，還用了代數方法（多項式乘多項式）證明。

只能說作者沒遇上好老師。我特別感謝我現在的數學老師，他教會了我數學的思維方法，像是小學等差數列的求和公式，比如一個推廣——求項數公式，我當時都是死記硬背的，但現在我能夠由求和公式進行推導。

同時，這位老師教會了我發散性思維，能夠從一個小小的問題（比如勾股定理的證明，有很多種辦法），想出這個問題的第一種、第二種、第三種，甚至無數種解法。

不知這個詞語用來形容作者合不合適，「井底之蛙（不膜）」。

別的不說，就基礎教育中，數學教育而言，中國的數學秒殺全球。。不管是應試，還是pisa這類實際問題解決能力的測試，中國都是國際前列，現在都是外國的，特別是英國的基礎教育家們來中國學習基礎數學教育，甚至引進中國的數學教材。好不誇張的說，中國的數學基礎教育，獨孤求敗…

大學階段的話，我覺得主要還是看自己吧，我有同學學了四年，也不知道連續函數要怎麼定義，也有同學本科就發sci的，，這些都是看個人。真以為大學的老師會像高中老師那樣耳提面命？當然，環境很重要，只要答主進一個數學排名靠前的好大學，認真學好基礎功，多鑽研，我覺得是不會很差的。張益唐不也是我天朝培養的嗎

感覺這篇文章在高考中絕對上不了40分。。。

放到20年前，是真的

一般的，中國目前的數學教育重計算輕理論，注重結果導向，目的顯然是為了培養停電之後計算器的替代品，或者為買不起計算器的發展中國家提供人工智慧（Artificial Interligence）的智力保障。

這在中國的大型數學考試中體現得淋漓盡致，尤其是不加考判斷題和問答題。

比如，大學幾年出來，還以為微分和積分互為逆運算的絕對不在少數，而且同濟大學數學系編的教科書也是用類似「交換律」的寫作方式授業於讀者的。

本題目中涉及的線形代數。實際上，國內工程數學線性代數教科書更是把一個涉及「幾何變換」的數學分支硬生生的講成「片面算數學」。至於三階行列式的幾何意義就是立方體的體積、Photoshop中的圖像處理本質就是線形變換，我就不深入讚美了。

可能有些老式學校的教育出來的老師不一樣吧？至少有些帶路黨性質的數學老師熱衷於指出中國數學教育「偽善」的一面。

我的初中數學老師曾經給我八卦過：以前重慶的高中聯招考試很變態，即使題目中數字未帶單位，最終答案也要寫上，以此彰顯數學素養；沒寫的，按零分處理。

舉例如下：

題目：底為1，高為1的三角形面積為___。

參考答案：1/2平方單位。

我的小學數學老師也在課堂上公開「詆毀」過人民教育出版社的數學教科書編寫者，當時她指著「1千克=1000克」直接說——「這難道不是擾亂社會主義教學和考試秩序嗎？」

說到乘法交換律，當時我的小學老師從隊列（行和列的關係）變換的角度講了一下。由此，我倒是很早知道5*3和3*5之間還是有差異的。

說到圓柱體和圓錐體的關係問題，我記得小學學這公式的時候生病了請假，後來數學老師也專程用沙子裝滿圓柱體和圓錐體的實驗讓我加深印象，還特地讓我自己操作了一遍。像小學Pi的取值問題，以前也是做過圓形砍成小塊拼接成一個長方形的實驗。

所以後來中學理解球體體積公式的推導，方程、函數公式和圖像的關係，祖亘定理（又稱等冪等積定理）等等，輕車熟路。

可惜，這些內容高考不怎麼涉及。

所以，我覺得理科的學習太小氣了，哪能那麼錙銖必較呢，而且像個勞力者？最後，我就去了追求自由和共產主義的文科班。

也許是為了挽救迷途失足青少年進入文科班，我聽說人民教育出版社的小學數學教科書不再區分被乘數和乘數了。

這個答案關於傳統教學和現代考試的差異，也可以解釋為什麼國內的科研人員，尤其是理工科不偏好於使用高等數學的原因：畢竟從小就沒深入理解過數「學」，而後期大學的惡補也是姍姍來遲，形式重於實質。