十進位下，能否把一個2的冪重新排列得到另一個2的冪？

01-25

感覺不行= =但萬一有呢……求證明或推翻……

謝邀。 @亡靈和 @龍淵繪卷已經給出了非常漂亮的證明方法！我想說一說這題的思路，即怎麼想到這個方法的。

陶哲軒在15歲時寫過一本書，叫《Solving Mathematical Problems - A Personal Perspective》，書里敘述了他從看到這道題到給出解答的過程。我覺得很有啟發性，大致轉述於此，希望能對題主有所幫助。

=====================以下是解題思路=====================

首先，這個問題涉及2的冪以及位數的重排，看起來很難解決，原因有二：

1.位數重排有很多可能性；

2.檢驗一個多位數是否是2的冪並不容易。

那怎麼辦呢？首先，這種題目的答案多半是『不存在』，我們試著來證偽。可猜錯了怎麼辦？陶哲軒原話是：

如果你猜對了，就可以避免一些無謂的摸索，從而節省大量時間；如果你猜錯了，就註定要進行持久而艱苦的努力。這並不意味著你應該把有價值但有難度的解題方案拋在腦後，而是說在深入研究問題之前要做一個切合實際的評估。

題目中既然提到了位數，我們就來回顧一下兩個有關位數和的事實：整除性的條件；對取值範圍的限制。

當我們找出2的冪和位數置換的主要性質之後，運氣好的話就能發現矛盾，從而解決問題。於是，我們先來處理較容易的部分，即2的冪，在草稿紙上從小到大列一些出來：

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536...

好像並不能看出什麼重要的性質……2的冪的末位數是偶數（1除外），但其它位數似乎是隨機的。以4096為例，它的一個位數是奇數，其它三位都是偶數，為什麼就不能被重排成另一個2的冪呢？例如，能不能把它重排為 $2^{4256}=1523...936$ ？

當然不行！為什麼？因為太大了！這麼說來，與數的大小有關係？是的！4096隻有4位，不可能排成一個上千位的數。重排位數並不會改變位數的個數！

於是，題目變為：是否存在一個2的冪，使得另一個2的冪與其具有相同的位數個數？

唉，這個對題目的改進似乎並沒有給我們帶來突破性進展，因為答案是肯定的，比如2048和4096。可見，我們把題目推廣得太過分了。

不過我們至少限制了位數重排的可能性，這也算是部分的成功。比如4096，它只能被重排成四位數，而2的冪中只有4個四位數：1024, 2048, 4096, 8192。這是因為2的冪一直在成倍增大，不可能總停留在同一個數量級上。

順著這個想法，我們很快就可以發現，最多只有四個2的冪具有相同的位數個數。為什麼呢？在五個連續的2的冪中，第五個是第一個的16倍，一個數乘16之後，位數肯定變多。

這樣，我們就有了更大的進展：對於每個2的冪，只有不超過三種可能性需要排除。

前面提到，當我們進行位數置換的時候，置換後的數與原數的位數個數相同。但逆命題不成立。那位數置換會不會保留什麼性質呢？

啊，最開始想到的，位數和不變！

於是，題目變為：是否存在一個2的冪，使得另一個2的冪與其具有相同多個位數以及相同的位數和？

如果這個問題的答案是肯定的，那麼原問題的答案才有可能是肯定的。而這個問題比原問題更容易處理，因為『位數的個數』和『位數和』是標準的數論語言。

我們來考察2的冪的位數和：

從表1中，我們注意到幾個事實：

1.位數和往往很小。較小的數比較大的數更容易相等，所以實際上較小的數可能也會造成過分推廣。不過較小的數也更容易找到規律，並不一定完全是壞事。

2.某些位數和是相同的，比如16和1024，但是總體看起來還是慢慢增大的。不過，我們的條件是具有位數個數相同的2的冪，所以考慮位數和相同這種思路幫助不大。

從上述觀察中總結一下，位數和具有某種顯而易見的宏觀結構（隨著冪次n的增大而增大），但微觀結構卻極其糟糕（波動太大）。看來『位數和』也沒有閃現出什麼效果……那是否存在這個問題的另一種便於處理的簡化形式呢？

進展停滯時，我們再來想一想關於『位數和』的其他性質……模9的位數和！任意整數除以9的餘數總是與其位數和除以9的餘數相等！

於是，問題變為：是否存在一個2的冪，使得另一個2的冪與其具有相同的位數個數以及除以9有相同的餘數？

注意，『位數重新排列』、『位數集合』、『位數和』這幾個煩人的概念已經被我們徹底躲開。新的問題看起來有望得到解決。

我們來考察2的冪除以9的餘數：

我們需要證明的是，不存在兩個2的冪具有相同的位數個數以及相同的模9的餘數。從表中，我們似乎可以看出，2的冪模9的餘數呈現6個一循環的排列。當然，用一點同餘的知識就很容易證明這一點。

這意味著，兩個具有相同模9的餘數的2的冪至少相差6步，也就是64倍，所以它們不可能有相同的位數個數。

好了，問題解決。接下來寫證明：

證明：假定存在兩個2的冪，可以通過位數置換而由一個得到另一個。這意味著他們具有同樣多個位數以及相同的模9位數和。但是模9位數和是周期為6的一列數，而且在任一給定的周期內沒有重複，所以這兩個2的冪至少相差6步。因此，它們就不可能具有同樣多個位數，與假設矛盾。

陶哲軒對解決這個問題的評註是：

通過不斷地簡化，這個問題中不能用的和不好用的信息被更自然、更靈活和更便於使用的概念所替代。這個簡化過程可能具有一點兒偶然性，因為總是存在簡化過度或者簡化不當（簡化到歧途上）的可能性。但是在上述問題中，幾乎任何處理方法都比翻來覆去地進行位數置換要好得多，所以簡化不可能使情況變得更糟。也許有時調整和簡化會使你白費力氣，但如果你真的束手無策，任何方法都值得一試。

當然啦，陶哲軒給出的真的是『束手無策』時的思路。只要有任何一點點背景知識，比如知道位數和模9的性質，就可以跳過這個思路中的某一部分。關於位數和與模9的性質，可以看我這個回答：整數的各個數位數字的和具有什麼意義？相等意味著什麼？ - 匡世珉的回答。

最後還是推薦一下陶哲軒的這本書，中文版叫：《解題·成長·快樂——陶哲軒教你學數學》（這是豆瓣鏈接）。書中的題目基本上都是一些中學競賽題，題目不難，但是陶哲軒對每一道題都有大量的思路分析，個人覺得很有啟發性。

膜拜一下15歲的Terence Tao。

那麼就這樣=w=

任何一個數重新排列之後與原數的差都是9的倍數，2的所有冪次中，是同一位數的最多只能有4個，記為 $2^n,2^{n+1},2^{n+2},2^{n+3}$ ，其中任何兩個數的差都不是9的倍數，所以不存在。

前三名（包括陶的）的證明均依賴了重新排列位數不變的事實。

如果將問題擴展，包括將數字0排於首位的情況（位數可以因為零的位置而改變）情況會更複雜些。目前尚未想到答案

這兩個數關於9同餘,且大的除以小的是2的冪,那麼至少64倍,這樣位數就不會一樣,所有是沒有滿足條件的...

應該限定一下進位吧。二進位的話，當然可以了，位移就行。

不謝邀。票數最高的三個已經說得很清楚了。

前面答案都很清楚，但是如果是允許0排在首位呢？（也就是允許位數不同）

連題目都看不懂的文科狗求大神通俗地解釋一下……o(╯□╰)o

當然能了：

1000000 ~ 0100000

[圖片未上傳成功] 話都在圖片里，有疑問，請回復。

證明均依賴了重新排列位數不變的事實。