大學數學教材（比如《數學分析》)里那些定理的證明有什麼用？

01-25

如題。當然，有「我說的是對的」的用處，可是還有嗎？對學習這門課程有什麼用處？或者對解題有什麼用處？

數學分析對很多概念作出了嚴格的刻畫。你會發現很多定理和理論都是很符合「直覺」的。

我覺得把這些定理進行嚴格的證明有一個重要意義就是告訴大家：符合「直覺」是不夠的，必須用嚴格的數學論述進行證明。

學完微積分或數學分析就知道，有很多東西雖然符合「直覺」但並不正確。比如自然數雖然是有理數的子集但它們是一一對應的；比如無窮級數只有滿足絕對收斂才能有交換律、逐項求導、逐項積分等等操作。很多和「無限」扯上關係的操作都不是那麼遵從我們的「直覺」的。

所以，數學分析課本上的各種定理的證明，一定程度上是為了強調和培養嚴密的、不依賴直覺的數學思維（或者說在依賴直覺的思維後，必須用嚴格的理論完善）；可以加深對這門課的理解和體會（這個好像太玄了）。

至於說對解題的幫助：以大多數大學的考試難度，確實這些定理的證明沒什麼用。這就看你是想通過考試，還是想透徹學好這門課了。

　　……為了納入這許多材料，很多關鍵性的基本結果都留給學生作為家庭作業來證明，事實上這正是本課程的一個本質精神，旨在確保學生真正理解所介紹給他們的那些概念。 這種處理方式一直保持在本書中，大多數習題是證明課文中的引理、命題和定理。如果希望使用這本書來學習實分析的話，那麼我確實強烈建議做儘可能多的習題，也包括那些證明「明顯的」命題的習題。這決不是一門只經單純閱讀就可輕易理解其精妙之處的課程！多數章節都配有一些習題，列於各節的末尾。

　　對於專業數學工作者來說，此書的進度可能像是有些慢，特別是在最初幾章，其中著重強調嚴格性（除了那些明確標明是「非正式的」討論之外），並強調對於許多平常作為不證自明而迅速通過的步驟給予理性的證明。最初幾章中對於平常的數系（通過令人生厭的論證）建立了很多「明顯的」性質，例如兩個正的實數的和還是正的（習題 5.4.1），或者給定兩個不同的實數，必可找到一個介於它們之間的比例數（習題 5.4.5）。在這幾個奠基性的篇章中，同樣也對於非循環論證進行了強調一一不可使用後面的更進一步的結果去證明早先的更原始的結果。特別是，通常的代數算律在推導出來之前不予使用（而且這些算律必須分別對於自然數、整數、比例數以及實數進行推導）。這樣做的理由是，它能使學生學會在數系的和諧的直覺的背景上，從有限的假定出發演繹出真確的事實這種抽象說理的藝術；此種實踐的報償，其後當必須以同類說理技巧去處理更進一步的概念（例如Lebesgue積分）時就會兌現……

——摘自陶哲軒《實分析》的前言。

事實上，「從有限的假定（知識）出發，演繹出真確的事實這種抽象說理的藝術」，就是現代數學的本質。這種藝術的體現，就包含在那些定理的證明之中。

建議題主去讀一讀這本書的前言以及「§1.2 為什麼要做分析」，你立刻就會明白這一切的意義所在。

數學不是物理學、化學、生命科學。

數學不是實證科學。

數學與科學不同。狹義的科學主要包括物理學、化學、天文學、生物學等自然科學。科學的研究對象是真實世界，討論的一般都是具象的實體的性質。如果一套科學理論與真實世界不吻合，即使是這套理論本身是自洽的，那麼它也是錯的。從這個意義上講，通過實驗獲取確切的知識對科學來說是不可或缺的。如果將來發現某些實驗現象不能用現有理論解釋，則現有理論就要進行修正或推翻。

數學是人類構造的純粹抽象的產物。定義和邏輯是構成數學體系的兩大基石。數學家通常並不關心數學的概念與推導與現實世界有何聯繫。數學上的結論也未必能夠在真實世界中找到原型。不過隨著科技與社會的發展，一些原先被認為沒有實際意義的結果也會變得有意義。譬如物理學中「反物質」與二次方程負根的關係、數論與計算機圖形學的關係等等。

數學的定義與研究對象通常具有抽象性和一般性，一種數學概念可能包含無限多種不同的情形。例如有無數個自然數，有無數個質數，有無數種不同形狀的三角形。對一種數學概念所包含的一部分具體對象進行驗證所得到的認識，一定適合其他情況嗎？這是藉助有限的實例回答不了的問題。因此，一般地，數學命題的正確性不能通過不完全歸納加以論證，而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括證明。

數學證明的實質是從一系列定義、公理、定理出發，通過演繹推理得出結論。

儘管實證科學最終由實驗來檢驗，但數學作為一種手段，在所有領域都是可以使用的。

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提問者在評論中問道為什麼要把這些證明寫在專業的數學教材上。個人覺得，數學證明至少有下面四個主要的意義和作用：

1. 核實作用——通過數學證明，可以核實一個命題的真假。

數學命題有真有假，在許多場合中，命題的真實性不是顯然的，這時，要判斷真假就需要藉助於一些方法。數學證明通過引用一些真命題和特定的題設條件，經過嚴格的邏輯推理方法進行的，具有無可辯駁的說服力，可以核實一個命題的真假。

2. 理解作用——數學證明有助於增進理解。

數學證明有助於增進理解包括增進對所證命題的理解以及在證明該命題過程中所用到的相關的數學知識的理解。同時，通過數學證明還可以使人們尋找新舊知識之間的聯繫，使人們獲得的知識系統化。

證明一個命題的真假時，需要靈活的運用相應的公理，定理以及其它的條件。因而，通過數學證明，在核實某個命題真假的同時，也增加了對證明過程中所涉及到的知識的理解。在證明某個命題的時候要用到另外的命題，那麼，這些命題之間的一定有內在的聯繫，尋找它們之間聯繫的橋樑就是數學證明。同時，通過不斷的數學證明，尋找到新舊知識之間的聯繫，使人們所學的知識有機的結合起來，從而趨於系統化。

3. 發現作用——數學證明有助於人們獲得新的體驗，發現新的結論，新的知識。

在數學史上，有許多發現就是從數學證明開始的。瑞士數學家歐拉在解決「哥尼斯堡七橋問題」的時候發現這個幾何問題無法用以前的幾何學的方法解決，因為按照人們所熟知的幾何理論，都是與長短、大小這些量有關，而七橋問題與量無關。歐拉通過研究證明了這是個不可能問題，並且創建了一個新的幾何學分支——拓撲學。由此可見數學證明的對於人們發現新的東西是有很大的幫助的。

再比如，非歐幾何的發現就是源於對歐氏幾何第五公設的證明。人們覺得第五公設「若兩條直線與第三條直線相交，而且在同一側所構成的兩個同旁內角之和小於兩個直角，則該兩直線沿這一側延長後必定相交。」比其它四條公設累贅多了，因而嘗試從別的公理把它推出來。但是，所有的努力都以失敗告終，人們不是證明時不知覺的用了與第五公設有關的定理，就是提出了與第五公設邏輯等價的新定理。不過，這些錯誤與失敗卻為後來的成功鋪了路。1830 年左右，匈牙利數學家鮑耶與俄羅斯數學家羅巴切夫斯基在前人的基礎上分別發現了非歐幾何的存在。

4. 思維訓練作用——數學證明有助於良好思維能力的培養。

證明數學命題的過程可以訓練和培養學生的邏輯思維能力以及數學的交流能力，使人們形成嚴謹的治學態度。數學證明是一種演繹證明，它的每一步都力求準確，這對人們良好的思維能力的培養是有很大的作用的。