如何證明根號 2 的存在？

01-25

就是這個問題，當年還乾死過人呢！

既然你都問這個問題了，說明它在你頭腦里已經佔據一定的位置了，不論它是否在現實可以正確被測量，它已經是作為一個概念，或者問題，存在在你腦海了

突然覺得自己的原答案說的也不明白，修改一下。

第二次修改是因為把某大神的性別搞錯了。。。

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按照樓主說的，樓主反對的不只是根號2而是無理數的存在，如果無理數存在了，那麼按照 @白如冰男（原來你是男的= =）神說的對於實數完備性公理就可以得到根號2的存在。

無理數為什麼要存在，很簡單：

如果無理數不存在數軸長度為0（0度量嘛），數軸上任意一段，比如0到1長度為0。於是我們無法畫出長度，於是幾何學跪了。。。

同樣，最高贊的答案贊同沒有幫助。。。沒有給出一個理由，只是單純的證明樓主錯了，不能證明你對了。。。這個邏輯還是很明顯的。

√2是被創造出來描述某種數值的，因為整數不足以描述這個數值，而整數是用來描述和量化這個世界的。

要你這麼理解，2也不存在

可能跑偏了）

我們知道邊長為1的正方形ABCD

對角線是根號2

根號二不可能是整數

如果我們假設根號2是兩個整數m、n之比，m n互質

（就等於假設根號2是有理數）

那麼（m/n）^2=2

（m^2）/（n^2）=2

因此m^2=（n^2）*2

因為n是整數所以（n^2）*2是偶數

那麼m^2是偶數

又因為只有偶數的平方才是偶數所以m是偶數

所以m^2肯定是4的倍數那麼（n^2）*2是4的倍數 n^2是偶數

但是我們前面假設的是m、n互質，後來又求出m、n有公因數2

矛盾、s

自然數是最容易被看出來的很直觀，有理數形式上有了變化實質上是自然數內涵擴大。無理數是推導出來的直接看不出來他有兩個特點讓人覺得無法直接把握他 1 他的值是確定的，但是到底多大只能從其定義本身得知，找不到形象的直觀概念來代替，所有關於數的形象概念均源自有理數 2 小數形式表示無理數時是無限不循環的把握不住規律如果把你的理性比喻成皇帝，那麼無理數就是一個沒有對皇帝徹底交心的大臣

反證法

看到 @白如冰的回答。依然是簡潔有力。我就不獻醜了。

已給最高票和類似答案點了沒有幫助。最高票答案並沒有回答題主的問題。類似看似愚蠢的問題，實際上是建立在諸多公理上的，而不是靠最高票中近乎嘲諷的手法就可以解決。

另外，除了卓里奇，陶哲軒的實分析裡面也有類似的論證。題主可以參考。

敢問題主你多重？沒人能看出來你多重啊，那你的體重難道是不存在的嗎？有點扯遠了，其實我想說的是，很多事情都是在某種「規定」下推出來的，上幼兒園老師就告訴我們1+1=2，由此才可以推出各種公式定理包括多大的數等於根號2。又比如現在規定的「一千克」是以鉑銥合金製作成的國際千克原器為基準的，現在那玩意保存在法國巴黎，將題主您自身的質量和那東西相比就可以得出您的體重。解答完畢！

郭敬明

既然掛在存在主義名下，

存在先於本質。

那麼我給出正確的答案，

根號2。

難道不是找張正方形的紙，對摺的印子就是邊長的耕號2么

Hi, 題主。我想也許沒必要給你提供一個技術上證明。當你陳述這個問題的時候，我認為你對「存在」這個詞在數學裡的用法是不清楚的。

當「存在」可以被「證明」時，通常是這樣：

首先，有一個「集合」，還有一個關於這個「集合」里的「元素」的「性質」（或者用「屬性」這個詞）

然後才能說，在這個「集合」中，存在具有某個「性質」的「元素」。

是的，當你說「偶數是存在的」，稍微嚴格一點的敘述是「在整數中存在能被整數中的2整除的數」。更嚴格一點的，你要添加「整數」，「整除」，「2」的定義。但是你要注意到，脫離了「整數」這個集合，「偶數」的定義是無效的，自然也無法說它「存在」。

這就像一個小孩，他只會整數，你教他算分數，你先要教他分數的「存在」。

只有當你嘗試做整數的乘法的逆運算的時候，你才能很有理由地構造出分數。

是的，分數的「存在」是「構造」的。

自然數都是你「構造」出來的。所有數在真實的物理世界中是不存在的，存在的只是人類的抽象。我們能直覺地理解自然數是因為我們的大腦已經給我們做了一層數量特徵的抽象。你的祖先看到一顆星星，以及兩顆星星，他們產生兩種感覺，他們把這兩種感覺用「Ⅰ」「Ⅱ」表示出來，或者是「1」「2」，不過這你已經知道了。

所有數都是「構造」的。它們不是你問題中的「存在」，它們是「構造地存在」。

菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》第一頁有用反證法來證明√2的存在:設有分數(p/q),其平方為(p/q)^2=2.我們可以假設(p/q)是最簡分數,沒有公約數.因p^2=2q^2,故p為偶數:p=2r(r為整數),於是q為奇數.用p的式子帶入,得:q^2=2r^2,由此推得q為偶數.矛盾.