如何證明根號 2 的存在？
根 2 這個數值誰都沒有見過，也估算不出來，沒有人見過面積為 2 的已知單位的正方形，是否有人質疑過它根本不能在自然中出現呢？或許它根本就不存在！
來自卓里奇《數學分析》。這個證明用到了實數的完備性。你可以試著證明一下根號3存在，或2的立方根存在，練習一下數學分析的手感。
對任意正實數,其n次根都存在,所以也包括你的根號2. 下面是我的證明,需要你有一丁點數分基礎:
數學上數的概念和「存在」是一個比較微妙的問題，什麼叫做真正存在？數並不想現實中的物體那樣「存在」。
當我們說一個數存在的時候，我們是什麼意思呢？
當我們說一個蘋果存在，這很好理解。蘋果就是存在於現實世界之中嘛。
一個數存在，那存在於哪裡嗎？是紙上嗎？電腦裡面嗎？人腦裡面嗎？
都不是。
讓我們仔細想想，有沒有不存在的數？
有的，2和3之間的自然數就是不存在的。
為什麼2和3之間的自然數不存在？因為，根據自然數的定義，根據「之間」的含義，沒有一個自然數能即大於2又小於3。
好了，我們現在明白了什麼數是不存在的。那就是違反定義的數，都是不存在的。
那數的定義究竟是什麼呢？
最早，我們不知道無理數的存在。我們以為數全都是整數，所有的數都可以用整數的比來表示。但我們發現一個很奇怪的事，那就是邊長為1的正方形，其對角線無法用兩個整數的比來表示，這引發了第一次數學危機。起初大家不承認無理數，傳說，第一個發現根號2的人，被扔到了海里。
但後來，數的概念大大擴展了，從我們接受了無理數，看名字就知道，大家覺得這種數的存在很沒有道理。但我們依然接受了，因為我們有了實數這個概念。
實數相當於一條數軸，數軸上的每一個點，都是一個實數。我們可以藉助圓規和尺子，來標記出根號2這樣的無理數的位置。
再後來，我們還有了複數的概念。連正無窮和負無窮都可以被看作是數。
凡是與定義相矛盾的數，都是不存在的，甚至不可稱其為數。凡是沒有與定義相矛盾的數，都是存在的。根號2也是如此。
數並不需要在自然界中存在，因為沒有數在自然界存在。而表達數的方式有很多種，有的數以分數的形式出現，有的數以小數的形式出現，有的數還帶有運算符號，有的數因其特殊地位使用專有符號來標記。當一個數能夠稱其為數時，它便是存在的。既然1存在，那邊長為1的正方形對角線讓你吃了啊？
你是在懷疑開方這個符號的有效性嗎？這個問題我也想過，直到我明白了根號2怎麼算，才打消了這個念頭。如果一個數學符號有固定的寫法、準確的定義，而且還有明確演算法，那他就是有效的啊。開方、求余、取整、求max求min，不管步驟簡單還是繁複，但是普通人都能學得會，甚至計算機都學得會，那麼這個數學符號就是有效的。就像你說的反正又算不出來準確值，計算機內存裡面就沒有根號2。但是，有他的近似值，而且要多近似有多近似。因為我們有相關演算法，可以求出一個數列，而這個數列的極限就是根號2……所以開方符號是有效的，不用擔心。你要教我一個數學符號，不告訴我怎麼算，我總覺得怪怪的，處女座啊！題主可能就是這種想法吧。不過呢，樓上的各位也都說了，自然界里是有根號2的，只是計算機內存里沒有罷了。
希望添加話題中包含數學的問題的時候自動彈出積分題
算不對不允許提問
哈哈哈，讓我笑完再回答。目前排名第一的回答根本不能解決題主的疑問啊。
根2這個數值誰都沒有見過，也估算不出來，沒有人見過面積為2的已知單位的正方形，是否有人質疑過它根本不能在自然中出現呢？或許它根本就不存在！
原文抄錄。
1這個數值誰都沒有見過，也估算不出來，沒有人見過面積為1的已知單位的正方形，是否有人質疑過它根本不能在自然中出現呢？或許它根本就不存在！
做一個很簡單的事情，把題主的「根2」換成「1」
那我現在請題主回答這個問題，我也沒見過1啊，1在自然中出現過嗎？或許1根本不存在啊！！！
如果題主能回答1為什麼存在，我就能回答根2為什麼存在。
@畢達哥拉斯
你應該這樣問，世界上能畫出面積為2的正方形嗎
添個亂。看到這個想到一個女同事跟我們講她以前上學的外號是根號二。我們一屋子人問為啥？一個同事講是身高1.732啊！突然覺得愧對自己之前的數學老師，學的全還回去了。。。你還能記得嗎？
這是人創造出來的符號…… 表示一個無法在現實生活中單獨構造的實體。也只能從有理數構造無理數。我們沒有一個現成的無理數。證明的話隨便找本數學分析教程都應該有的哇
根號2的定義就是面積為2的正方形的邊長啊，只是給它取了個名字叫做根號2，面積為2的正方形存在的話根號2就存在。
如果你規定了1，那麼你在自然界中是找不到根號2的，即使是對角線，當你測出來的的時候也是某種程度上的一種近似。況且，當你測量的尺度小到原子、原子核、甚至更低時，你會發現，要麼比根號2大，要麼比根號2小，就是不能相等。當然，這對我們的日常生活沒有任何影響。==============================另外，起先物理學在在測光速的時候，總是帶有小數。後來乾脆規定光速是一個整數，然後反過來指導「米」的長度。當然，這對我們的日常生活也沒有任何影響，尺子的長短也和原來是一樣的。