如何研究變步長隨機遊走?

01-25

考慮R上的隨機遊走,每一步有1/2的概率選擇往左走,有1/2的概率往右走.但是第n步走的距離為1/n.當n-&>∞時,終點的概率分布是否存在?如果存在如何求出?
感覺一個調和級數一半隨機取負之後還是會發散的,終點的分布應該不存在...
但是跑模擬跑出來是這個樣子的,跑了1000步,100W次試驗,好像形成了一個類似鍾型的曲線,是因為發散比較慢沒有表現出來嗎?還是確實能收斂?
data=Inner[Times,RandomChoice[{0.5,0.5}-&>{-1,1},{100000,100}],1./Range[100]]; Histogram[data,40,"Probability",ChartStyle-&>60] FindDistribution[data,TargetFunctions-&>{NormalDistribution}]

極限分布的存在性可以用下面的定理來證明(該定理是證明Kolmogorovs three-series theorem的中間步驟).

顯然現在條件(1)是滿足的,所以隨機級數almost surely收斂.

至於極限分布如何求,也許可以考慮用特徵函數,但是我覺得應該沒有解析解.

我是題主...回來填坑....http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/rhs.pdf

這個問題屬於一類更加龐大的問題,隨機級數: $[sumlimits_{n = 0}^infty {{s_n}{a_n}{x^n}} ]$

其中 $s_n$ 是個隨機變數,這類級數有一套自己的審斂法則.

有空寫個專欄...

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原題用生成函數描述就是求下列級數的係數展開

$[prodlimits_{n > 0} {left( {frac{1}{2}{z^{frac{1}{n}}} + frac{1}{2}{z^{ - frac{1}{n}}}}<br /> ight)} ]$ 展不開的.....

從特徵函數來說就是求: $[f(t) = prodlimits_{n = 1}^infty {cos } left( {frac{t}{n}} ight)]$ 的逆傅里葉變換...

但還是沒法求啊,於是就要用下面的目測大法了:

$[prodlimits_{n = 1}^infty {cos } left( {frac{t}{n}} ight) sim {e^{ - frac{{{t^2}}}{6}}}{ ext{sinc}}(2t)]$

我也不知道為什麼可以這樣....我也很絕望啊......

然後做逆傅里葉變換...

$[P(x) = frac{1}{2}left( {frac{1}{2}sqrt {frac{pi }{2}} { ext{erf}}left( {sqrt {frac{3}{2}} x + sqrt 6 } ight) - frac{1}{2}sqrt {frac{pi }{2}} { ext{erf}}left( {sqrt {frac{3}{2}} (x - 2)} ight)} ight)]$