數學中的錯誤有大錯和小錯的區別嗎？

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錯和錯之間有差別嗎？數學中的錯誤有大錯和小錯、嚴重的和不嚴重的錯誤、重要的錯和不重要的錯、關鍵的錯和非關鍵的錯的區別嗎？如何區別呢？謝謝解答！
如何給錯誤分類：明顯的錯和不明顯的錯，可彌補的錯和不可彌補的錯，低級錯誤和高級錯誤。錯誤本身是絕對的，但是意義是相對的。

我仔細想了一想，發現這個問題裡面其實蘊含了兩種可能的判斷，把兩種判斷混在一起確實會讓整個問題變得混亂。

如果我們從錯誤本身的嚴重性出發，那麼越是容易被修補的錯誤越是小錯、越是難以被修補的錯誤越是大錯；越是對全局影響不大的錯誤越是小錯、越是對全局影響很大的錯誤越是大錯。例如PDE做先驗估計的時候常數錯了一點，但既不會影響後面正則性的估計，又是很容易找到一個更好的估計的話，那就是小錯；但比如做先驗估計的時候弄反了一個不等式的方向，那一般來說這種錯誤沒法彌補，又會讓整個估計失效，那就是很大的錯誤了。

但在數學上，我們評價一個結果的意義，並不單純是看對錯，還是要考慮這個結果對於我們理解數學、思考數學有多大的意義。Euler的工作是很典型的。無論是對無窮級數、變分法還是微分方程的研究，較真來說Euler的證明全是錯誤的，畢竟那個年代沒有嚴格定義的微積分。但我們都認為Euler是非常有洞見的偉大的數學家，他的很多思想也被數學界視為珍寶，這是因為儘管他的證明不嚴格、有錯誤，但是他的數學思想是非常有價值的。如果要說Euler的錯誤是否嚴重，那答案是自然的——過了百年人們才發展了嚴格的分析學來彌補Euler的錯誤。但從數學的價值出發，即使有錯，Euler的工作還是有巨大的價值的。

錯誤本身是沒有價值的，但是錯誤的證明、錯誤的結論是有可能蘊含了深刻的數學價值。從這一點來說，對或錯這樣簡單的二元論用來分析數學成果實在是太粗糙了。

大錯就是無法彌補的錯誤。比如民科證明Fermat大定理，用的都是初等方法，不學無術，出的就是大錯。任何可以彌補的錯誤都是小錯。比如Wiles證明Fermat大定理的時候中間有個gap，花了一年才補上，後來接受採訪的時候因為這件事都哭了。因為假如這個gap補不上，那他過去8年的心血就會全部白費，自己也會成為某些心胸狹隘的同行的笑柄。他的原文109頁，補上這個gap大概花了20頁，但仍然是小錯。因為這個問題比起他的工作是微不足道的。

這裡有一點又需要說明。Wiles的文章當年是Katz在審稿。Katz看到那個gap以後讀不懂（109頁的文章，以Katz的高超水平，一天竟然只能讀幾行），就問Wiles這一步怎麼做。Wiles當時覺得是顯然的，仔細一想才發現其實是non-trivial。假如Wiles的心理真的有一個證明，並且在Katz詢問了以後很快就給出正確的回復，那麼這個地方就連小錯都算不上，Katz不懂就是他自己的問題了。這種事情在數學上是很多的，比如Gromov很多證明都沒寫清楚，有些甚至要寫100頁才能補充完整，但是Gromov說，他想出這些idea已經很累了，就沒有精力寫證明。他有很多sketch of proof，基本上都講到了證明的key point，這就不算錯。他的文章還是發表在頂級雜誌上。因為他的originality太高了，區區證明細節相對於他的工作而言不算什麼，應該尊重他的風格，不能用細枝末節刁難大師。最重要的是他寫下來的每一個定理都是對的，而那些整天叫囂證明的人並沒有這個本事：他們只會證明一些trivial的結果，辛苦奮鬥幾十年，還是一個教書匠。

Hilbert的論文裡面，有許多估計和常數都算錯了，但是因為Hilbert對什麼樣的數學是對的，什麼是錯的有很好的感覺，所以這些錯誤完全沒有影響到他想要證明的定理，都是可以彌補的。所以這些瑕疵對於Hilbert 20世紀早期全世界最偉大數學家的聲譽也沒什麼影響。

另外，Newton，Leibniz，Riemann，Cauchy這些微積分和復變數微積分的創始人們證明的大量結果都不嚴格，因為微積分的嚴格化要等到19世紀中期Weierstrss把極限的定義嚴格化。但是這幾位在不嚴格的基礎上居然能得出很多正確而且重要的結果，歷史就承認了他們的貢獻。比如Cauchy積分定理，Riemann映射定理的證明都是錯的，而且他們的證明其實是大錯，有基本概念上的錯誤和混淆。但是即使是大錯，在他們開天闢地的工作面前也不值一提。要知道，在一個嚴格的基礎上用邏輯一步步推出一些東西不是太難的，難的是在數學還不嚴格的時候，通過驚人的直覺發現什麼是對的，這就超越了證明和邏輯，這才是數學的發展真正需要的東西。真正重要的數學進展絕不可能是通過邏輯發現的，但這是需要天賦的，不是努力就可以做到。所以有時候所謂的大錯其實也很微小。

在我看來如果你堅持自己獨立做工作而不是混在一起吃大鍋飯，小錯是不能避免的，尤其是現在論文越來越長，很少有數學家願意去寫那種幾頁的notes了。至少在我這個方向，一流的數學家都是在不斷產出幾十頁上百頁的大paper的。即使是Donaldson這麼謹慎的數學家，一生也難免偶爾出一些小錯（其實他有些paper里具體的估計和常數計算也不是很仔細的）。Seidel這麼精細的人，arxiv上的文章頁經常改動到v6甚至v8。既然是可以彌補的，其實這些也就不算是錯誤了。但是數學家往往追求完美，尤其是對發表出來的東西，如果裡面有點小毛病，心裡就不自在。

盤二十，點少了或者點多了一兩目，叫小錯。

盤八，錯把一個後手一目當成先手一目，被對手粘劫收後半目逆轉，叫大錯。

盤面沒有活的，還瞎JB填，叫民科。

不同意最高票回答。

拋開筆誤(typo)之外，數學裡的任何錯誤沒有大小之分。數學結論的證明要麼是對的，要麼是錯的。儘管有一些錯誤也很有意義，但是依然本質上是錯的。假如錯誤有大小之分，那麼應該存在一個合理的標準去界定，也就是說，需要給「大錯」「小錯」定義。

最高票的回答認為Andrew Wiles一開始的證明裡的錯誤是小錯誤，唯一一個認為「錯就是錯」的答案被摺疊。

我們來看看最高票回答怎麼說的。

比如Wiles證明Fermat大定理的時候中間有個gap，花了一年才補上，後來接受採訪的時候因為這件事都哭了。因為假如這個gap補不上，那他過去8年的心血就會全部白費，自己也會成為某些心胸狹隘的同行的笑柄。他的原文109頁，補上這個gap大概花了20頁，但仍然是小錯。因為這個問題比起他的工作是微不足道的。

「有個gap」，「花了一年才補上」，事後接受採訪「都哭了」。如果補不上，後果非常嚴重。然後答主認為這個錯誤是「小錯」。

後面還提到了Katz在這個地方不明白，Wiles原本認為這地方是顯然的。然而這不是恰恰說明這個錯誤不是一般的錯誤嗎？

我個人的觀點，應該說Wiles最初的證明是錯的，後來的是正確並偉大的。Wiles後面如何修正(fix)這個證明都與這個錯誤本身關係不大。按最高票的意思，在Wiles補上最後一段之前，這個錯誤不是「可以彌補的錯誤」，而補上之後就成了「可以彌補的錯誤」因此是「小錯」。

再打個極端的比方，如果Wiles發現最初的證明有問題之後，推翻之前的方法，用一種新的方法證明了費馬大定理，算不算是「可以彌補的錯誤」？那這個錯誤是「小錯」嗎？

Wiles當時承擔的壓力是巨大的，太多要求放出最初的證明的聲音。有太多太多的如果，會導致截然不同的後果。就這樣一個錯誤，反而使得這段故事更稱得上是一段佳話。在我心目當中，Wiles是極其偉大的數學家，在面對錯誤時候的應對更是讓我本人佩服不已。

總結一下我的觀點——數學是嚴謹的，錯誤不分大小，結論只看對錯。根據錯誤能不能彌補來判斷是大錯還是小錯，這是一種因果倒置。

觀點拋磚引玉，歡迎探討。

有的答案鑽到牛角尖裡面去了。從這一個證明來說，出現任何問題，這個證明就是整個不成立，從數學上來說證明就是整個錯了。但是數學以外呢？

我們說一個錯誤是大是小，通常我們說的是後果。你不能光看證明過程是形式邏輯p→q，你還要看到這個證明背後的數學家的勞動和心血，這些勞動是否獲得了足夠的收益，這是我們從數學以外的角度來評估一個錯誤的後果的方法，你也可以叫它經濟學的視角。這個錯誤究竟導致了多大的損失，是可以換算成錢的，數學家的平均產出是多少，花費多少年，如果因為第一年的某個步驟就錯了，最後的結果毫無價值，那是浪費了多少機會成本；如果是中間一個小步驟錯了，花一個月補上了，那是浪費了多少機會成本。這當然是不一樣的。

從數學上來說，只要我們能定義一種序關係，就可以說大小；那麼經濟學的定義顯然是一種符合全序關係的大小。

要討論這個問題，需要做以下事情：

把所有證明中出現的錯誤做一個映射映到正實數集中，證明這個映射是well-defined的。

然後規定一個數。當錯誤被以上映射作用之後大於這個數稱之為大錯，否則稱為小錯。

大錯和小錯定義好了，我們才有討論的必要。否則，同樣一個錯誤，有人覺得是大錯，有人覺得是小錯，爭來爭去，這跟那些搞社會科學的有什麼區別呢？

我跑個題，來介紹數學史中的著名富有想像力的人士——歐拉。

在歐拉那個時代

$frac{1}{1-x} =sum_{i=0}^{inf}{x}^{i}$

現代版本就比上面多了個收斂條件比如絕對收斂域 $left| x ight| <1$ 。

但是歐拉不管，說「因此，我們把x=2帶入，得 $-1=1+2+...$ 」

於是他認為數是一個環形結構，從0到無窮，從無窮能變成負無窮，然後到0。

當然是錯的。

後來才搞出一點緊緻化之類的東西稍微沾點邊。說要看成是圓周上的點對應到 $Rcup left{ inf ight}$ ，在這個意義上數才是一個環形結構

他還將 $x=-1$ 帶入,得

$frac{1}{2}=1-1+1-1+1...$

當然是錯的。

後來才搞出切薩羅和https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%87%E8%90%A8%E7%BD%97%E6%B1%82%E5%92%8C

的定義。

在這個定義之下：

$frac{1}{2}=1-1+1-1+1...$

整個級數求和理論似乎在柯西的年代才被嚴密化，當然柯西也是微積分嚴密化的推進者，要是之前的證明有不嚴密的地方也是正常的。

還是他，他說

既然

$sin heta =sum_{n=0}^{inf}{frac{(-1)^{n} heta ^{2n+1}}{(2n+1)!} }$

以及

$cos heta =sum_{n=0}^{inf}{frac{(-1)^{n} heta ^{2n}}{(2n)!} }$

還有

$e^{x} =sum_{n=0}^{inf}{frac{x^{n}}{n!} }$

把 $x=i heta$ 帶入上式裡面，搞出歐拉公式

$e^{i heta } =cos heta +isin heta$

在當時來看，

當然是錯的！

只有解析函數才能這麼玩代換，而解析函數需要滿足的柯西方程的創世人柯西，當時還沒有出生。

又是他，這次他來證明

$sum_{n=1}^{inf}{n^{-2} } =frac{pi ^{2} }{6}$

他說：

$frac{sin (x)}{x} =prod_{n=1}^{inf}(1-frac{x^{2} }{n^{2} pi ^{2} } )$

觀察左右 $x^{2}$ 的係數，可得 $-frac{1}{6} =-frac{1}{pi ^{2} } sum_{n=1}^{inf}{n^{-2} }$

然後得到

$sum_{n=1}^{inf}{n^{-2} } =frac{pi ^{2} }{6}$

當然也是不嚴密的

一般我們所說的數學錯誤，在我理解，不分大小，但分類型。

首先，任意一段有意義的數學命題片段，它要麼是對的，要麼是錯的。

而錯誤，分兩種，一種是真的錯了，另一種是我說它是錯的，你也沒辦法。

所謂真的錯了，就是指大家能證明它在該數學公理系統下是錯誤的。

譬如，我問 1+2 等於多少，回答 1+2=4。

這個回答就屬於真的錯了。根據 3 的定義，1+2=3，而 3 和 4 都屬於整數集，任一集合中兩個元素都不相等，所以 1+2=3≠4。

而另一種錯誤——我說它是錯的，你也沒辦法——該怎麼理解呢？

它本質上指的是，你不能證明它是對的，其實是對你在這一時間線節點上是否具有某種能力的定性描述。

所有數學證明都是從定義和公理開始的。

通過不停地整理和歸納，我們得到了越來越多的定理和性質。

通常，我們會以為自己是通過定理和性質的邏輯組合來證明結論的。

而確實，沒有人會說一個定理、性質是錯的，因為，你有能力證明它是對的。

怎麼證明？Refer（參考）前人的證明。

因為你有能力從最初的定義和公理再次推到這個定理，我也知道你有這個能力，所以即使你省略了這些步驟，我也必須承認你是對的。

而一旦我發現你沒有這個能力，我會立刻說，「你是錯的」。

這裡其實有一點奧卡姆剃刀的味道。畢竟有些證明，你不能證明它是對的，我也不能證明它真的錯了，但依舊更傾向於把它定義為錯誤的證明。

即使它在未來被發現是對的，但在此時此刻，你沒有能力證明它，所以，就是錯的。

需要強調，這兩種錯誤類型可以對任意長度的數學命題片段進行定性（除非它是對的）。

而且，局部錯誤可以定性整體錯誤。

所謂步驟錯了，結果對了的回答，它就是錯的。

如果一個回答，有一個步驟真的錯了，那它整個就真的都錯了；

如果一個回答，有一個步驟我說它是錯的，你沒辦法，那我說整個證明都是錯的，你也沒辦法。

有時我們會這麼陳述，「一大段的回答，別的都很棒，但其中有個小錯」。

發現沒有，其實這裡的「大小」是用來描述所選取的數學命題片段的長短的。

局部相對於整體，當然小啦，但小的是這個命題本身，而不是錯誤。

而一個整體也可以分為多個局部，好比我們會給數學題的答案「步驟分」。

但數學老師會提醒你，如果你不能保證結果是對的，那一定要按照老師教的步驟來寫，否則一分都拿不到。因為步驟的拆分只能人工地對某種已知且固定的回答模式進行，模式之外自然無法劃分局部，只能對回答整體進行評價。除非這份參考答案很勤勞地把你所有可能想到的計算或證明方式都分了步驟，即使有可能是無窮多種。

而至於懷爾斯的費馬大定理當年所謂的「小小的」證明錯誤，其實當時沒有人能知道正確的證明的整體是怎樣的一個模式，也就沒有人能給出一個劃分的標準，談論「大小」是不合適的。

我們只能說，他的證明是錯的，而且當年的他聽到這話，也沒辦法。

大錯：用了一個錯誤的引理

小錯：用了一個正確的引理，但證明有誤

這兩種錯誤顯然是有大小之分的。雖然在理想世界裡，形式證明對就是對，不對就是不對，但人終究不是機器。在享受人類直覺帶來的便利時，無法做到絕對的精確也是付出的代價。站在高地上要求證明中的所有步驟都絕對嚴格不費什麼力氣，不妨從高地走下來，看看自己能不能避開比比皆是的直覺沼澤。

說什麼「錯就是錯，沒有大小可分」也是站著說話不腰疼的表現。在實際工作中(比如review)，正常人都是先看有沒有大錯，再挑小錯。在小錯里補坑也是先挑那些看起來更可能錯的來補。若是真沒有大小可分，難不成看到第一處證明不嚴格就要去補坑？說不定更大的bug還在後面呢！

要求數學家一邊能通過直覺找到引理，一邊又能迅速給出每個引理嚴格證明的人，我覺得可以先去學生物，想辦法量產這樣的數學家。

有啊，高中老師總是強調思路對了結果錯了只扣2分，思路錯了結果對了扣全分。

公式推錯了是大錯，帶入數算錯了是小錯。沒公式生推假說的，那是民科，一般人是不願意指出來錯誤的。

有，以財務工作來說，科目賬的數字錯誤是小錯，自己就能發現調整。出納的匯款數錯了就是大錯了，要是出納自己追不回來，就得領導出面協調，很麻煩。

我記得，數學物理方程考試的時候，有個大題我把解題過程中x=1寫成了x=2，大題12分全沒了……寫了滿滿一面A4紙，算得真心塞……

如果不小心把一個收斂的級數算成發散的了，這是小錯。

但是如果你說這個是既收斂又發散的級數，就是大錯了。

Reference:

既發散又收斂的調和級數 | 死理性派小組 | 果殼網科技有意思

我覺得問題主要在定義上。

基本上所有人都贊同這樣的觀點：

1.只要有錯誤，證明就不再有效了。

2.有的錯誤可以局部地糾正，糾正後其它部分基本不需要改動就可以得到正確的證明。而有的錯誤不行。

3.即使是錯誤證明，依然可能可以從中學習，為找到正確的解法提供參考。

不過有一個實踐上的問題：

數學界對於被發現錯誤的證明（以及做出這個證明的人）的態度，是否會因為錯誤的性質不同而不同？

這件事是客觀的，可以討論的。如果是的話，那麼總可以適當地定義大錯和小錯。

（順便祝題目下面的各位數學工作者一切順利～）

眾生之愛皆是愛，沒有大小之分。

請類比。。。

有完全不對和typo的區別╮(╯_╰)╭

對於一道數學題，有一台強人工智慧機器去解答，代價是產生熵增。其中，大錯產生較多的無效熵增，小錯產生較少的無效熵增。

我只知道有全錯和半錯。

小錯扣兩分，大錯整道題分數全扣光，不倒扣已經很好了

不同意有幾位的，個人意見，任何導致邏輯上有漏洞，以致整個推導不成立的都是大錯。

其他是小錯

大錯叫錯誤，決定性質

小錯叫誤差，不影響性質

沒有，數學=嚴謹。