如何推導在半徑為 r 圓周上均勻分布 n>1 個等量同種電荷其圓心的合場強為 0 ？

01-25

物理問題

我決定寫一下對稱的答案：其實簡單好理解

首先 $n>1$

當n為偶數時，對每一個電荷所在的點做圓的直徑，另一端必有電荷，所以相互抵消；

當n為奇數時，假設該場場強不為0。

將該圓轉動 $frac{180}{n}$ 度，併疊加兩場：（圖用畫圖畫的……不準啊）

因為第一個場（假設其不為0）和第二個場只是偏轉了 $frac{180}{n}$ 度，可以用向量疊加畫出該場。

且因為 $n>1$ ，兩場不可能方向相反，無法互相抵消。

然而，在疊加場內，n為偶數，疊加場為0。矛盾！

所以該場的場強為0.

等價於證明 z^n = 1 的 n 個根之和為 0。設這 n 個根為 z_1, ..., z_n，則 z^n - 1 = (z - z_1) ... (z - z_n)，考慮多項式的 n - 1 次係數就得到結論，也就是在這裡用了 n &> 1 的條件。

還有另外一種證法，設 w = z_1 + ... + z_n，繞平面原點旋轉 2pi/n 角度，z_i 變成 z_(i+1)，w應當是不變的，所以 w = 0。

利用對稱性的回答可以更簡單，不必分奇偶討論。

電荷系統繞中心具有n重旋轉對稱性，因此電場場強矢量分布也應具有n重旋轉對稱性，因此中心場強必為0。

若中心場強矢量不為0，將系統旋轉360/n度，則中心場強矢量也隨之旋轉360/n度。但系統旋轉後恢復原狀，中心場強矢量應該與旋轉前完全相同，矛盾。

用複數 $z$ 表示某一個電荷在圓心產生的場強，則其它電荷在圓心產生的場強分別為 $z cdot ext{e}^{i2pi/n}$ ， $i = 1, ldots, n-1$ 。

這些複數構成等比數列，公比 $q = ext{e}^{i2pi/n}$ ， $q^n=1$ 。

此數列的和為 $frac{z(1-q^n)}{1-q} = 0$ 。

把每個電荷產生的電場矢量畫出來，求和就行了。
怎麼求和？很容易發現它們首尾相連構成一個正多邊形[1]，所以和為零。

註：

[1] 先按原始的圖形在中心處把每個電荷生成的電場矢量都畫出來，那花一樣盛開的電場矢量間，兩瓣的夾角就是這個正多邊形的外角。閉上眼睛想一想就會發現這是對的。

以圓心爲原點建立機座標系，假設圓心處有不爲零的場強，方向爲 $heta$ 。將所有電荷逆時針旋轉 $varphi=2pi/n$ ，場強方向也相應的變成 $heta+varphi$ ；但旋轉後的電荷分佈與原先相同，所以場強方向應仍爲 $heta$ 。導出矛盾，可知假設錯誤，所以圓心處場強爲零。

不僅僅是圓心為0，圓平面內處處為0,直接用高斯定理或者庫倫定理作積分（兩者等價）即可得到