擴散方程中如果擴散係數D是負的能解嗎？對任意的初態（光滑，可歸一化）解都存在嗎？

01-25

擴散方程如上。

謝邀。我以前上課的時候數值解過這個方程：

Kuramoto-Sivashinsky Equation -- from Wolfram MathWorld

用的有限差分，搞了各種各樣的技巧才搞定。

大部分同學用的是譜方法。

基本結論是：負擴散的方程可以數值解，只是對數值格式要求很高。

解的存在性我不清楚，等懂行的大神來答吧。

這是個Hadamard意義下ill-posed的問題

$u_t - Lu = 0 quad in quad U imes [0, T]$

$u = 0 quad on quad partial U imes [0,T]$

$u = f quad on quad U imes {t = 0}$

$partial U in C^infty$ , $L$ 為對稱橢圓運算元，特徵函數 $win H^0_1(U)$ 構成 $L^2(U)$ 的正交基並且有任意大的實特徵值。

$f$ 取 $w_k$ 則 $||u||_{L^infty(0,T,L^2)} = e^{lambda_k T}||f||_{L^2(U)}$ 。由於 $lambda_k$ 任意大，因此顯然不存在 $C > 0$ 使得 $||u||_{L^infty(0,T,L^2)} le C ||f||_{L^2(U)}$ 。

如果 $f$ 是 $w_k$ 有限線性組合的話可以找到一個 $u_N = sum_{k = 1}^N e^{lambda_kt}(w_k, f) w_k in L^infty(0, T, L^2)$ ，對於一般的 $fin L^2$ ， $u_N$ 並不是有界的，存在性得要通過其他的方法試試。

唯一性應該是可以證否，嘗試了感覺並沒有方法可以證明 $||u(t)||_{L^2}$ 的非增長性。

不對初值連續依賴的話，如果數值格式能算出結果，應該說明格式consistent沒做到。

擴散係數為正是正常問題、

向一杯水裡放一粒鹽晶體，它會擴散直到變成一杯均勻的鹽水。

擴散係數為負相當於反演這個過程。問題便成了下面這樣：

給一杯均勻的鹽水，求出當初那粒鹽是從什麼位置加進去的。

這顯然是不太可能的事情。

當然有些特殊情況可以出現負的擴散係數，比如相溶的兩種溶劑由於溫度的改變變得不再相溶而分相，比如甲醇和正己烷。但這有其它的推動力比如密度差的存在是它可以進行下去。

與反向問題類似

解不穩定

解都存在，但是不唯一，也就是沒意義

純逆向擴散如果不加修飾是個ill-posed問題，但是物理上確實有類似的逆向擴散過程。比如描述多相液體分離的Cahn-Hillard方程：

詳見：http://www2.math.technion.ac.il/~amync/mamarim/22-HDEEE44.pdf

然而這個方程加了一個harmonic項用來正則化，這樣方程就不再是ill-posed，於是就可以數值解了。

謝邀。

不知道你意思是數值解還是解析解。

1 物理上負D是可能出現的，此時任意小擾動會急劇放大，光滑初值演化成delta function或者step function，比如相變過程出現一個界面。解析解你可以理解成正常擴散過程的時間反演。

2 數值解的話負D會有一些麻煩，比如相鄰網格初值都設為1，但是由於浮點精度問題，可能一個是1.000000000000000001，另一個是0.999999999999999 （意會，實際上比這複雜），這個時候雖然物理上均勻初值在負D下是穩態，但是數值解會急劇失穩。。

先說結論，可以解。

數學中的反問題對應物理中的逆過程，自從大數學家Hadamard提出「凡事具有實際意義的反問題就一定有解」，當年這句話成了數學界和物理學界針對反問題孜孜求解的最大動力。

後來，終於有人看不下去了，他們針對麥克斯韋方程，提出具有實際意義的反問題也不定有解。Hadamard有名，可麥克斯韋更是名聲在外呢。一時間針對反問題的研究又冷了下來。

可是，雖然反問題不一定有解，解出來還不一定對，但是，反問題實在是太重要了，至少我們找石油要反演(inversion)，那怎麼辦呢？Normalization的提出，彷彿是為反問題的求解打開了新的大門。通俗地講，就是用性質已知的函數代替求解中需要用的性質未知的係數泛函等。以達到將解真實，唯一，同時依賴數據。

講得很簡單，手機碼字，如有錯誤請指正！

科學就是這麼有趣，總是有立有破又再立，生活在繼續，文明在進步。

各位都認為負值擴散不存在，這個可以討論。我舉幾個例子吧。

從低濃度到高濃度是可能的，參見調幅分解。

Spinodal decomposition is a mechanism for the rapid unmixing of a mixture of liquids or solids. from one thermodynamic phase, to form two coexisting phases. The growth of a composition modulation in an initially homogeneous alloy implies uphill diffusion, or a negative diffusion coefficient.

混合焓為正的合金微觀結構都可以。

反應-擴散型的體系也許，解為圖靈圖形。想想西瓜和熱帶魚吧。西瓜上的花紋是怎樣形成的？ - 生活常識

數值上負的擴散幾乎必然會導致解的不穩定

首先反熱方程ill posed吧……

如果你的格式能穩定，說明你的格式consistent都沒做到。+1

要解需要一些先驗信息加點正則化吧

一個經典的反問題

反向擴散問題還是有的，比如PM

但是PM沒解，是一個修正後的nonlocal的pde有解

其次反熱方程解不唯一吧

在物理上也是存在的，現在記得不清楚了，是一個計算多相流的模型，叫cahn什麼的，形式上會出現負的擴散係數

溶液互溶區對應擴散係數為正，在不互溶區間的裡面還存在一個分界線，這個分界線對應擴散係數為零，再往裡面去就是擴散係數為負了。