一個醉漢，從原點開始每秒50%的概率向左走一米，50%概率向右走一米，問一個小時後，醉漢大概率離原點多遠？

01-25

根據隨機漫步理論，時間越長，醉漢遠離原點越遠。但既然向左向右概率相等，如果給足夠長的時間，醉漢向左和向右走的次數應該相等，則大概率接近原點，這兩者矛盾嗎？後者錯在哪？

誠邀題主自答。漁：

如果 n 步之後醉漢的位置 x（原點為零，左負右正）

那麼醉漢向左走了幾步？向右走了幾步？

醉漢向左 n 步，向右 m 步的概率是多少？

醉漢位於 x 的概率是多少？

下面幾問回答你的問題：

x 的期望是多少？

|x| 的期望是多少？

x 的方差是多少？

以上三個量，哪些是「距離越來越遠」的數學描述？

三問的答案互相矛盾么？

總結：

最有可能值和期望值是一回事嗎？

附加題：

無限多步內，回到原點的概率是多少？（計算較難，用 Stirling 公式）

不記得那些概率論的公式了，但是想到一個有意思的問題：在奇數秒和偶數秒概率似乎完全不一樣哦。。。

混淆了相對大小。關鍵是：

首先，「大概率接近原點」，這個always holds；其次，至於「時間越長，醉漢遠離原點越遠」則是比較粗糙的描述。

因為無論時間多長，總是「大概率接近原點」的，但是注意時間很短情況下，比如只允許走3步的時間，它壓根不可能走到正負1000的位置。而要是允許走幾千步，則【有可能】走到正負1000這個比較遠的位置，但是相對接近原點附近的概率還是較小的。離得越遠是有可能的，但相應的概率是小的。

順便答一下「無限多步內，回到原點的概率是多少？」

假設是2n步回原點，然後計算n取正無窮的極限。

走了2n步，所有結果數是 $2^{2n}$

實際上這之中向左向右對半分，2n里選n步左或右，所有結果數為 $frac{(2n)!}{(n!)(n!)}$

後者除以前者得概率，將階乘用斯特林公式近似展開得 $p=frac{1}{sqrt{pi n} }$

n越大，其越趨近於0，這就是所謂的「時間越長，醉漢遠離原點越遠」，但是注意， $frac{(2n!)}{(n!)(n!)}$ 作為一個組合數是在2n里選結果的最大結果數，它比其他可能，比如 $frac{(2n!)}{((0.5n)!)((1.5n)!)}$ 還是大的，在原點附近概率雖然是小，但是瘦死的駱駝比馬大。

本題目只能算出概率分布。設3600秒都往右走為0，只有1秒往左走為1，只有2秒往左走為2，依次類推，3600秒都往左走為3600，構成一個n=3600，p=0.5的二項分布。因為p不夠小，所以不能用泊松公式計算。3600秒後還在原地的概率為（3600，1800）×0.5^3600。

看了一下隨機漫步理論，它的一個很重要的條件就是在一定時間內。樓主給出足夠長的時間，回到原點是完全可能的（這個我想應該誰都可以理解，給出足夠長的時間，直到走回原點為止，完全可以實現）所以兩者不矛盾。

我剛才用投擲硬幣（quarter dollar）做了個實驗，三分鐘裡面我投擲了28次，

我把人頭記為0，左邊。自由女神記為1，右邊。

三分鐘後1比0多了四個，假設這是個醉漢走的步伐，那麼結果就是他在原點右邊4米處。

因為不能保證在一定時間內投擲硬幣得到正反面的數量相等，這也就是為什麼時間越長，醉漢走得越遠的可能性越大。

拋著拋著硬幣我還想可能和我每次硬幣開始面的正反有關係，然後我又做了個實驗：

一共向上拋24次，12次由人頭向上開始，12次由自由女神向上開始，共兩組。

第一組的結果是，哪面開始的最終結果就是哪面比較多。

第二組的結果則是24次都是人頭較多。

所以這個比較扯的實驗也算是消除了我對於之前那個實驗硬幣開始面的顧慮。

在 Reif 給本科生寫的熱統教材的第一章就是討論這個問題。

直接用二項分布。假設總共走了N步，向右移了X步，其概率為p= C（n,n/2+x/2）*0.5^n

如果 "醉漢大概率離原點多遠" =

這個醉漢狀態不變周而復始過這樣的一小時無數次他離原點距離的平均值是多少?

那麼值為0

因為第一秒醉漢行走距離的平均值為0 所以醉漢第一秒時距原點的距離的平均值為0

第二秒醉漢行走距離的平均值仍為0 在醉漢第一秒後距原地距離平均值為0的情況一下第二秒時醉漢距原點的平均值仍為0

類推

如果給足夠長的時間，醉漢向左和向右走的次數應該相等，則大概率接近原點的

其實樓主已經很接近真相了給樓主小小的建議是

面對任何一條定理 都不要因為定理前名字的偉大而輕易自行撲滅自己思維的火花

因為很有可能是定理錯了
當然更有可能是你記錯了定理

二項式分布啊樓主。。。在原點的幾率最大，距離越遠的幾率越小，跟股票一樣，不可能永遠跟價值有很大的偏離