學數學學到什麼程度怎樣才算學好了？
高三狗，想讀基礎數學，但不知能力如何，遂想自學數分和線代，想知道學到什麼程度才算學好某一課程？
Hilbert: 五次，Hermann, 最少五次。這是希爾伯特說的，對象是Weyl, 他認為一個數學家在教授一門課的時候要多次重複。學好一門數學課程多次重複是必要的，換句話說，如果你抱有這樣的打算：一次學好數學分析，學到這輩子對數學分析最大程度的理解這句話是不現實的。以我之於泛函分析為例子吧，由於泛函分析是我的基礎研究工具，所以我對泛函分析的基礎理解是非常充分的，但是即使如此，我每次看一些寫得非常漂亮的教材的時候都能有一些新的收穫。昨晚我看到一個泛函分析的題目，那是我博士期間上泛函時上課講的一個「帶星號」思考題，我當時花了一天沒做出來然後就放棄了，然後我昨晚突發奇想地決定再試一次，這次花了10分鐘做出來了。本質的原因在於我的「數學水平」確實提高了。當你的水平提高後，你對「故有的東西」的理解也會趨於成熟，這就是為什麼我有時候會重新看一遍學過的課程，讓腦內的數學系統更佳成熟。
我說這麼多只是希望你不要抱著「學好某門課=對這門課的理解到達終點」這種想法，而是以「基本掌握一門課程的脈略和主要知識／思維方式」為第一次自學的目標，這才是比較現實的做法。 我個人感覺下面幾個點是自我檢驗的：
一、盡量做出每一個課後習題，數學分析最好的課後習題在rudin的那本數學分析原理中，當然了，這本書對於初學者過難。我推薦你第二次學數學分析的時候再用這套教材。 做大學級別的問題最好在做完後讓「高手」幫忙看一下，否則，會出現「自以為理解」但是事實上「理解錯誤」的情況。
二、對主要概念／定理都有熟練的掌握。閉上眼睛能回憶起大部分的概念和定理的內容／大致證明思路和應用。 不能把「定義」當成「無意義的廢話」。 比如，「實數的定義和性質」，這絕不是「理所當然」的啰嗦的廢話，一定要耐下性子好好把握。為了檢驗自己確實把握了，可以通過和別人交流來好好檢驗。
三、能自覺地使用「數學分析」和「高代」語言來處理問題，如果你學完「標準的」數學分析還用各種「無窮小」來理解問題而不是用 語言，如果你還是隨意地交換積分／級數／極限，那麼你對數學分析的理解是欠奉的。 如果你學完代數還是還不能自覺調用「線性映射」、「不變子空間」「譜」等處理問題，那麼你的學習也是欠佳的。大學基礎數學課每一門都是一個「新語言」，一定要領會和掌握。
謝邀。
學無止境。我要說自己數學學得不好知乎上肯定很多人不信，然而隨著時間推移這種感覺越來越強烈了。這次去多倫多參加幾何分析的暑期學校，被迫去面對一些以前直接當成黑箱子的分析學知識，分析基礎不夠的毛病頓時就顯露出來了。包括一些最基本的PDE理論（比如elliptic regularity theory）都不太熟悉，有時候看他在黑板上做估計，然而我都不知道他為什麼要做這個估計，過一會就lost了。。之前看花姐說現在做辛幾何，homological mirror symmetry是基本常識；然後頓時覺得以自己的智商和學習能力大概是學不了辛幾何了。。（雖然也沒打算學。。）
有人可能問我不做幾何分析為什麼要去參加幾何分析的暑期學校（這裡澄清一下，不知道為什麼知乎上總有人覺得我是做幾何分析／幾何PDE的，然而我的分析基礎真的很爛啊。。微分幾何≠幾何分析啊。。），主要還是想多學點東西吧；現在真覺得自己選的這個方向有點偏了，就是「做出點什麼東西大家也不關心」的那種感覺。。其實參會的也不都是做幾何分析的，甚至還有一個做概率論的。。（雖然她應該是陪她男朋友來開會的。。）「幾何分析」與其說是一門學科，不如說是一種技術，在微分幾何的很多領域裡面都用得到。這次暑期學校的6個主題：Gluing construction in Kahler geometry, harmonic map, minimal surfaces, Steklov eigenvalue problem and free boundary minimal surface, Yang-Mills connection, Scalar Curvature and intrinsic flat convergence；雖然說相互之間都有聯繫，但涵蓋的範圍還是挺廣的；這些主題和幾何分析扯上關係的主要原因，也是他們或多或少用到了PDE理論（各種估計，正則性什麼的），這也是我為什麼說幾何分析更像是一種技術。
話題岔得有點遠了。單純針對題目：「學數學學到什麼程度怎樣才算學好了」，我只能說學無止境，我自己現在都覺得自己不懂的東西太多了。至於說 數分高代 學到什麼程度算好，我覺得課本能看懂，課後習題基礎題都會做就行了——這個要求並不低，知乎上大部分數分高代相關的問題其實都挺基礎的，說明很多人並沒有完全理解課本上的基本概念；對自己要求再高點可以去做一些技巧性強的難題，雖然我覺得這種題目意義並不大；另外數分高代後面的道路還長著呢，沒必要在刷題的坑裡浪費太多時間，多學點真正的數學吧。
合上書，你能寫本同類書，還能改進原教材中的不足。
註：鑒於有些不學無術之人不注意提問者所處語境，這裡說明一下，上面的話只針對本科生。引用下Jeff Lagarias 教授的話：Every time you go through the same material, you learn more. （每學一次相同的東西，你在這上面的思考也更精進。）
高三的時候就算學好了
再往後學 會越學越覺得自己智障的(?)`ω′(ヾ)
然後就 越學越沒夠……
Everyone knows exactly what a curve is, until he studies enough mathematics to become confused.
——Klein
@Yuhang Liu 說的『學無止境』，這個當然是百分之百準確，沒有任何疑問的。但是那種情況不是題主現在需要考慮的。甚至可以說，有很大的可能性這輩子都不需要考慮『學無止境』。畢竟本科選擇讀數學專業，和最後讀到數學專業的PhD，並且選擇這個作為職業，這中間還有非常漫長的道路要走。
像題主這樣的高中生，如果真的有時間和精力想自學大學數學專業的課程，那麼有一個很低同時也很高的標準判斷自己有沒有『學好』，那就是能否自行複述出書中的概念和定理的證明，並且自己完成大部分的習題。
說這是個很低的標準很好理解，學習如果連課本的內容都沒有掌握，習題都沒有辦法完成，這當然不能算是學好了。
說它很高，是因為所謂的『做題』，並不僅僅是像高中數學那樣，算出一個正確的答案那麼簡單的事情。數學專業一上來的這兩門專業課不僅僅是教授知識的，它們還有一個更為重要的目的，就是正式的數學思維和數學語言的初步訓練。從最開始的實數的定義，極限的概念，ε-δ的敘述方式，線性空間，線性映射的引入，以及再往後的各種斂散性，可微性可積性，極限換序的條件，和各種空間分解等等等等，都是在強化這個過程。
而作為自學，特別是像題主這樣的高中生，自學的時候，很容易忽略掉這方面的東西，一個是因為這些東西不像具體計算那麼『看得見摸得著』，一算就是好多頁草稿紙，還能得出一個實實在在的答案那麼有『成就感』，而且這些東西自學的時候因為沒有一個清楚的人來指導，也的確非常容易理解地似是而非。
強烈支持能寫教材
我發現如果你閉上書
能夠倒背如流目錄
每個定理有哪些assumption，怎麼直觀解釋每個定理背後核心是什麼能夠說出每本書不足在哪裡來一個人你能把他講懂那就差不多了個人覺得你哪天能把書上的定理像講故事一樣把內容和證明講出來，就算學好了。
學到你的職業和生活中所需要的數學完全夠用且熟練。比如你是賣菜小攤販，你的四則運算要6. 比如你是大學教授，你需要掌握的就更多了。
你正在學的東西比如說是A 中間有塊需要的知識是B
別人看到的學習的是A 而你學A的時候看到的是A/B ，那麼說明你已經徹底掌握B了，B對你來說只是trivial的。說一下我當年複習考研時候的事情吧。七月份開始準備考研，結果高代書下冊丟了……當時不在學校，去圖書大廈準備買書，發現不零賣，要買必須上下冊一起買。我很不開心，直接坐在書店的椅子上看了一下午看了一遍書。然後就一直複習數分來著，直到十二月份再複習一遍高代，怎麼計算若當標準型忘了。懶得去圖書大廈，直接從基本定義出發，花了一下午整個推理了一遍。基本相當於寫了高代書的一章。推完了我就知道，這次考研高代肯定穩了
不看書三個月，依然記得起定理是怎麼來的。
做一道題，會一道題。
做一道題，會一類題。
做一道題，出一道題。
不邀自答。我本科是計算數學專業的，對於數學，簡直愛恨交加。剛開始的數學分析、高等代數、解析幾何學的得心印手，越到後面我發現學的越吃力。到了實變函數，泛函分析時，感覺每日不課下仔細消化消化上課和課本的內容，下次課就是聽天書。數學物理方程這門課是我本科階段離掛科最近的一次，熱傳導擴散偏微分方程，等等等等，簡直是噩夢。。。。。誒，學數學到什麼程度才算學好？我個人覺得，數學是永遠永遠學不好的。我自認為數學模型學的很好，考試考滿分，第二名只有60幾的這種，但是到了數學建模競賽的時候，依舊力不從心。我自認為自己實變函數學的很透徹，等到學泛函分析之時依舊感覺自己實變函數和沒有學一樣。最近在自學抽象代數，深感這其中的證明充滿了殘念。我們絕大部分（99.99%）都是普通人，數學這種看自己的需求。若是讀文科專業，數學自然學好微積分就足夠。經管類專業則還是稍微多學點比較好。工科專業也看情況。至於數學類專業，還有物理類專業。。。。。。。我覺得，還是。。。。。看興趣吧。。。。。。
了解每個定理條件與結論的關係（為什麼需要某個條件）
遇到一個問題的時候，不僅解決這個問題，還解決由這個問題聯想到的所有其他問題（一般有推廣）
看證明的時候，不僅要嚴格證明過程，還要知道每一步是怎麼想的（為什麼要這麼證）