隨機分析相關：如何證明（dwt）^2與dt同階？

01-25

關於隨機分析的一個問題，Wt表示一個維納過程
記得之前有在課上聽老教授講過一個time table，具體表示如下：
當時老教授有說證明不作要求，但是出於好奇特來知乎求教，為什麼dWt*dWt與dt同階無窮小（或是更甚，為等價無窮小）？

證明思路應是從維納過程的定義切人，逐步向後推導，想必過程略為繁瑣，如答主嫌書寫麻煩，也請不妨給出一兩本涵蓋此證明過程的隨機分析書籍，以便我自行查閱~萬分感謝！

微分形式只是積分形式的簡略寫法，記住這點很重要。

而圖表裡那個box calculus/algebra僅僅是為了簡便計算，根據it? lemma定義的formal計算方式。

Theorem 3, P11

http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/PDF/EASItoCalculus.pdf

同樣是steele的書，Stochastic Calculus and Financial Applications，第八章。

其實 $dW_t cdot dW_t = dt$ 只是一個informal的notation，它實際上想表達的意思是一個Brownian Motion $W_t$ 在區間 $t in [0,T]$ 上的quadratic variation（翻譯成二階變差或許比較好）是 $T$ .

首先定義 $Pi: 0=t_0<dots<t_n = T$ 為區間 $[0,T]$ 的一個劃分，定義其diameter $|Pi| = max_{i=0,...n-1}(t_{i+1}-t_i)$ ，即時間軸上間隔的最大值。

然後我們定義一個函數 $f : [0,T] ightarrow mathbb{R}$ 在區間 $[0,T]$ 上的quadratic variation：

$[f,f](T) = lim_{|Pi| ightarrow 0}sum_{i=0}^{n-1}(f(t_{i+1})-f(t_i))^2$

於是，對於一個Brownian Motion $W_t$ ，其quadratic variation為：

$Q_Pi = [W,W](T) = lim_{|Pi| ightarrow 0}sum_{i=0}^{n-1}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2 = T$

（注意這裡的極限可以理解為依概率收斂，要證明上式，只需證 $mathbb{E}Q_Pi ightarrow T$ , $mathrm{Var}Q_Pi ightarrow 0$ ，不難通過Brownian Motion的性質得到）

而上式也正是黎曼和的形式，所以我們可以寫成

$lim_{|Pi| ightarrow 0}sum_{i=0}^{n-1}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2 = int_0^TdW_tcdot dW_t=T = int_0^Tdt$

所以這就是這個不正式的記號 $dW_t cdot dW_t = dt$ 的由來.

補充一下 $mathrm{Var}Q_Pi ightarrow 0$ 的證明：

$mathrm{Var}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2 = mathbb{E}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^4 - (t_{i+1}-t_i)^2 = 3(t_{i+1}-t_i)^2-(t_{i+1}-t_i)^2$

(四階矩是因為 $W_{t_{i+1}}-W_{t_i}sim N(0,t_{i+1}-t_i)$ , 正態隨機變數的四階矩是 $3sigma^4$ )，所以有

$mathrm{Var}Q_Pi = 2sum_{i=0}^{n-1}(t_{i+1}-t_i)^2le 2|Pi|sum_{i=0}^{n-1}(t_{i+1}-t_i) = 2|Pi|T ightarrow 0$ .

考慮上一答案提到的關於分劃序列 $Pi_n$ 的求和 $sum (W_{t_{i+1}} - W_{t_i})^2$ ，我們可以通過估計它的期望和方差來得到它 $o T$ 的 $L^2$ 收斂。a.s.收斂的結論可以參考Introduction to Stochastic Integration第四章。

首先我們有這6條性質

接著就可以推出題主問的式子，因為方差為0，所以隨機就變成確定了