一個關於多維隨機遊走的概率問題？

n維空間內 某物體從原點出發，每次朝一個方向運動一米 每次的方向隨機 問運動t次後的位置落在距離原點r米範圍內的概率p為多少？（t大於r） （t小於等於r時概率為1就不必討論了） 本人將持續關注這個問題。 是否有簡單的方法能計算呢？（初等方法最好） 可以先從n=2 , r=1 算起 之前個人猜測n=2 r=1的情況下 ，概率為p=1/（t+1） n=3,r=1的情況下,只能算出p(2)=1/4

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題主的問題，研究的其實是：n維空間中，非網格式的隨機遊走，從原點出發t步後（每步長度為1），與原點的歐氏距離的分布是怎樣的。

很不幸，解析計算的概率密度函數的表達式是很困難的。

我大致說一下思路，題主可以感受一下這個困難有多大。

首先，顯然地，，。

和都沒有隨機性，但這並不妨礙我們把它們的概率密度函數寫成狄拉克δ函數的形式：

然後我們來尋找和的關係。

如圖，藍色線段為前t步的累計位移，紅色線段為第t+1步的位移，黑色粗線段為前t+1步的累計位移。

設第t+1步的位移在前t步累計位移方向上的投影為X，則X會有一個概率分布，這個分布與t無關，而只與空間的維數n有關。

在1維空間中，X等概率地取1或-1，即；

在2維空間中，X在x處的概率密度正比於單位圓在橫坐標x附近某鄰域內圓弧的長度，；

在3維空間中，X在x處的概率密度正比於單位球殼落在橫坐標x附近某鄰域內的環的面積，恰為均勻分布：；

一般地，在n (n&>1)維空間中，X在x處的概率密度正比於單位超球殼落在橫坐標x附近某鄰域內的表面積，，其中C為歸一化常數。

現在有了的概率密度函數，而，

於是理論上就可以根據的概率密度函數推算出的概率密度函數，這樣一層層遞推下去。

不過，題主也看到了這裡面的式子有多麼複雜。

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話說回來，如果題主並不需要的分布的解析表達式，而只需要它的一些性質，則不需要這麼麻煩。

比如，這個網頁（Random Walk--2-Dimensional -- from Wolfram MathWorld）上就算出來，在2維情況下，t步總位移的平方的期望等於步數，即。

再如匿名用戶所說，當步數足夠大時，由中心極限定理，位移向量的分布可以近似看成一個均值在原點的n維高斯分布，而它的方差可以由大數定律算出來。由這個分布，也可以近似地求出的分布。

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其實很簡單, n步是獨立的, 所以n步以後的概率密度是單次遊走的概率密度的n次自卷積(Convolution). 用傅里葉變換算自卷積很容易的.

當然n很大了以後, 顯然用中心極限定理就可以了.

總之都很簡單, 並且不限於你所描述的問題, 只要n步中的每一步都是i.i.d.就行了

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假如每一步都是iid,

假如是一維的情況，只能往左或者往右，那麼t步以後，E[位置] = 0, Var(位置) = t.

應該可以用馬爾科夫或者切比雪夫不等式求出你所想要的。

樓上還提出，如果t足夠大，每一步的加和是服從正態分布的。

一維可以累加，高維可以累加嗎？沒明白樓主的意思，走一步是啥意思？

如果可以累加，把上面的自然擴展到二維，三維即可。

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