為什麼把一袋米倒在地上是圓錐而不是半球？
米堆表面的米粒，都是「剛好滑不下去」的，也就是它所受的摩擦力達到了米粒與米堆之間的最大靜摩擦力。這個摩擦力與米粒的重力以及米堆給它的支持力相平衡。由此可以算出，米粒所處位置的坡度只跟米粒與米堆之間的最大靜摩擦因數有關。而這個最大靜摩擦因數可以認為是常數，一個表面坡度處處為常數的幾何體，就是圓錐。
現在想了下，其實對米粒進行具體的受力分析並無必要。首先注意到沒有什麼理由讓米堆在不同方向上形狀不同，所以米堆一定是旋轉對稱的。再注意到也沒有什麼理由讓不同高度處米粒的受力情況有差別，所以米堆的母線上坡度處處相等，即母線是直線。這兩個條件就能推出米堆是圓錐了。
贊同 @王贇 Maigo 的回答，但做兩個小的補充：
水滴等可以是半球，因為水滴分子間的作用力比較強，每一個分子都由於其它分子的存在而被緊緊地吸引向這一群分子的幾何中心。當每個分子都試圖從各個方向擠向中心時，這個幾何體就是個近似的球體。因此，當水滴等落在一個平滑的表面時，它大致會成一個半球。而米粒間的相互作用力可依萬有引力公式計算，其值相比重力及靜摩擦力相比，可忽略不計。
註：這個解釋中，關於球體形成的說法來源於費曼。
其次，滿足支持力與重力的合力處處等於靜摩擦力的形狀是稜錐：可以是三稜錐、四稜錐、五稜錐，等等。但為什麼是圓錐？
理由是：米粒會等概率地滑向任意方向。假如是稜錐的滑，米粒落在棱上的概率要高於落於側面的概率，而這與事實相悖。
補充完畢。
先道個歉，出了點錯誤，感謝評論區指正。原圖片受力分析確實不對，先刪了，以免誤導。這個想法可能不太對，容我垂死掙扎一下吧。
原答案：
這個問題我非常感興趣，所以請允許我搶答。上面幾位回答者的答案基本是全了，他們有的通俗易懂，有的邏輯嚴密。我的這個回答僅僅是換一種思路思考問題，我嘗試從數學的角度來解釋一下這個問題吧。
具體的思路是這樣的，首先，我們先不知道它是什麼形狀，可能是圓錐，可能是半球，也可能是拋物面等等，考慮某一鉛垂截面，在這個截面上可以看到截交線，如果是圓錐的話，截交線是x，半球的話截交線是半圓，以此類推。我們就假設它的截交線是f(x)，具體f(x)是什麼我們不知道。
然後，在這個f(x)上，每一點上都有米粒，每一點上的米粒都應該滿足平衡方程，通過這建立出來一個關係式。 接著，把關係式里與傾角θ有關的量全部轉化為與f(x)有關的。 巧了，整個方程最終化為了一個只與f(x)的導數有關的方程，通過他能解出，f"(x)等於一個常數。所以f(x)就是一次函數了！截交線是直線！堆成的形狀是圓錐！圓錐面上任一點有相同斜率
用高中物理競賽內容里的自鎖現象可以解釋：
支持力N與摩擦力F的合力R稱為支持面對物體的全反力。
摩擦力f達到最大值fmax時，這時的夾角θ也達到最大值θmax,把θmax稱為摩擦角。
tanθmax=F/N=μN/N=μ
∴摩擦角θmax的正切指等於靜摩擦係數
即：μ≥tanθ
全反力的角度有限制，但是大小沒有限制，只要所有除全反力外的力（或者可以表述為主動力）的合力在全反力角度限制範圍內，那麼物體一定處於靜止狀態，反之，物體一定處於不平衡狀態，這一現象稱為自鎖現象。
谷堆就是自鎖現象的一個很好的體現，我們想像一個平面，上面有一個滑塊，現在慢慢增大斜面與水平面夾角θ，使滑塊不滑下的臨界條件是：μ≥tanθ，所以通常谷堆與水平面形成的角度為 μ。
詹森公式，Jasson大連理工大學《 粉體力學》
好問題，對於大米來說，這個圓錐的底角是不是恆定的。不同品種的大米都是一樣的嗎？大米小米高粱黃豆都是一樣的嗎？
因為近地重力場不是球對稱的，只圍繞中軸旋轉對稱。垂直方向是平移對稱的。
所以堆積必然是錐面累積成的。靜摩擦與位置無關，只與傾角有關，存在閥值，所以基態是個椎體
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這裡的假設米粒停下來的時候摩擦力跟重力平衡。但是現實中並不是這樣，這只是准靜態的情況。米粒下落有初速，摩擦力要大於重力。而且越靠上速度越快，所以錐面越高，斜度閥值越低。在頂上必然是圓的。但是在大尺度上，米粒在下落過程中很快會進入准靜態的情形，所以大尺度上還是椎體。
另外，可以想像，如果米是從方形的口子里出來的，剛開始肯定是方形的。但是堆積多了以後還是圓錐。可以想想，米多到什麼程度的時候我們就無法分辨形狀了？物理上這是個很有意思的現象
邊緣上任何一點，切線（面）斜率的絕對值都必須至少小於靜摩擦係數。最底下那一層米無法定義斜率不算。
你看看你的半球能滿足這個約束嗎？靠近地面總能找到1點來違反這個約束的。
上面的答案都很好了，我提供一個不太一樣的思路，方便更全面地理解。思考：假設得到不是一個圓錐的形狀1.如果這個形狀側面的斜率從下至上逐漸增加(凹)，米粒會發生什麼2.如果這個形狀側面的斜率從下至上逐漸減小(凸)，米粒又會發生什麼
因為米堆圓錐體比半球體的總重力勢能更低，系統傾向於自動走向能量更低的狀態。
摩擦錐
題主問的問題很好啊，這整整坐坐實驗可以sci的。
不妨從流體力學考慮，流體的黏性參數（動力的、運動的）對傾倒過程中堆積形狀產生影響。還有流口形狀的影響（圓、方、細長）。
比如沙流、米流、黏油、奶油……cupt iypt的題？
自然休止？
參看「沙堆模型」
靜摩擦和滑動摩擦這一塊兒要複習複習了同學
簡單的物理問題，簡單的回答：米覺得這樣比較舒服而已
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