西爾維婭《美麗心靈》中，納什提出的一個關於π的小數部分形成的子數列的問題？

01-25

「如果你得出π=3.141592……的一串小數，從小數點開始，取出第一個數字，把小數點放在左邊，你就會得到.1；
然後取出緊接的兩個數字，得到.41，
然後取出緊接的三個數字，得到.592，

如此類推下去，你就會得到0和1之間的一個小數序列。
這個數列的極限點是什麼？」
文中指納什「很強烈的感覺到已經找到了答案」，但是未能證明。請問這個問題現在進展如何？

是什麼讓你產生了這個會有規律的錯覺...

照理按照正規數猜想 $pi$ 的每一位是隨機的...

你這個不過是按照等差數列取出一定項數...

那隨機數列不管怎麼取樣還是隨機數列啊...

你不信的話...看圖,兩張圖一張是隨機數,一張是你這個數列

好吧還是有些差別的,上面這個是Pi,看上去比較均勻,下面這個是真正的隨機數.

然後我計算了Pi的前5000萬位,得到了這個數列的前1萬位,統計上還是隨機數列差不多

find[num_,d_:100]:=Block[{dits}, dits=FromDigits/@With[{p=RealDigits[num,10,1/2 d (1+d)+1][[1]]}, Table[Take[p,{(n(n-1))/2+2,(n(n-1))/2+1+n}],{n,d}]]; N@dits/PowerRange[10,10^d]] ListLinePlot[find/@{Pi},AspectRatio-&>1/2] ListLinePlot[RandomReal[{0,1},100],AspectRatio-&>1/2]

複雜度 $O(n^2)$ ,誰還想驗證下去的話推薦用BBP公式...

第一次見到這個問題。不了解進展。

但如果pi是一個「非常好」的數（這樣的數應該在（0，1）里為全測集），那麼極限點集為整個[0,1]區間。

不論是或不是，如果能證明的話應該都是很好的結果。

如果有一個收斂的很快的級數表示證明這個數列沒有極限點會很容易，大概是連分數展開那麼快就差不多了。

如果我們只用最簡單的級數表示/pi等於/sum 1/n^2需要估計影響pi第k（k+1）/2位數碼的這個級數裡面的項的和。

正規數並不是說每一位都是隨機的...因為很明顯每一位都是確定的啊，只是它在某些方面的行為有點像隨機數列而已。比如最著名的這個正規數，https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%8C%A2%E7%8F%80%E7%91%99%E6%81%A9%E6%95%B8，它是0.1234567891011121314151617...咋看也不是隨機的吧。所以即使已知pi在十進位下是正規數也不能僅憑這點做出結論。