能否用不同大小的小正方形拼出一個大正方形 ?
可以做到,這個問題被稱為完美正方形難題 Perfect Square Dissection...
難的以至於一開始數學家都猜想這樣的正方形是不存在的...
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最小的完美正方形需要21個小正方形,邊長為112,且21階的完美正方形是唯一的.
作為對比22階有8個本質不同的,23階有12個...
Simple Perfect Squared Squares
這個網站上我看了下對於21-100階的完美正方形都是存在的.
35階的已經有高達258萬種構造...這個數列是A006983 - OEIS
不過我查了下沒查到是否對於任意n&>=21都有解...
雖然越來越多...但是沒證明前說不定到某個值突然不存在了也不是不可能...
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這個使用計算機輔助證明構造出來的,最早人肉構造出來的是一個55階,邊長4205的完美正方形.
可以看出這個是通過長方形組合構造出來的.完美長方形問題要簡單的多...
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三維的完美立方體是不存在的...
高維的完美超立方體應該也是不存在的...
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Update1:看來完美超立方體確實是不存在的
還有比例是無理數那是不可能構成的,有理數的話就能乘上最小公倍數變成整數...
唯一的意思就是給你21個正方體,不管他們之間大小比例如何,排列如何,除了給出的這種以外不存在其他的構造...
大小是看階的,不是看邊長的...
我來補一個帶圖的「不存在完美三維立方體」的證明吧。
注意,「完美」的意思是每一個小立方體的邊長都不同。
假設存在這樣一個立方體。我們來看它的一個面,這個面一定是一個完美正方形。
第一步證明:這個完美正方形中,最小的小正方形一定在內部。
- 每個角上的正方形(綠色),會跟兩個靠邊的正方形(淺藍色)相鄰。兩個淺藍色正方形中,必有一個比綠色正方形小,否則兩個淺藍色正方形就要重疊了。這說明角上的正方形不可能是最小的正方形。
- 在靠邊的正方形中,最小的那個(橙色),必然夾在兩個更大的正方形(粉色)中間,這樣,它的第四條邊必定靠著一個更小的正方形(黃色)。這說明靠邊的正方形也不可能是最小的正方形。
第二步,把立方體放在平面上,讓上一步研究過的那個面朝下。觀察最小的那個小正方形,以它為底面的小立方體(深藍色),是被包圍在「高樓大廈」中間的,形成一個「坑」:
由於每個小立方體的大小都不相等,這個「坑」上必然要容納多個小立方體,這些小立方體的底面,組成了「坑底」這個正方形的完美分割。
於是我們可以重複上面的過程,在坑底的完美分割中找一個最小的小正方形,它必然在坑底的內部,於是以這個小正方形為底面的小立方體的頂面又會形成一個坑底,循環往複無窮無盡。而小立方體的個數是有限的,故矛盾。
前面的回答已經基本可以解決題主的問題,我就稍微做些補充吧。事實上,完美正方形,甚至完美長方形,所有切分的正方形的兩兩邊長比都必定是有理數;另一方面,任何高維的完美正方體都是不存在的。
第一條的結論的證明來自Max Dehn. 而且他證明的結論十分具有一般性。他的斷言是:一個矩形能被有限個正方形拼成,當且僅當它的邊長比為有理數。這裡我們允許拼裝的正方形邊長相同。
「當「的部分是顯然的,如果一個矩形邊長比為有理數,設其邊長為a與b。那麼存在p,q正整數,使得a/b=p/q,於是我們用bp^2/a個邊長為a/p的小正方形平鋪即可。
於是我們只用證明「僅當」的部分。用反證法,通過放縮我們不妨假設這個矩形的邊長是a和1,其中a是無理數。現在我們將所有正方形的邊充分延長直到矩形邊界,這樣便將矩形分成了若干個小矩形,我們用 表示所有矩形的邊長構成的集合,考慮 ,這是一個由A張成的有理係數向量空間。由於a是無理數,1與a線性無關,於是由基擴張定理,存在V的一組基B= 。定義函數 ,使得 . 之後將其擴張到V上的函數。再定義 為g(c,d)=f(c)f(d),不難看出,這是V上的一個雙線性型。從而經過簡單的變換, ,其中S是拼裝的正方形,c(S)為其邊長。但是一方面 ,另一方面所有的 。這導致了矛盾。於是a必是有理數。
對於第二條,我們只需要證明不存在完美三維立方體即可。因為如果存在n維完美立方體,那麼它的一個面便是(n-1)維完美立方體。從而如果不存在三維完美立方體,也就不存在更高維的完美立方體了。
對於三維情形用類似的討論,假設存在完美立方體,那麼它的一個面必是完美正方形,且劃分由貼著該面的立方體的投影給出。由於完美正方形劃分中的最小正方形必定不在邊緣(首先我們易知最小的正方形必定不是角塊,因為角塊正方形至少與兩個正方形相鄰,如果其中一個邊長大於角塊正方形的邊長,那麼另一個就必定小於;其次用類似的方法我們知道最小的正方形也不在邊上),從而這個正方形對應的正方體完全被比它邊長大的正方體所包圍。考慮這個正方體上面產生的空穴,可以知道這個正方體的面也是一個完美正方形,它被貼著這個面的更小的立方體的投影給出。從而我們可以在中心找到一個邊長最小的正方形。依次類推,過程將無窮的進行下去。這與立方體的有限性矛盾。
參考資料:
Max Dehn, über Zerlegung von Rechtecken in Rechtecke , Math. Ann. 57(1903)
我記得這個問題和電路裡面的基爾霍夫方程組有聯繫 縱向和橫向分別代表電壓和電流 正方形說明所有電阻是一樣的 方形的分布代表了電阻之間的連接關係。。。別的我就不知道了 是在學物理競賽的時候一個很神的學長告訴我們的
科學出版社出的研究生原版教材里有一本《現代圖論》,在導言里對此問題有個挺漂亮的描述。建議翻閱。
數學家們一度花了很大精力都無任何結果,以至於1930年蘇聯著名數學家魯金猜想,不可能把一個正方形分割成有限個大小不同的正方形。
莫倫對此猜想提出了挑戰,並提供了一個解決思路:如果同一個矩形有兩個不同的正方形剖分,且其中一個剖分的每個正方形都不同於另一個剖分的每個正方形,那麼,這兩個剖分再添上兩個正方形(它異於兩個剖分中的任何一個正方形),便可構造出一個完美正方形。而在此之前,完美矩形已經有了比較豐富的成果。1939年,斯普拉格按照莫倫的構想成功地構造出一個55階的完美正方形,其邊長為4205。幾個月後,階數更小(28階)、邊長更短(1015)的完美正方形由劍橋大學三一學院的四位大學生構造出來。
1948年,威爾科克斯構造出24階完美正方形,但其中含有一個完美矩形(此類正方形被稱為混完美正方形。完全由正方形構造成的正方形稱為純完美正方形)。一直到1978年,這個紀錄才被打破。1967年,威爾森構造成功25階、26階完美正方形。1962年,荷蘭特溫特技術大學的杜伊維斯廷證明:不存在20階以下的完美正方形。1978年,杜伊維斯廷藉助計算機技術,成功地構造出一個21階的完美正方形,它是唯一的,且它不僅階數最低,同時數字也更簡單,此外構造上它也有許多優美的特點,比如2的某些次冪恰好位於一條對角線上,等等。杜伊維斯廷同時還證明了:低於21階的完美正方形不存在。1982年,杜伊維斯廷又證明了:不存在低於24階的混完美正方形。1992年,布卡姆和杜伊維斯廷給出了21~25階全部207個純完美正方形:階數 21 22 23 24 25個數 1 8 12 26 160
至此,完美正方形的討論暫時畫上一個句號。但數學家的研究並沒有停止,他們又研究了不同大小正方形是否可以填充整個平面的問題,此外他們還將完美剖分的問題推廣到莫比烏斯帶、圓柱面、環面和克萊茵瓶上,也取得了許多有趣的成果。但是立方體填充被證明是沒有的。以上來自百度百科你記不記得有一個極為類似的軟體?莫非是那失傳已久的...space sniffer?(長方形~非正方形)
可以
一個正方形等分成田字格,隨機取一個格再分四個,這不就兩種不同大小的正方形了,然後以此類推。。。
引入無限的概念,就連化圓為方都是有解的.這就是古人給自己挖的坑,要不然微積分早出1000年了.
而且奇怪的是,古人早已領悟"尺規作圖"只是一種遊戲規則,並不需要真正的尺規,卻沒有領悟另一個遊戲規則:無窮有窮也只是遊戲規則,你都可以不用紙了,為什麼還限定禁止無限做圖呢?推薦閱讀:
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