布朗運動首次擊中a的時刻的期望？

01-25

算 Ta的期望第一步就看不懂了555。。。為什麼一個期望會等於那個概率的積分？怎麼從6.2.2推出來的？謝謝！

$int_0^infty P(T_a>t) dt=int_0^inftyint_Omega 1_{{T_a>t}}dmu dt$

$=int_Omegaint_0^infty 1_{{T_a>t}} dt dmu=int_Omega T_admu=mathbb{E} T_a$

$T_a$ 是測度空間 $(Omega,mathcal{F},mu)$ 到 $mathbb{R}^+$ 的可測映射，所以第一和第四個等號成立。第三個等號是簡單積分，第二個等號是非負函數的Fubini/Tonelli定理Fubinis theorem。

如果 $T_a$ 有概率密度函數 $f(t)$ , 就更好辦了。

$int_0^infty P(T_a>t) dt=int_0^inftyint_t^infty f( au)d au dt$

$=int_0^inftyint_0^ au f( au)dtd au=int_0^infty au f( au)d au=mathbb{E}T_a$

第二個等號是非負函數的Fubini/Tonelli定理。

樓上的答的非常棒，黑貓嘗試用一種稍微瑣碎的方式解釋這個：

$P(T_a leq t )$ 描述的對象是時間，不方便我們處理。所以我們定義一個關於值的停時概率。

我們定義維納過程迄今（t）為止最大值過程： $M_t=max_{0leq sleq t }{W_s}$

然後因為維納過程具有對稱性（對於0點），我們完全可以把到 au（觸線）之後的路徑「反過來」，複製一條路徑：

直觀的能看出如果M_t 在t時刻觸線了，則在t時刻必有兩個分別大於和小於障礙的「鏡像」。基於這個原因我們可以用兩倍在t時刻大於來表示觸線概率，這個規律我們稱為反射原理：

$P(M_tgeq a)=2P(W_tgeq a)$ ,此時我們可以直接套用維納過程在t時刻的密度，所以就有了6.2.2

後面小於無窮都是顯然的，因為這個極限是存在的

然後關於第二部分，用的是一個騷極了的性質：指示函數的期望等於其概率。shreve有專門講到這個有點小「骯髒」的構造法。（咱沒有學過Fubini/Tonelli定理，所以講的瑣碎一些）

由於 $P(T_a leq t )=P(M_tgeq a)$ 允許我們完成了一次時間到過程值概率的轉換。假設我們僅有離散的停時分布，則考慮下面級數：

$sum_{ i=1}^{infty}{int_{Omega } 1_{[s>t_i]}}$

上面這個構造我不太記得確切形式了，自己寫了一個也許不嚴格但是符合大意。我們求一個停時的期望，其實是在求每一個從0到正無窮時間中，停時落在每一個時間區間的期望和。而表示是否在這個區間可以使用指數函數（試想我們抽了N個時間樣本，其中n個在時間區間內，則落在區間的概率為n/N,對在區間內的時間賦值為1，其餘為0，則該賦值函數也就是指示函數的期望就等於落在時間區間的概率）

對於存在密度函數的時間則極其直觀，因為每個時間 au都對了一個密度，樓上答案的：