數學與物理是什麼關係？
數學和物理好比人的左右腿。
物理是對現實世界抽象描述的一種模型，這個模型必須符合真實世界的現象，但是其表現形式並非是直觀的。
如果把物理研究(包括建立在物理定律之上的化學，生物，社會學，經濟學)看作是建模的話，那數學就是你拿來建模的那個MATLAB。
數學是一種語言，建立在人類大腦的先天邏輯之上。人類大腦的構造決定了先天的邏輯運算結構(硬體)，而數學基礎(主要是邏輯)則是這一運算結構的硬體層面代碼，可是我們是無法確切知道這種底層代碼是什麼樣的。當我們用數學，寫數學，說數學的時候，實際是在用一種高級語言來運行我們的硬體。因此我們可以想像存在不同形式的數學(就像是我們有C和其他各種不同的高級語言一樣)，但是他們都要編譯成我們大腦里寫進硬體的底層代碼，通過大腦運算結構來執行。
物理則只是一個MATLAB的建模插件罷了，自從有了教學，我們還可以不用自己碼模型，直接下載之前牛頓，愛因斯坦等大神寫的庫。不過這些大神開始寫庫的時候，編程語言還不夠完善，以至於牛逼頓這樣的高手自己發明了一些代碼來協助其建模，後來大家都覺得好用。其實我們可以猜測，數學其實還有其他的形式語言的，不過歷史決定了我們大概看不到了。很多人有一個誤區，認為數學是在揭示一些放之四海皆準的普遍真理，例如「三角形內角和一百八」。其實不然，數學其實是一個由前提假設得到結論的這麼一個過程，其實可以更簡要地歸納為一個命題「 A→B 」。比如「三角形內角和一百八」其實就是B，而我們忽略了前提假設A：在歐式平面中，也就是我們常說的「公理」或「公設」。
一個數學命題其實談不上是不是真理，因為數學本身並不是A或者B，而是A推演到B的那個箭頭→。箭頭才是真正的數學，也就是「邏輯演繹」本身。研究彎曲空間的「黎曼幾何」中，三角形內角和不再是一百八，是因為前提假設A不再是二維歐式平面。A→B，A』→B』，數學其實就是這個箭頭，也就是邏輯演繹本身。脫離前提假設地談論B對還是B』對是沒有任何意義的。
科學領域同樣存在著大量的命題，雖然科學研究也運用了數學方法和結論，但是科學並不像數學那樣「本身沒有對錯」，任何一個科學命題是可以非常清晰地評價是對還是錯，或者是在多大可信程度上是一個真命題。因為科學有唯一的評判標準—— 真實世界的現象。如果用剛才的話說，那麼科學結論就是一個個的命題A、B、C。你可以具體地探討每一個命題是否為真，標準就是真實世界。也許A是真，你可以通過數學（也就是箭頭）得到邏輯演繹後的B結論，那麼在科學系統中，B結論的真實度和A結論一樣，因為數學推演本身是高度嚴密的。
科學最大的特點就是「可證偽性」，亦即可以用明確的實驗來證否。並且有趣的是證明一個科學理論的錯誤不一定要用具體的實驗，用「思想實驗」也可以證否之。例如早先伽利略證明亞里士多德「質量越大加速越快」的引力理論是錯的，用的就是理想實驗的方法，兵不血刃就推翻了它。而近代量子力學發展中也是通過理想實驗（Bell不等式）來否定了「隱參數理論」。
社會科學也是科學的一部分，因為沿用的是同樣的標準和推理，只是因為描述工具和參數更多，導致研究起來很不容易，但本身也是科學。它和物理化學生物等傳統意義上的科學研究對象不同罷了，方法論和可證偽性是一樣的。
而數學沒有這種「可證偽性」，它不需要證偽，因為它就是「邏輯推演」本身。也正因為數學是邏輯演繹，所以數學先天地要求基礎公設本身不能有邏輯不自洽性，否則連之前說的那個A→B的箭頭，都無法完成。而數學中用到的「反證法」本身就是邏輯演繹的一種方法，並不意味著數學「可以證偽」。
如果非要用更精鍊的語言區分數學與科學的話，那麼無疑這一句是最出彩的：
科學研究的是我們的宇宙，而數學研究的是某一個宇宙。
數學之於物理，就像手淫之與性愛。——費曼
其實就好像牆上掛著兩張海報，一個是科比，一個是柯南
一科比一科難物理研究你感官以外的世界。所有結論都要放在那個世界中去驗證，因為它的「結論」不過是對那個世界的某種描述。
數學的對象在你的思維深處。它的結論不過是對你的思維的具象表達。
物理研究的是物質，數學研究的是精神。上面 @童哲 的回答已經很全面了，我做一些補充數學並非自然科學，它的研究方法是邏輯推理，數學所有的結論都不必吻合現實世界，只要滿足公理系統的三性即可(相容性，獨立性，完備性），但事實上根據哥德爾的不完備性定理，有些命題根本無法得到證明，但這是數學內部系統的問題。數學命題的真偽可以在某一公理系統下得到驗證，但這跟現實世界仍舊無關，數學本身無法證偽。也就是說數學命題的真偽與它所在公理系統有關，而跟現實世界無關。物理是自然科學，它的研究方法是實驗法，即所有的理論必須回歸現實，接受現實的檢驗。物理理論的建立必定與現實吻合，當然即使吻合也不能說該理論就正確，它依然可能是錯的，但實驗數據的不吻合，一定是錯的。這就是物理的可證偽性。研究方法的不同是物理和數學之間根本區別，它們都是對世界的探知的一門學科，物理和數學在探索世界的過程中互相借鑒，物理拓展了數學的研究方向，數學豐富了物理研究的方法
牛頓的《自然哲學的數學原理》把數學引入哲學，才正式創立了經典物理學。
所以我認為，數學與物理學的關係就是：
物理 - 數學 = 哲學
數學是上帝的語言；我們這個世界的物理是他老師家寫出來的一篇文章。
數學只是研究：如果怎麼怎麼樣，那麼怎麼怎麼樣。物理是研究：我們這個世界是什麼樣
賦予數學式子以物理含義便是物理。
貼一下我以前在另一個問題下的回答：數學根基處的東西可以說是無邏輯的，如無限的概念，更像是一種信條。為什麼人類還這麼相信數學？ - 知之的回答
我先來闡述一下我自己的觀點：
很多人把數學中的「邏輯」等同於「現實世界中的客觀存在」,或者說和物理學搞混了。物理學研究的是我們存在的這個客觀世界的規律，可以在現實世界中找到證明；而數學不是，數學研究的是建立於一組公理假設之上的各種規則變化。
換句話說，數學所研究的東西有可能在現實世界中找到與之相對應的概念，也可能找不到！舉個例子：
歐式幾何裡面有平行公理：同一平面內，過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行。這條公理應該來說是符合大部分人的直觀的，而且在現實世界看起來也是成立的。然而數學家並不滿足於此，後面又提出了非歐幾何，大致分為兩種：
1. 過直線外一點可以做無窮條與已知直線平行的直線。2. 過直線外一點不存在與已知直線平行的直線（換句話說，任意兩條直線必然相交）。將上面任何一條假設替代歐式幾何中的平行公理，都能夠發展出一套完整的幾何體系。其中第二條發展出著名的黎曼幾何。
估計對大部分人來說，相信上面的1或2，而不是相信歐式幾何的平行公理，不僅僅是信仰的問題，而是智商的問題了：這明顯是錯的嘛！然而，這不是錯的！
之所以你認為它是錯的，是因為你試圖使用我們平常所認識到的各種現實存在來理解它。但是要注意，數學並非僅僅用來解釋我們這個世界，它試圖解釋的是各種可能存在與不存在的世界！並且更有戲劇性的事情發生了：若干年後，黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關於時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰與黎曼幾何的觀念是相似的。
當然，就算沒有愛因斯坦的相對論，就算我們所處的這個宇宙不符合黎曼幾何，我們也不能說黎曼幾何就是毫無邏輯的！因為它描述了某種可能的存在，這個存在至少在一定的邏輯上是合理的。
做個比喻：
A、B、C三個人知道鬥地主的規則，一起玩鬥地主。他們看到E,F,G,H四個人在玩雙升，發現它們四個人用的是8張底牌，然後大呼：這不符合邏輯！不，這是符合邏輯的，鬥地主符合的是三個人約定的鬥地主規則，而雙升符合的是預先約定的雙升規則。數學也是類似，它研究的是基於一組預先假定(抽象於現實世界，但不限於)的規則（公理），然後在這些規則的框架下使用邏輯推理的方法得到各種可能。我們這個現實世界僅僅是其中的一種可能而已。
引用維基上的解釋：
物理學是一門自然科學，注重於研究物質、能量、空間、時間，尤其是它們各自的性質與彼此之間的相互關係。物理學是關於大自然規律的知識；數學（Mathematics）是利用符號語言研究數量、結構、變化以及空間等概念的一門學科，從某種角度看屬於形式科學的一種。簡單的說，物理所研究的是我們所存在這個世界的規律；而數學研究的是所有可能存在的世界的各種規律；物理研究的是這個世界的上帝，而數學研究的是一切可能的上帝。極大線性無關組
物理是定量的科學，而數量是最基本也是最核心的數學對象。
在牛頓以前，物質科學基本上是定性的和圖形化的，而當時西方的數學也被幾何主導著。
在東方，物質科學一部分處在思辨的狀態另一部分處在經驗狀態，數學被算學主導著。但除了簡單的數字迷信以外，物質科學與算學基本上沒有什麼關係。
或許未來，物理學能夠超越數量分析，自如地運用其他數學對象，不過這一天似乎還遙遙不可期。數學是一種理論體系，而物理是一種現實解釋。其中這種解釋用到了這種體系，從而解釋的更完善，預測的更精準。而為了追求對各種現象的合理解釋，也推動了種種體系的發展。
不要把數學庸俗成物理——Dong.hilbert.Miao
數學家總是縮手縮腳，跟在物理學家的屁股後面整理東西——Minweninstein.shaw
（為了防止撕起來，我也來黑一句數學。）在匡院學了這麼多物理，我也算對phy有一點點了解了，物理講究格物致知，求的是一個真字。不管啥東西，符合實驗才是對的。（突然想起一個小故事，有一個物理學家寫了一大堆公式，給一個數學家看，數學家remark道「這麼美，它一定是對的。」，物理學家無奈的笑笑「實驗做出來就是錯的。」）
物理的正確就是符合實驗。所以有人嘲諷過，就像給農場的火雞定時喂飼料，火雞中的物理學家總結出了，飼料定律，然後有一天，沒飼料了，開來一輛車，把它們都帶進了屠宰間。大家先別笑，在數學上，這就已經是一個嚴重的漏洞了，所以，物理中的正確（符合實驗）都不構成數學裡的證明。就像樓上那位答主說的一樣，A→B，你以為B是數學，其實→才是數學。
數學系的數學和包括物理在內的理工科的數學是兩種東西，數學系更在意證明，其他學科更注重數學的應用；數學在意嚴密性，物理（和其他學科）應用數學時不怎麼關注嚴密性，有時候甚至會自創一些有用的數學技巧，但這些技巧可能會被數學系的人怒斥是瞎搞。
數學為物理提供定量計算的工具，物理會孕育新的數學。數學從來不是憑空在腦子裡產生的，很多概念都來自於現實世界或者物理這一學科。
學物理的人要意識到物理思想才是更重要的，數學是一個工具。在物理問題里堆砌數學名詞是讓我反感的，有的人為了表示自己知道的多，在一個根本無需那些名詞的物理問題裡面堆砌了很多不必要的數學名詞，別人一看名詞很多顯得比較有逼格，往往會得到很多贊，拿來裝B是極好的。比如有人問「誰能給我講講萬有引力」，他可能會給你講一堆什麼黎曼幾何、曲率度規，賣弄一下，但這問題根本不需要。你問一個狹義相對論問題，他把什麼流形什麼切空間諸如此類的詞給你說一大堆，可是根本就是沒有必要的。個人覺得數學是研究基於不同假設的各種可能的數學結構(代數或幾何結構)。而物理則是通過實驗和推理建立真實世界和某些數學結構(模型)之間的聯繫。但另一方面，某些數學研究的對象，也一定程度上受到真實世界的啟發，即那些作為公理的假設可能來自於現實世界的直觀感受。
這個問題的實質其實沒有多少人能夠回答，
大多數人能認識到如下層面「包括數理邏輯在內的數學是建立並研究一切有研究意義的公理系統下的一切可以證明的有意義的命題及關於證明本身性質的學科「而物理學及其他自然科學是「尋找並表述客觀世界的規律」的學科關於兩個學科的區別可以由上述兩句話推理得到，故不贅述。但問題出現了，數學和自然科學的重要性究竟該如何定義，
三大結構（代數或者範疇，拓撲，序）對於不同的」世界「的關係是如何的，在離散的世界，」發現「並定義Peano算術公理系統是容易的，只要世界作為一個集合的元素不少於2，也有說3的，邏輯和數論是一個更底層的，而拓撲是一個相對高層的，但是邏輯的相當部分涉及的代數觀點又交叉了其和代數的底層性，所以判斷誰更底層實質上這是一個相當困難的問題，但是一定程度上解釋了數學基礎並未成為數學界研究的重心的原因。其二，物理學之所以重要，是因為很大程度上被認知為拓撲的（mainly)，
如GR，又如QFT又被認知為代數的（mainly)，而這些和主流數學有很大聯繫，我們知道代數基本定理本質是拓撲的，那麼在一個非拓撲的世界是否能發現代數基本定理呢？一個非拓撲的世界廣義擴張到了具備拓撲結構的世界的」自然科學「，這個擴張是如何的非平凡呢？這些問題就顯得很難回答了，
只是有一點可以確定，數學比物理更自由，而這個自由的定義模式得交由」宇宙內在觀察者的思考是否能夠不被宇宙所限制「，也就是說，如果想像被認知所限制（你可以理解為認知是觀察到了幾組線性獨立的現象作為潛在公理，而想像是這些潛在公理的一部分或者全部的span），那麼人類所想像到的一切可能的數學都在宇宙中以某種規律存在，那麼數學就是物理，這個問題表面上是否定的，但是沒有被證明。對於計算機，這個問題是確定的，也就是是肯定的。而對於人類，上面說了，很難說。但是就這個意義上來說，數學也比物理更純粹，自由。如果人類想像是可以超越經驗的，
藉助黑格爾的術語，數學不僅僅可以研究那些合理的（存在的），還可以研究那些不合理的（不存在的），黑格爾實質上表達的是，存在即為自洽，而自洽等價與他說表達的合理。總結一下，真正搞明白數學和物理（自然科學）的關係的關鍵在於是否不存在的形式或規律依靠存在的經驗無法想像得到這裡想像這個詞很難準確定義，暫且理解為宇宙中的智能觀察者的經驗的自組織的容錯Span。數學的公理是人規定的，科學的公理是符合真實世界的客觀事實。
比如你規定a=F/m^2，也能據此推導出一套運動學規律。但這不是科學的，因為根據人們的觀察實驗，真實世界裡a=F/m。也有可能研究的物理現象跟現有的數學理論都不吻合，那可以生造一套數學理論。牛先生髮現光用加減乘除解決不了變力問題，就造了微積分。
多說一點。很多人以為數學的公理是「不需要」證明，潛意識裡認為數學公理本來就是真的。實際上數學公理完全是人規定為真，完全相反的規定可能形成不同的數學體系。當然也不能胡亂規定，假設你規定了a b 為真，由此推導出m 為真，那m就不能作為公理。與其說公理不需要證明，倒不如說公理不允許被證明。
而科學的定律也是難以證明的，目前只能靠驗證。隨便哪個人都能用小車驗證加速度與力成正比，而這條公式我們用了好幾百年還沒出問題，就先當他是真的用著，反正挺好用的。
至於他是不是真的，為什麼是真的，這涉及到宇宙終極話題。某一天人們發現更深層次的定律X，可以做出推導X-&>F=ma，就像目前的推導F=ma-&>重物下落會加快一樣。那時候我又問，X的原因又是什麼？有最開始的原因嗎？最開始的原因的原因又是什麼？康先生提過這個問題，以我凡夫俗子的眼光看來，這個問題是無解的。馬先生毫無道理的說世界是可知的，是一種無知者無畏的信口雌黃。推薦閱讀：