【最優化】凸函數的駐點是全局最優點

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一、定理

首先我們來看定理：

設f(x): $R^n ightarrow R$ 為可微凸函數，如果 $x^astin R$ 是駐點，那麼 $x^ast$ 為f的最優點(global.opt)。

換句話說就是，如果函數是凸函數，那麼該函數的駐點就是全局最優點。

下面來證明一下：

要判斷一個點是全局最小值的話，比如 $x^ast$ 是全局最小值，那麼該函數的其他任意點都會比駐點的函數值大，滿足： $forall x ,f(x)geq f(x^ast)$ 。

也就是說，我們來證明上面這個公式成立即可。

由凸函數的一階特徵可得下面結論：【最優化】凸函數及它的一階特徵

其中我們將令上述的 $y=x,x=x^ast$ ,又因為 $x^ast$ 是駐點，則 $x^ast$ 的一階導數為0.

則推出：

所以我們推出了對於任意的x，都滿足 $forall x ,f(x)geq f(x^ast)$ ，則證明了凸函數的駐點是全局最優點