什麼是帕累托分布？

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這個分布現象究竟意味著什麼？

帕累托分布以義大利經濟學家 Vilfredo Pareto命名，他在1882年研究英國的財富分配情況時，發現前20%的人群擁有著社會80%的財富，這一現象可以用一個簡單的概率分布函數來描述，即帕累托分布。

帕累托分布是一個skewed，厚尾(fat-tailed)分布。

對於一個隨機變數X來說，xm是X能取到的最小值，X的survival function是

由此可以得到X的概率分布函數(c.d.f)

其中係數α為正，被稱為shape parameter,或tail index。

xm是1時，帕累托分布的累計概率分布函數圖像為：

Cumulative distribution function

Pareto Type I cumulative distribution functions for various α with xm = 1.對應的密度函數為

Probability density function

Pareto Type I probability density functions for various α with xm = 1.

可以直觀地看出，α越小，厚尾特徵越明顯。

帕累托分布被廣泛應用於經濟學研究中。而20%-80%定律可以由某個特定的α的帕累托分布得出。

當 $x ightarrow infty$ 時，帕累托分布有一個階數為 $1/x^{alpha}$ 的尾部。(Pareto distribution describes fairly well the distribution of profits exceeding a certain level in the sense that it must have a tail of order $1/x^{alpha}$ )