N個帶正電的同樣的點電荷被約束在一個球面上，相互之間存在斥力，平衡之後，它們是如何分布的？

01-25

當N=1時，一個電荷隨意；
N=2時，兩個電荷在球面兩極；
N=3時，3個電荷似乎在一個大圓上互成120°分布；
N=4時，是正四面體的四個頂點么？
N繼續增大呢？

（補充：電荷即使受到輕微擾動之後仍然能夠保持平衡狀態，球面有微小阻尼。其實，這更像是一個幾何學問題。）

N=4 是正四面體

N=5 是三角雙錐

N=6 是正八面體

N=7 是五角雙錐

N=8，注意了這回不是立方體了，是四方反稜柱，很多配合物中配體的位置就是這麼擺的。

ps.也有采 J84 形狀安置的配合物，無機書上會叫這種構型「三角十二面體」。

N=9，類似於在三個側面加「蓋」的三稜柱

N=10，頂部和底部加蓋的四方反稜柱

N=11，形狀相當不好描述，可以看成是把正二十面體的一條棱「坍縮」成一個頂點之後的結果。對稱性 C2v，有極性。

N=12，正二十面體

N=20 的情況不是正十二面體，形狀相當複雜，對稱性 D3h

更多的可以去這看：http://www.mathpages.com/home/kmath005/kmath005.htm

其實只要每個電荷都受到平衡力，那麼這個系統就能平衡。

如果按照題主所說只要求平衡的話只要將所有的電荷放在一個平面上即可，這時球體會等效為一個圓環，電荷自由分布，佔據正n邊形的頂點。當然這仍然只是一種解。

要做到這個系統的穩定，即無論如何擾動，電荷仍會按這樣的方式排列，才會只有一種可能，根據Ep=kq1q2/r要使它們之間的距離達到最大，這時能量最低最穩定。但是抱歉我不能給出數學上的解。

前幾個應該如題面。

更多點的話，也許不一定存在最穩定平衡（猜的）。

接近正多面體的頂點分布，但可能也有別的解。

可以看一下陳浩的的專欄文章球面上「均勻」分布的 n 個點 - 比生活簡單多了 - 知乎專欄如何在一個球面均勻分布5個點？

N&>3就沒有唯一解了，比如4個的時候，也可是是一個大圓內接正方形的頂點。

拋磚

如果允許非穩定平衡，則任意N均有解：在大圓上的正N邊形的頂點。

特別的，如果N=4,6,8,12,20（對應正4,8,6,20,12面體頂點數），則除了上面的解，還可以是正N面體的頂點，而且是穩定的。

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謝謝評論區指正。

如果不考慮重力作用，最後穩定狀態應該是任意相鄰兩個小球夾角全部相同。