在控制風險中，常要求其度量是一致的（coherent）有哪些具體優勢？
只知道一個風險的度量如果是一致的會有很多好的性質，想知道在實際中具體有哪些好處？還想請教：能不能形象的描述下一致性公理的那四大條件（Translation invariance；Subadditivity；Positive homogeneity；Monotonicity；）
不請自來~~
金融機構需要管理風險，首先需要知道自己究竟面臨多大的風險。衡量風險大小的過程實際上就是給風險一個數值（就是測度，measure），這個數值直接告訴人們，你們面臨的風險有多大。比如，現在很流行的VaR在險價值，就是你資產明天的價值分布上的一個分位點。VaR越大，那麼你面臨的風險越大。
課件，測度的過程就是把你面對的所有資產變換成一個數字，然後根據這個數字作出決策（比如，如果覺得風險太大就應當適當降低風險，賣出高風險的資產）。那麼一個好的指標應該能夠合理的度量風險。比如，如果a資產的風險比b高，那麼a的測度值就應該更大——這很直觀對不對？那麼為了讓這個風險測度具有這種好的性質，就需要滿足你提到的那四個條件：Translation invariance；Subadditivity；Positive homogeneity；Monotonicity。
這四個條件出自Delbaen在2000年的一篇文章：
Coherent risk measures 在下面的介紹中，用M(X)表示資產X的風險測度次可加性：M(X+Y)&<=M(X)+M(Y)
可以看到X和Y作為兩種資產，他們組合的風險值小於兩組資產風險值得和。這實際上體現了分散化的好處。（我覺得還是很直觀的，不明白的話我可以再詳細一點地講解）正向同質性：M(k*X)=k*M(X),k是正常數
如果把k換成2，那麼兩份資產X的風險值是一份資產X的兩倍。如果這一條不滿足，那麼考慮這樣一種情況：公司A擁有兩份資產X，公司B擁有兩家公司，每家擁有一份資產X，其他的完全相同。如果我們認為其中一家公司的風險更小，那麼這家公司的價值應該更大一些（在未來現金流幾乎一樣的時候，這家公司的承擔的風險更小）。但事實上，兩家公司的資產數量和性質是完全相同，所以他們的價值是一樣的。這就發生了矛盾。回過頭去看次可加性：這個性質成立的原因是兩份資產的相關性不唯一，之間存在對沖的效應。對於兩份一樣的資產，他們的相關係數是1，沒有對沖的效應，所以風險值正好是兩倍。（有沒有覺得很精彩？）對這一條，作者自己也曾經提出過批判，他在文章中強調，他並沒有考慮流動性風險。比如當年長期資本管理公司積累了大量的俄羅斯國債，大到可以影響市場的定價。在發生問題的時候，這家公司根本沒有辦法解除頭寸。就是俗話說的「套牢」了。（跑題了，就不做深入展開了，歡迎探討）
單調性：如果資產X1未來的現金流在任何一種狀況下都小於資產X2的現金流，那麼M(X1)&>M(X2)
這個表面看起來跟收益比較相關，所以很難理解為什麼變成了關於風險的測度。但是，事實上，這個跟收益沒有關係，要理解這個為什麼風險有關係，我們還需要了解究竟什麼是風險。首先，這跟收益沒有關係。假設現在有兩種資產：資產A，價格1000元，明年還你1000元（收益為0）；資產B，價格2元，明年還你10元（收益500%）。如果這是一個關於收益的測度的話，那麼B資產在這個測度上完勝，但是，在我們的一致風險測度下，資產A勝（他的風險更小），因為在任何一種情況下，B的現金流都比A的小，所以M(B)&>M(A)...其次，這確實是關於風險的測度。在文章中，作者對於風險的定義並不是直接的資產的損失。作者認為，資產帶來的損失造成公司出現支付危機，不能或者很難完成日常經營活動周轉所需，才是風險。（聽起來很繞口，但是用資產損失作為風險值的問題在於這本身就是一個數字，換句話說，你本身已經做了一次變換。）
如果這樣去理解風險，那麼在上例中，假設你只擁有資產A，在下一期，你將擁有1000元應付日常所需；假設你只擁有資產B，在下一期，你只擁有10元應付。。。那麼在那種情況下你更容易餓死呢？換成公司也是一樣的。所以，擁有資產A的風險更小一些。那麼既然擁有資產A的風險更小一些，它的測度是不是應該小一些呢？再加上平移不變性，就構成了我們的所說的一致測度。
看起來平移不變性很特殊啊。。。
嗯，我確實是這樣認為的。平移不變性：M(X+alpha)=M(X)-alpha.alpha是指現金資產。這個公理的意思就是，如果我持有資產X外加alpha那麼多的現金，我面臨的風險就是要小一些的對不對？因為這一個資產組合在任何情況下得現金流，都比只持有X大（請見單調性）。唯一的問題就是，為什麼正好是少了alpha那麼多？答案在作者的原文中：我們並不是簡單地給風險進行一個排序——我們還期望告訴人們，你究竟需要多少現金來覆蓋你面臨的風險，從而認為你是足夠謹慎的。 "When positive, the number M(X) assigned by the measure M to the risk X will be interpreted as the minimum extra cash the agent has to add to the risky position X and invest prudently."——原文section 2.3.事實上，在這篇文章以前，有另一個人也曾提出過一致風險測度的概念，那是一個更一般的測度，只是為了給風險排序（誰的風險大誰的數值就大）。這篇文章的作者避開了這一做法，提出了一個更加具體的做法。所以我認為平移不變性是很特殊的條件，沒有它，也許是可以的（我說也許，是因為我不知道在數學上，缺乏這個條件可不可以退出一個合理的測度，這涉及了測度論方面的內容，但是在金融上，缺了它並不是不可以）
歡迎探討。我在商業銀行做組合信用風險管理，我們在做經濟資本分配時會遇到這個問題。蒙特卡洛模擬出組合總的VaR之後，為了把經濟資本分配到子組合甚至逐筆借據上，我們會計算一個conditional VaR,其實是sub portfolio expected loss conditional on total VaR,即CVaR，這個是一個coherent measure, 推導也很簡單。計算這個也得蒙特卡洛模擬，需要重點抽樣，詳見glasserman的文章。
以上是我在工作中關於這個話題的體會推薦閱讀：