數說地圖之橫軸墨卡托投影

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再上一篇文章中詳細介紹了墨卡托投影數說地圖投影之墨卡托地圖，這篇文章將會介紹一種比較常用的墨卡托投影變種：橫軸墨卡托投影。

橫軸墨卡托投影的中心點在北極，普通墨卡托地圖的投影中心是赤道上的某一點，因此我們需要計算出一個旋轉矩陣。

怎麼得出旋轉矩陣的方法不進行贅述，矩陣為：

$left[ egin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\ 0 & 1 & 0\ 1&0&0 end{array} ight]$

對於標準墨卡托地圖，x軸表示的是經度，地圖上某一點的x值就代表其實際的經度，這是不會變的。

同樣的，我們還是假設地球是一個標準球體，某一個點的經緯度為 $( heta,phi)$ ，投影到笛卡爾坐標繫上就是 $[cos( heta)cos(phi), sin( heta)cos(phi),sin(phi)]$ ，如下圖所示，圖片來源見水印。

乘以旋轉矩陣得到 $[sin(phi),sin( heta)cos(phi),cos( heta)cos(phi)]$

在橫軸墨卡托投影中，某一點的x值並非真實經度，而是 $arctan(frac{sin( heta)cos(phi)}{sin(phi)})$

之前我們推算過標準墨卡托投影的y值為：

$Inleft| sec(phi)+tan(phi) ight|$

在橫軸墨卡托中的計算公式也是同樣的，不過 $phi$ 值為 $arcsin(cos( heta)cos(phi))$

因此橫軸墨卡托的投影變形就是距離中央經線越遠變形越大。