數說地圖之等面積投影

在上一篇文章中我詳細說了一下墨卡托投影的由來以及主要特性，本篇將會談談另一種重要投影——等面積投影。

由於上文中提到的墨卡托投影的形變問題（越往兩極形變越大），所以出於精細製圖的需求，等面積投影地圖的應用也是非常廣泛。

首先我們來看看如何計算特定區塊的面積。假定地球是一個半徑為R的標準球體，球體表面積為：

某北緯 度的緯線與赤道之間的表面積推導過程如下：

將圓球切成無數個小圓環，每個小圓環可看成一個小圓柱，長度為 ，寬度為 ，面積微元為

積分得：

得到

因此兩個緯度之間的圓環表面積為

圓環按照經度分成若干個小矩形，這個矩形的表面積為

地球上任意一個圖形的面積就是由若干個小矩形組成的，球面上的圖形投影后需保持面積不變。

一種著名的等面積投影為正弦曲線投影，誕生於1650年。這種投影的經線是

任意區塊的面積為

另一種著名的投影是 蘭伯特投影，起源於1772年。這種投影以極點為中心，緯線表現為同心圓。

緯線上的形變參數為

經線上的形變參數為

因為是等面積投影，兩個形變參數乘積為1，有

當 的時候r就會等於0，C等於1，而且當r大於等於0的時候，有

，所以這種地圖的中心點只能是落在兩極。