薛定諤的喵-宏觀量子實驗平台：量子霍爾效應（一）

拓撲物態引論（一）

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評論區有人問和喵有什麼關係，忘了解釋了，見諒。薛家的喵作為量子物理中的一個典型的悖論極大的激發了人民群眾參與量子力學批評、質疑、再批評、再質疑的渡劫過程，之所以會給經典強迫症患者強大的不舒服感，原因有二：一、將量子微尺度的世界放大到宏觀來講。二、將生與死這種經典不可逆的兩種狀態設定為疊加態。這裡標題中的喵只是借用第一個原因，但是量子霍爾效應是宏觀量子系統——你僅憑肉眼就可以看到的系統！所以別認為一談量子就是小小粒子liveIn小小世界，誰都有變大的時候！

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（如無特殊標註，本文圖片為作者親為，轉載請註明出處）

這是寫給朝陽群眾的又一篇實驗性科普，旨在逐步引入拓撲量子物理。但是該終極引入並不是在本文完成的。

即為科普，便少不了類比。凡有類比，總有異同。

這裡要介紹的相當於處在城鄉結合部的拓撲材料——量子霍爾系統。實打實的拓撲系統，但真的非常接地氣。上個世界80年代就發現了這種神奇的系統，而且已經孕育了若干個諾貝爾獎（整數霍爾效應1985，分數霍爾效應1998）。在凝聚態系統中能和霍爾效應相媲美的美妙物理平台，恐怕只有超導/超流了。

故事發生於一個孤獨的電子，獨自走過一篇廣漠的二維導體。從左邊來，從右邊走。（以下為GIF圖，如果沒圖，或者圖不動，請自動做些什麼）

但是，當該廣漠區域處於外界磁場的槍林彈雨中的時候，該電子發生了謎之偏轉。如果你完全不知道為何偏轉，那麼以下內容就可以略過了。前往複習洛倫茲力的友好鏈接。（以下為GIF圖，如果沒圖，或者圖不動，請自動做些什麼）

如果不僅僅是一個電子，而是適逢電子上下班，大家都在洛倫茲力的作用下集體跑偏，則會形成下圖所示的電子累積，形成電子濃度的梯度，從而在二維平面兩側形成電壓差。這個電壓叫霍爾電壓。你手機裡面有個部件，叫霍爾感測器，就是通過霍爾電壓感知手機與地磁線的相對方位，從而告訴你東西南北的。（下圖不是GIF圖）

現在讓我們開始無所不用其極的表演，繼續增大磁場。所有電子集體喝暈，開始原地打轉。（以下為GIF圖，如果沒圖，或者圖不動，請自動做些什麼）

再往下的內容，從專業來講，需要嚴格的在薛定諤方程中引入磁失勢，建立朗道能級。但是我們稍微任性一下，繼續根據高中物理知識硬推，來無窮逼近自洽的理論吧。此刻你大約可以想像以下圖景，在磁場中低能的電子轉小圈，高能的電子轉大圈。但是電子的軌道運動就是環繞電流啊，它會繼而誘發磁場啊。這些次生的磁場和外加的磁場以及電子自身電場的作用下，使得通過二維導體的磁場形成一個個量子化的磁通。每個磁通俘獲了若干電子，私自建立了一個太陽系。（以下為GIF圖，如果沒圖，或者圖不動，請自動做些什麼）

當磁場進一步增大，磁通數會相應增加，每個磁通所「附著」的電子相應的變少了。（以下為GIF圖，如果沒圖，或者圖不動，請自動做些什麼）

這些瘋狂旋轉的電子就像原子核周圍的電子一樣，被固定在各自量子化的軌道上，形成了量子化的能級，這就是所謂的朗道能級（Landau level）。如果我們導線有一部分是這樣的系統的話，它是無法導電的。巴特！想一下這個系統的邊緣會發生什麼。形成的是可以導電的邊緣電流。這種邊緣電流的特點就是它的電阻（電導）與二維導體的大小無關，而僅僅取決於邊緣跨越了幾個朗道能級。（以下GIF）

即便導體中間有所缺陷，也不會影響量子化的邊緣電導。

於是便形成了令人嘆為觀止的量子霍爾電導！

(上圖：Kosmos 1986，轉引自諾貝爾官方網站)

量子霍爾電導在純凈平台和低溫下是如此之精確，以至於它可以用來測量普朗克常數，進而重新定義千克。

寫到這裡的時候，分數量子霍爾效應還沒有登場，自旋霍爾效應還在等待自旋軌道耦合的先導。如有興趣，敬請耐心等待。

拓撲物態引論（二）：自旋軌道耦合