9、我們這個反饋的世界

「Among all of the mathematical disciplines the theory of differential equations is the most important... It furnishes the explanation of all those elementary manifestations

「在所有的數學原理中，微分方程理論是最重要的……它解釋了自然界一切與時間相關的光怪陸離」

--索菲斯·李

這裡我將解釋一下為何會出現對初始條件極端敏感的現象。在解釋之前，我先列舉幾個例子，供你思考：

1、彈簧。一個理想彈簧的彈力是滿足胡克定律的。當我們對彈簧施加壓力的時候，彈簧縮短，縮短產生的力向上，其的後果就是產生更大的彈力來阻止彈簧的繼續縮短，縮短越多，彈力越大；同理，當我們對彈簧施加拉力的時候，彈簧伸長，伸長產生的的力向下，其後果就是產生彈力來阻止彈簧的繼續伸長，伸長越長，彈力越大。

想一想，如果彈簧的性質相反，即壓縮時產生的力向下，而拉伸時產生的力向上，會怎樣？

2、沸騰。我們知道，水在一個大氣壓下的沸點是100℃，而隨著壓力的增加，它的沸點逐漸升高。我們把一個高壓鍋中的水加熱並保持在100℃，讓它保持沸騰。這時如果我們增加鍋子的壓力，那麼水的沸點就會超過100℃，也就意味著水蒸發的難度增加而蒸汽凝結的難度降低，此時鍋中的溫度就會低於沸點，這時候，鍋中蒸發出來的水蒸氣將會凝結成水，使得壓力降低。反之，如果我們降低鍋子的壓力，那麼水的沸點將會降低，使得沸騰過程更加劇烈，從而蒸發出更多的水蒸氣，使鍋中的壓力增加。

想一想，如果沸點的性質相反，壓力增加時，沸點降低，會怎樣？

3、比熱。我們日常所見的物體，都有正的比熱值，而沒有負的。正的比熱意味著什麼呢？就是說，物體在向外放熱的時候，它的溫度會降低，而它在吸收熱量的時候，它的溫度會增高（聽起來似乎是必需這樣的，但是自然界確實存在著負比熱的物體！）。比如說，一塊物體的溫度比環境溫度高，那麼它就不可避免地向外散熱，散熱的結果就是自身的溫度下降。而自身溫度下降之後，向外散熱的強度就會受到抑制。想一想，如果比熱是負的，也就是說，向外散熱後自己的溫度升高，會怎樣？

這裡我希望你能夠放下這本書，仔細想一想這幾個問題：1、它們有什麼樣的共同點？2、如果它們有著的相反的性質，會發生什麼事情？想明白了，你將會發現一個非常神奇的自然界奧秘。

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好了，我們來看上面我問的幾個問題，首先，你看出它們的共同點沒有？它們內部有著何種必然聯繫？

聰明如你，肯定已經看出它們之間的共同點：那就是這些系統對外力的干擾都是在抵抗的。外界對它們的產生某種擾動，這種擾動會使它們狀態發生變化，而這個狀態的變化又會反過來會影響最初的擾動，這個響應鏈條就叫做反饋。前面幾個例子的共同之處就是，系統對外力擾動的反饋都是在抵消這個擾動：

• 外力壓彈簧，彈簧壓縮，壓縮的彈簧產生彈力抵抗外力，抑制彈簧的繼續壓縮；
• 沸水加壓，水的沸點增加，抑制蒸發，增加蒸汽冷凝，蒸汽壓力下降，抑制壓力的增加
• 高溫物體向外散熱，散熱後溫度降低，溫度降低抑制散熱，從而抑制溫度降低

這種形式系統對外力抵抗的現象在自然界中比比皆是，每個人都可以輕鬆舉出幾個例子。這裡的問題是，它們身處截然不同的領域，為何會表現出這種神似而形不似的共同點呢？這中間有什麼必然聯繫？

答案很簡單，那就是：因為它們能夠穩定地存在與這個自然界，所以它們必然會有這種反饋形式！

為何這麼說呢？接下來請想一想，如果它們的性質相反，會發生什麼？

我們先來看看彈簧，胡克定律告訴我們，彈簧的彈力與它的形變成正比，方向與形變方向相反。如果說，彈力與形變方向相同的話，會出現什麼結果呢？我們來分析一下，現在我們有一根自由的彈簧，它沒有受力，因而它的長度沒有變化，也沒有彈力。現在，我們輕輕地，用我們最小最小的力量去碰它一下，那麼它就會發生一個很微小的壓縮。這個壓縮產生的彈力與它的壓縮方向相同，那麼這個彈力就必然會繼續想回拉彈簧，使得彈簧繼續縮短，而繼續縮短的彈簧又會產生更大的力，加速彈簧的縮短，這樣以此類推，形成一種多米諾骨牌式的連鎖反應，彈簧就會持續縮短，完全不需要額外的力來壓縮它了。彈簧的收縮永遠不會停止，並且這個縮短過程會越來越快。在一瞬間，彈簧就會收縮到一個無窮短的長度中，並且還在持續。這顯然是不可能的。而在現實中，一個彈簧總是受到各種干擾，這些干擾雖然非常小，但是，由於前面所述的連鎖反應，哪怕是再小的干擾，也會被無限放大。所以，現實中，彈簧的彈力必然會是抵抗它的形變的 – 不抵抗形變的彈力在自然界是不能穩定存在的。

對於沸騰呢？如果說沸點對壓力的響應是相反的，即增加壓力使得沸點降低，那麼會發生什麼呢？跟彈簧類似，在沸騰的鍋里，如果壓力稍微受到一點點干擾，增加了那麼一絲一毫，這個壓力的增加會降低沸點，使得沸騰更加容易，更多的水蒸氣會蒸發出來，而更多的水蒸氣會使得鍋里的壓力更加升高，從而使沸點更加降低，就更加加速水蒸氣的蒸發，因而進一步增加壓力，也會形成一種「根本停不下來」的連鎖反應。水會在一瞬間蒸發乾凈。而壓力也會持續增加直至爆棚。我們根本就不可能看到穩定的沸騰現象，這顯然是不可能的，因而沸點必須隨著壓力的增加而增加 – 不抵抗壓力波動的沸騰在自然界中是不能穩定存在的。

我們再來看看比熱的問題。跟前面類似，如果比熱是負數，那麼物體向外散熱導致的後果就是物體溫度上升，而溫度上升導致散熱更快，更快的散熱會導致更快的溫度上升

總而言之，現實世界中，每一個系統都不會是完全孤立的，總會受到多多少少的擾動。如果對於外界的某個擾動，系統的反應是強化這個擾動，而強化的擾動又會強化系統的反饋，那麼，這種連鎖反應就會使得系統經受不住哪怕是無窮小的擾動，擾動就會迅速被放大，系統也就不可能穩定存在。所以說，系統對擾動的反饋抵抗這個擾動（負反饋），是系統穩定存在的前提。

這裡我提到一個名詞，叫做「負反饋」。指的是一個擾動所引起的系統響應是抵消這個擾動。反之，如果這個擾動所引起的系統響應是強化它，那就是正反饋。一個穩定的系統，必須是負反饋的。一個正反饋的系統，會不斷擴大這擾動，使得擾動以指數速度迅速擴大（我們又看到「指數擴大」這個詞了！），導致系統的崩潰。

那麼，自然界不存在正反饋嗎？當然不是，正反饋的系統是存在的，但是它不可能穩定存在。比如說，一根垂直豎立的針。我們對這根針做分析會發現，它的傾斜和力矩之間是正反饋的：一個小小的擾動導致它傾斜了一點點，其後果就是使得重力對它產生了力矩，這個力矩的作用是使它更加傾斜。因而，雖然它理論上能夠在豎直的狀態下保持平衡，但是我們永遠看不到一根保持豎立的針（當然不包括插在那裡的）。因為一點擾動就會使得它迅速倒下。而相反的例子，一個盒子，這就是一個負反饋系統，盒子的傾斜導致的力矩是抵消它的傾斜的，所以我們到處可以看到平穩放置的盒子，但是永遠不會看到一個盒子自己站立起來。

我們還可以舉出很多其他正反饋的例子，它們無一例外都是不穩定的：

比如說爆炸。例如泄露在房間中的燃氣。如果房間中某處產生了一個溫度波動，比如說一個小小的火花。不論這個火花有多小，它必然會引起周圍小範圍的燃燒，這種燃燒就會產生更多的熱量，從而引起周圍更多的溫度提高，而這個溫度提高就會進一步產生更大範圍的燃燒，引起更多的溫度提高……，於是一瞬間，整個混合氣體就暴然狂燒起來了，爆炸就發生了。我們在自然界中永遠看不到穩定的爆炸，它總是在一瞬間引發，一瞬間結束：因為它是正反饋。

更加誇張一點的，是原子彈。原子彈的爆炸是通過連鎖反應完成的：一個中子轟擊到一個鈾原子核上，把這個原子核轟碎，碎片中就包含了多個中子，而每個中子又會繼續轟擊周圍的鈾原子核，產生更多的中子，依此類推，就會發生劇烈的原子彈爆炸：這個過程也是在一瞬間就結束了。

再說一個例子，前面提到比熱的時候，我說過，自然界是存在負數比熱的物體的，那就是巨大的恆星。恆星向外散熱，導致內部能量降低，恆星巨大的壓力就會使得恆星壓縮，壓縮的結果就是它的溫度更高，散熱更快，然後壓縮的更厲害。以此類推，大質量恆星的收縮也是永遠停不下來的。最後變成什麼了呢？我猜你已經知道了，就是黑洞。黑洞就是這種恆星無限壓縮，直至壓縮成為一個沒有體積的點（科學家把它叫做奇點），從而形成的。

好了，下面我要考考你了。我知道你還沒有學化學，對化學反應一無所知，但是，通過我們這個「反饋」的原理，你不需要知道化學反應，也可以判斷一些化學反應的變化方向。比如說，有A和B兩種氣體，它們混合以後，可以發生反應，一個A和一個B結合，產生了一個AB。而在同時呢，AB也會發生分裂，產生一個A和一個B。這兩個方向的反應同時進行，最後，每秒鐘A和B生成AB的速度，就等於AB分解成A和B的速度，因而A、B和AB的數目都不再變化，達到一個平衡，形成一種A、B、和AB的混合物。用下面的方程表示：

A+B?AB

這個反應中，1升A和1升B可以生成1升AB。在這三者平衡的時候，我們對這個氣體混合物增加壓力，增加壓力的後果，是使這個反應向右邊進行（A和B產生AB），還是向左邊進行（AB分解成A和B）？

如果你想明白了，恭喜你，你在沒有化學基礎的情況下，發現了一個重要的化學原理：勒沙特列原理！

說到這裡，你可能會疑問，扯了這麼多「反饋」，與我們的話題何干？好吧，讓我們再回憶一下第3章提到的微分方程：

一個系統某一時刻狀態變化率，（在邊界條件確定的情況下）是由此時它的狀態唯一確定的。

這是一種非常典型的微分方程形式，在第3章中我提到，以牛頓定律為基礎的經典動力學，最終的微分方程形式就是這樣的。事實上，絕大多數物理定律、化學定律的數學形式都是這樣的。因為科學研究的就是事物的狀態和事物狀態的變化，因而，科學定律必然是與「狀態」和「狀態的變化」有關的，所以科學定律表達成這種形式就順理成章了。

不知道你是否已經發現了，這種形式的微分方程，描述的就是一個反饋系統！

怎麼理解呢？我們說，這個方程的形式告訴我們，在某一時刻系統狀態的變化率是由系統狀態本身決定的。而系統狀態變化率又會決定下一時刻系統的狀態，下一時刻的狀態又決定了下一時刻的變化率，繼而又決定了下下時刻的狀態……，系統就以這種方式不斷反饋給自身。

簡單說，對一個初始穩定的動力學系統，它的所有狀態不隨時間變化，也就是變化率為零。如果在0時刻系統的狀態發生一個擾動δ，使得它的狀態偏離了平衡態，那麼，根據微分方程，這個偏離了平衡態的狀態就導致了它的變化率偏離了零（也就是說它的狀態會進一步發生變化）。而不為零的變化率就會使得下一時刻系統狀態進一步變化。如果這個變化的方向與最初的擾動δ一致的，那麼它會使得系統在最初擾動的方向上走得更遠，系統狀態就會更加偏離最初的穩定態。而更加偏離的狀態又會使得其下一刻的變化率更加有利於這個方向。這是一個正反饋，那麼，系統的這個擾動就會以非常快速的速度擴大，在一瞬間崩潰。

反之，最初的擾動使得系統狀態偏離平衡態，而偏離的平衡態導致狀態變化率偏離了零，如果這個變化率與最初的擾動方向相反，那麼，它就會把系統狀態從偏離的方向拉回平衡態，動力學方程是個負反饋的，那麼，系統的擾動就會以指數速度縮小，因而系統回到最初的狀態，這就是微分方程中得到的指數收斂的結果。當然，負反饋結合系統的慣性，還會產生震蕩的情況。對應上節，特徵值為複數就會出現這種情況，震蕩本身也可以是發散或收斂的。為了簡化討論，這裡就不多提了。

總之，如果系統狀態的變化方向與抵抗它的擾動方向，那麼這個系統是負反饋的，初始的擾動會以指數速度迅速縮小直至為零；如果系統狀態的變化方向強化它的擾動方向，那麼這個系統是正反饋的，初始的擾動會以指數速度迅速擴大直至完全不知所蹤；

在一個動力學系統中，由於其狀態變數的數目極其之多，所以，總有一部分變數是正反饋的，而一部分變數是負反饋的。正反饋的那一部分變數就會使得誤差呈指數速度放大，而負反饋的那一部分變數就會使誤差呈指數速度縮小。

所以說，系統對初始條件的極端敏感，根源就在於，描述我們這個世界的方程是反饋的。

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