CPT定理

本篇文章主要是針對CPT定理的證明，也就是說，對於任意自旋的粒子，其CPT是守恆的，即在CPT變換下拉氏量保持不變。

我們記號：以方便標記。我們先不加證明地給出0，1/2與1自旋粒子的場的CPT變換下的形式：

自旋0粒子場：

自旋1粒子場：

自旋1/2粒子場：

不失一般性，在此我們先假定在做CPT變換後產生的相位為1，以求方便。

我們在此先給出定理：

定理 在局域場理論下，假設拉氏密度滿足洛倫茲不變性，則：

證明： 首先我們先考慮矢量場、標量場和旋量場，對於任意由矢量場算符與標量場算符組成的n階張量，顯然對其做CPT變換可以得到：

我們知道構成Dirac旋量場在齊次洛倫茲群下的所有不可約表示，而為了能夠用旋量場構造出n階張量，我們注意到這種乘積組合必須是滿足洛倫茲協變性的，因此顯然首先應該保證與出現的數量是一樣多的，而事實上不難去驗證均滿足這種協變性，而Luders也證明了對於任意由旋量場組成的n階張量均可以由以上五個式子的組合來表示，因此也不難得到由旋量場組成的n階張量在CPT變換下也滿足：

接下來我們考慮更高自旋的場，也就是考慮在齊次洛倫茲群下滿足更多表示的場算符，我們有結論：

（註：對於Dirac場由代替）

（關於該場算符的表示及其關係產生的原因，可以參考Weinberg的Quantum Field Theory Vol.1的5.6與5.7節）

對此我們先假定該結果的正確性。則顯然有該場算符組成的n階張量的CPT變換也滿足如同以上的變換形式，即：

又易得如下的關係式：

有了以上條件，加上拉氏密度本來即為標量，所以拉氏密度可以寫成以下形式：

對此作CPT變換易得:

由此定理得證。

而實際上，因為量子力學假設要求物理量算符必須是厄米算符，所以拉氏密度本身經過CPT變換後只是時空坐標的符號發生了改變, 因此我們可以斷言：在局域場理論中，系統的拉氏量若滿足洛倫茲不變性，則一定滿足CPT不變性。

由CPT定理，我們可以得到正反粒子的質量相等，所帶的荷等量相反，以及散射矩陣是CPT不變的性質，而由散射矩陣的CPT不變性，由此我們可以得出正反粒子有一樣長的半衰期。具體推導可以參考Weinberg的Quantum Field Theory I 的3.6與李政道的《場論與粒子物理學》上冊的第十三章。

在此我們考慮為什麼在非局域場下在拉氏量洛倫茲不變條件下為何CPT不一定守恆，我們來考慮Scalar Field里的這樣一個相互作用拉氏密度：

顯然其是非局域的，其中為Heaviside Function，而這個則保證該拉氏量是洛倫茲不變的，並且對該拉氏量做C變換與P變換都是平凡的，但對其做T變換因為積分項里存在而其不變性被打破，故該拉氏量雖然保證了洛倫茲不變性，但卻不能保證CPT不變性。

而對於這種非局域的拉氏量，我們還可以構造如下的：

這些拉氏量都是非局域，滿足洛倫茲不變性，但不滿足CPT不變性的。

由CPT定理，我們可以得到正反粒子的質量相等，所帶的荷等量相反，以及散射矩陣是CPT不變的性質，而由散射矩陣的CPT不變性，由此我們可以得出正反粒子有一樣長的半衰期。

（鄙人第一次所寫，望大家指正文中錯誤與不足之處）

參考文獻：

1. Steven Weinberg, Quantum Field Theory Vol.1 Foundations

2. Masud Chaichian , Alexander D. Dolgov, Victor A. Novikov and Anca Tureanu, CPT Violation Does Not Lead to Violation of LorentzInvariance and Vice Versa, 1103.0168

3. G. Luders, On the Equivalence of Invariance under Time-Reversal and under ParticleAntiparticleConjugation for Relativistic Field Theories, Det. Kong. Danske VidenskabernesSelskab, Mat.-fys. Medd. 28 (5) (1954).

4. 李政道，《場論與粒子物理學》