關於GCI的證明思路簡介

本文介紹論文https://arxiv.org/pdf/1512.08776v1.pdf，這篇論文表明GCI的證明融合了數學分析，線性代數，概率論，實變函數論與泛函分析等非常基礎的知識。。。

關於GCI（Gaussian correlation inequality）的背景簡介請看一個蘊藏在人的身高體重數據中的不等式 - 知乎專欄

一個簡明的基於實變函數與泛函分析的概率論簡介請看http://www.statslab.cam.ac.uk/~beresty/teach/pmnotes.pdf。

一.Royen的思路

Royen將GCI陳述為如下命題：

若n維隨機變數,設 ,則對於任意的，有

我們先解讀一下上述命題。

首先我們需要明確的是就是說隨機變數$ X $服從均值為0的n維正態分布，且協方差矩陣為C，對於n維正態分布，藉助線性代數的知識，我們可以將其密度函數寫作：

二.GCI的證明

記號的說明：

（來自https://arxiv.org/pdf/1512.08776v1.pdf）

證明這個命題的依據是控制收斂定理的一個推論（來自http://www.statslab.cam.ac.uk/~beresty/teach/pmnotes.pdf）：

這個引理的證明是一個應用控制收斂的特別好的一個練習。。。

接下來就有了：

（直接證明

似乎很難，所以選擇了算積分號里的偏導數的拉普拉斯變換。而且求拉普拉斯變換的過程中會引入的冪，便於我們後續的計算。而且，神奇的是，你後面你會看見，求了拉普拉斯變換之後，我們可以計算出：

）

注意到這裡的實際上是變數,所以，我們有

下面這個引理給出了右邊的那個式子計算方法：

於是，我們就有了

這樣，我們只需要計算如何對上面這個式子的右邊的這個行列式求導就好了

關於上面這個式子的右邊的這個行列式有如下引理

（引理4和引理5的證明是特別好的關於線性代數的練習。）

由引理5，我們得到：

所以，的密度函數的導數的拉普拉斯變換為：

分析上式右邊的這個式子後面兩項相乘是否大於等於零。看似這是一個線性代數問題，但是估計不好解決，所以Royen又將其轉化回了分析問題。

（天曉得這個是怎麼想出來的，出現這種魔性的輔助函數，真的需要積累和靈感。。。。，引理7與8是特別好的分析與線性代數結合的練習）

由引理7和引理8我們可以得到（這裡少打了個dx...見諒，，，）：

與

相比，引入的拉普拉斯變換的參數約去了，於是我們得到了，

我們已經知道了，所以如果要證明

只要證明n重積分

大於等於零即可。

回想起

注意到，根據引理7，我們有

於是GCI得到了證明。

註：

1.還有一個法語版的關於Royen證明的解說http://www.bourbaki.ens.fr/TEXTES/1124.pdf,，網址里出現了bourbaki，，，估計更專業一點吧，不懂法語，就不妄加評論了。。。

2.關於n維正態分布，CS229中有特別好的介紹。

###4.27修改。

由於版權問題，原題圖換成我自己製作的圖了。。。

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