【認真想】讓邏輯成為你的第一語言

如果說我還有什麼一直沒有向大家分享過的優質思想，那可能就是今天這篇文章里所涉及的內容了。

作為一個從不藏私的人，為什麼這麼好的優質思想，我卻一直沒有向他人分享過呢？

因為它還有許多不完善的地方。一些不完善是因為我個人的原因，我還有許多重要的資料沒讀完。另一些原因則應該歸咎於人類，我們還有許多重要的東西不知道。

不過等到完全想清楚再說，可能就來不及了。我一直提醒自己，千萬不要高估絕大多數人的邏輯水平。然而不斷有案例告訴我，絕大多數人的邏輯水平之差，已經超出了我的想像。

有人會質疑，邏輯究竟有什麼用呢？

如果沒有邏輯，這些質疑邏輯的人連自己想說的話都說不清楚，又該怎麼質疑邏輯的用處呢？

從句子開始

首先，我們要知道什麼叫「句子」，它就是由語片語成的相對較長的符號串。

我們可以有中文句子，有英文句子，有日文句子，有數學句子，有C語言句子等等。句子用哪種符號來表達，不是很重要。重要的是，我們要知道句子究竟是什麼東西。

句子有很多作用，它可以讓人類發號指令、交流想法、表達感情等等。比如，我去餐館吃飯，服務員希望知道我想吃什麼，就會問我「你想吃什麼？」。當然，他也可以問我，「你想要選擇我們菜單上的哪種菜品？」、「What would you like to have？」。這裡只是說明，具體哪種語言的句子不重要，而具體用哪些詞來表達其實也不是很重要。那個想要表達的意思本身才是最重要的。

不過我們這篇文章不關心句子的這種行為作用，我們現在只關注句子的描述作用。比如說，我們可以用句子來描述我的書桌上有什麼東西。我可以說，「我的書桌上有一台電腦，一個加濕器，三瓶礦泉水……」，當然，我也可以用英文說，我也可以用形式語言來表達，然後再給形式語言賦值。

句子的意義就在於其真值條件

現在要問，當我們說出這些描述性的句子時，這些句子究竟是真的還是假的？

現在我們到了關鍵的一步。一些哲學家認為，一個句子的含義就在於其真值條件。這句話的意思是說，我們問某個句子是什麼意思，就是問這個句子在什麼條件下是真的。

當然，還有一些哲學家們不這麼想，不過我們先不去管他們。我們現在專註於真值條件這個說法。

我們這裡不考慮什麼「我相信明天會下雨，我認為蘋果很好吃……」等等這類涉及人類願望或人類想法的句子。因為這些句子屬於內涵語句，它們的真值條件有點麻煩。我們現在只考慮哪種描述世界究竟發生了什麼的客觀的外延語句。比如「X年X月X時，在X地下了X毫升的雨」。

像這樣的句子，我們可以檢驗它的真值，比如，看那個時刻，在那個地方，究竟有沒有下那麼多雨。

大家看到現在，可能覺得這個真值條件有什麼大不了的呢？看起來很簡單啊。

然而並非如此。假設我們說，「男人比女人高」，這個句子的真值條件是什麼呢？

一些人回想，那很簡單，我們就看男人是不是比女人高。如果是，那這個句子就是真的。如果不是，那這個句子就是假的。

那麼，這個句子是真的還是假的呢？

一些人想，那肯定是真的啊。男人確實比女人高啊。

是嗎？但是我們可以找到一個一米八高的女人，也可以找到一個一米六高的男人，這個女人不就是比那個男人高嗎？

此時我們就要停下來想想，「男人比女人高」這個句子的真值條件究竟是什麼。

謂詞邏輯的重要性

我們平時的自然語言是模糊的，而謂詞邏輯語言是精確的。謂詞邏輯是現代邏輯學之父，同時也是分析哲學的奠基人，弗雷格在十九世紀末所提出的原始版本，經由其他邏輯學家的完善，成了今天我們邏輯學課堂上會學到的版本。

弗雷格的那本書名叫《概念文字》，他是為了完成萊布尼茨的願望，希望實現一種理想的用以表達思想的完美語言，沒有任何歧義。當兩個人有了分歧，只要坐下來，拿出紙和筆，慢慢推演和計算，就能得出共識。

可惜的是，我們今天知道這種理想語言是不可能實現的，或者至少希望渺茫。因為人類的認知實在太複雜，自然語言之所以不完美，就是因為能表達人類認知的複雜性。而邏輯語言要想完美，就必然會損失掉人類認知的複雜性。不過這是題外話了，這裡不詳談了。

謂詞邏輯中有三個重要的概念，分別是個體詞、量詞、謂詞，其餘的和命題邏輯基本上沒有區別了。量詞只有2個，一個是全稱量詞，也就是「對於任意個體」，另一個是存在量詞，也就是「存在至少1個個體」。個體詞就像是函數的自變數，謂詞就像是函數本身，而值域這個集合里只有兩個元素，也就是真值，一個叫做「真」，另一個叫做「假」。當然，我們也可以把一個叫做「1」，另一個叫做「0」。叫什麼這並不重要。

這麼說好像有點複雜，不過它實質上是很簡單的。大家知道函數的概念，函數就像是一個機器，我們往這個機器里輸入一些數，這個機器就會吐出一些數。只是要注意，當我們輸入一個數時，它只會吐出固定的一個數。比如，我們有一個函數，f(x)=x+1。那麼當我們輸入1時，這個函數機器就會吐出2。當我們輸入103時，這個函數機器就會吐出104。而且，這個機器的工作不會出現故障，當我們輸入2時，它必然只會吐出3，不會吐出別的數，也不會吐出多個數。

同樣的，我們可以把「是男人(x)」看作一個函數，當x真的是男人時，我們認為這個句子是真的，當x不是男人時，我們認為這個句子是假的。

那麼，男人比女人高，這句話的真值條件是什麼呢？

首先，這句話沒有量詞，我們需要把量詞補全。但是我們有4種補全方案，分別是：

1.任一男人比任一女人要高。

2.任一男人比至少1個女人要高。

3.至少1個男人比任一女人要高。

4.至少1個男人比至少1個女人要高。

我們可以發現，句子4是真的，我是一個男人，我比我的一些女性朋友的身高要高。句子1是假的，我有許多女性朋友的身高比我要高。句子2和句子3的真值不確定，但是其真值條件是確定的。我們可以實際去調查，看看世界上最矮的人是不是女人，世界上最高的人是不是男人。不過這裡會有一些模糊性，因為人類的身高是會變的，而且還要考慮到殘疾人的存在。不過我們先不去管這些模糊性。

現在我們至少可以發現，謂詞邏輯語言可以讓我們精確地表達一個具備真值條件的句子，這樣的句子，其含義是明確的。

蒯因說，存在就是成為約束變項的值，其實說的就是存在的是受到量詞約束的個體變元，而一個理論中的謂詞並不是真正存在的。所以，我們應該把一個句子看作函數，其定義域就是我們假定這個世界上真正存在的那些個體，那些由基本粒子構成的特殊存在物。而作為謂詞的概念詞則是一個函數關係，值域則是真或假。

另外，我不得不再次強調，謂詞邏輯的表達能力比自然語言要小很多很多，謂詞本身也有一定的模糊之處。但是，謂詞邏輯依然值得我們學習，因為自然語言有太多模糊之處，會嚴重誤導我們的思考。我們不可能用謂詞邏輯語言來和朋友聊天，但我們至少要知道謂詞邏輯語言，以便進行嚴肅交流時，我們可以清晰地知道彼此討論的東西究竟是什麼。換言之，我們哪怕在概念的內涵上無法有共識，至少我們可以知道彼此所指稱的外延究竟是什麼。

模態邏輯的可能世界語義學

謂詞邏輯是一種外延語言，外延語言考慮的是概念的指稱，而不是意義。當兩個集合的元素相同時，我們就說這兩個集合相同。但這兩個集合完全可以有不同的定義式。這種定義的差異有時候是重要的，有時候不重要。總之，只考慮外延有時候是不夠的。

而要想要處理內涵語言，我們需要用到模態邏輯。模態邏輯還可以用來表達道義邏輯和時態邏輯等，但我們現在只考慮用以表達可能性的模態邏輯。

我們考慮的模態運算元只有兩種，一種叫做可能，另一種叫做必然。現在我們可以問，男人必然比女人高。男人可能比女人高。這兩句話的真值條件是什麼？

很顯然，由於沒有量詞，我們依然無法確定其真值條件。不過我們先默認兩句話的所有空位都填入全稱量詞，那麼我們就可以追問其真值條件了。任一男人必然比任一女人高，用可能世界語義學來說，就是在所有的可能世界中，任一男人比任一女人都高，最矮的男人也要比最高的女人要高。而任一男人可能比任一女人高，其真值條件就是在至少1個可能世界中，任一男人比任一女人都高。在那個可能世界中，最矮的男人也要比最高的女人要高。

可能世界，大家可以暫且理解為科幻作品中的平行宇宙。可能世界是另一個和我們這個世界非常相似但是又有所不同的世界。比如，在另一個可能世界裡，也許全宇宙都和我們這個宇宙一模一樣，只是這個宇宙的我，此時穿了一條黑色的褲子，另一個宇宙的我，此時穿了一條藍色的褲子。

在我們這個世界裡，各個變數之間的關係非常複雜。當一個變數增長，而另一個變數也增長時，我們說它們之間是正相關。當一個變數增長，而另一個變數降低時，我們說它們之間是負相關。而當一個變數變化，另一個變數不規則變化時，我們說它們之間沒有相關。而有些時候，我們不僅僅關心相關關係，我們還關心因果關係。可能世界語義學可以幫我們理解因果關係。當我們說A是B的原因時，我們大概是說，在可能世界裡，A為假，那麼B不會為真。

邏輯的限度

我們人類要想活在這個世界中，確實要依賴推論。我們無時無刻都在進行推論。我推論，如果自己按下鍵盤上的一些鍵，屏幕上就會出現一些字。這種「如果…那麼…」式的推論就叫做條件句。

條件句是我們人類賴以生存的關鍵。如果我們喝水，我們就能消除渴感。如果我們想要獵取食物，我們就要和他人合作。如果我們想要為自己謀取長遠利益，我們就要維護好自己的信用。還有許多條件句，都是用以指導我們生存和發展的必要規則。對於這些條件句的理解，我們都可以從模態邏輯和可能世界語義學中有所收穫。

然而，它們依然不夠。至少，我們認為人類的推論中有許多是隱喻性的，而這種隱喻則很難用可能世界語義學來表達。概念性隱喻基於我們的身體經驗，基於我們對世界的直觀感受。而人類所感受到的，與其說是作為物自體的物理世界，不如說是虛構的心理世界。以後提到具身認知時再詳談。

後記：本文基於我的書《思維的利劍》的第13章的部分內容改編而來，它省略了一些技術性較強的內容，保留了思想精髓。然而，書已經印刷好了，沒法改了。（書由清華大學出版社於2017年4月出版，很快就可以買到。）

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