百萬次實驗告訴你，堅持到底不一定勝利！

是時候來個遵從內心的投票了！

看來大家還是對

• 使用 Power 系列做報表

• 使用 Excel 進行腦洞模擬

更感興趣一些

那麼，今天

餅乾就來模擬一個比較經典的問題

三門問題（Monty Hall Problem）

相關的討論可以參考這個問題

蒙提霍爾問題（又稱三門問題、山羊汽車問題）的正解是什麼？

沒寫回答而是寫專欄是因為餅乾發現

哪怕認真回答也會因為時間線的原因而缺少正反饋

比如：

如何製作高水平簡歷？ - 餅乾的回答

好吧，進入今天的正題

首先，我們排除一切干擾信息

重新確認一下已知的信息：

• 一扇門後是汽車，其餘兩扇門後是山羊

• 你可以任意挑選一扇門
• 餅乾打開了另一扇門，門後是山羊

現在餅乾再給你一次選門的機會

• 你會堅持一開始的選擇？

• 還是覺得改變可能帶來更多的機會？

如果餅乾只是 隨便 選的門，你又會如何決策？

今天，餅乾將通過 蒙特卡洛模擬

回答這個問題

先簡單介紹一下

蒙特卡洛（Monte Carlo）

蒙特卡洛的核心是 大數定律 和 中心極限定理

對於這 2 個定理，我們只需要知道

在一定條件下

大量獨立隨機變數的平均數是以正態分布為極限的

即通過大量的隨機模擬，可以用頻率的 平均值 來估計概率

說人話就是

扔 100 次硬幣，看看正面的頻率到底是不是 50%

如果擔心 100 次可能會有波動，那就一萬次？甚至百萬次？

我們要做的是

1. 構造過程（使用 Excel 模擬過程）

2. 隨機抽樣（使用 VBA 進行重複採樣）

3. 估計變數（用選中汽車的頻率估計概率）

構造過程

三門問題的 Excel 模擬相對還是比較簡單的

首先，一共只有三扇門

• 實際車子在一扇門後

• 你一開始會選一扇門

也就是說，初始狀態有 3 × 3 共 9 種

那麼餅乾只能在剩下的兩扇門裡選一扇打開

由於實際餅乾打開的門後是山羊

因此，可以構建如下的 開門可能性矩陣

有了可能性矩陣後，我們就可以

構造概率模型

在 Excel 中一般通過構造包含隨機數的公式實現

涉及返回隨機數的函數有 2 個

• 連續分布

RAND：返回大於等於 0 且小於 1 的均勻分布隨機實數

• 離散分布

RANDBETWEEN：返回位於兩個指定數之間的一個隨機整數

我們希望構造的是如下圖的概率模型

每一行代表一次實驗

【換】和【不換】這 2 列中：1 代表選中汽車，0 代表沒選中

• 實際和選擇都是隨機的離散值

=RANDBETWEEN(1,3)

• 餅乾開的門背後是山羊

這裡將 Vlookup 的第 3 個參數構造成隨機變數

=VLOOKUP([@實際]&[@選擇],開門決策,4+RANDBETWEEN(0,1),0)

• 最後判斷是否選中汽車

【不換】= ([@實際]=[@選擇])*1【換】= AND([@實際]<>[@選擇],[@實際]<>[@開門])*1

*1 是將布爾值轉化成數值

拓展閱讀

想說，為啥「--（$B$12）」就轉化為數值1了？ - 餅乾的回答

隨機抽樣

由於我們構造好的概率模型只有一行

因此我們只需要

向下拉個 1000 行

就完成了 1000 次抽樣

然後比較一下【換】和【不換】的總和就可以知道哪種選擇更好了

當然，如果你覺得 1000 行的數據還不夠的話

完全可以寫幾行 VBA 把這個過程重複 100 次、甚至 1000 次

估計變數

這裡餅乾統計的是

每個【千次實驗】中，選中汽車的頻數

我們來看一下重複 1000 次【千次實驗】的統計結果

選擇【不換】在 1000 次實驗中平均可以選中汽車 333.4 次

運氣好的時候可以選中 402 次，運氣不好的話只有 288 次

我們再來看下【不換】的頻數分布

這個分布形狀反過來也可以讓我們再複習一下中心極限定理

大量獨立隨機變數的平均數是以正態分布為極限的

也就是說，通過蒙特卡洛模擬的結論是

【不換】堅持一開始的選擇，選中汽車的概率是 1/3

【換】嘗試改變換一扇門，選中汽車的概率是 2/3

But Why？

相信到這裡肯定有人會說

餅乾已經開掉了一扇門

那不就相當於只有兩扇門，一扇門後有車

任意選一扇門，門後有車的概率應該是 1/2

所以，換不換沒有區別

對於這個觀點，餅乾的看法是這樣的

我們所做的決策是基於對信息的利用

而三門問題的關鍵在於

餅乾打開了一扇背後是山羊的門

這個信息有沒有影響你的決策

如果你覺得這個信息是沒有意義的

得出的結論自然是換不換一樣

而如果你仔細揣摩

發現這個看似不影響結果的信息背後的意義

3 扇門比起 2 扇門降低了你在第一次就做出正確選擇的概率

是的

我們利用了 更多的 信息

做出 更貼近事實的 決策

這或許也是數據分析的魅力所在吧~

最後

如果餅乾只是 隨便 選的門，你又會如何決策？

這個問題就留給大家留言和我討論了

關注餅乾，少加點班

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