細說模態分析四大基本假設

聲明：未經授權，嚴禁轉載，轉發朋友圈不受影響！

模態分析有四大基本假設，分別為線性假設、時不變性假設、可觀測性假設和互易性假設。我們總是希望結構模態分析能全部滿足這些假設，但是現實情況是，很難全部滿足。可能結構全部滿足，但是由於測量設置等因素會一定程度上破壞這些假設。下面我將分別說明可能受到的影響和相關應用。

1.線性假設

結構的動態特性（模態參數）是線性的，就是說任何輸入組合引起的輸出等於各自輸出的組合，其動力學特性可以用一組線性二階微分方程來描述。

我們知道，結構的響應X等於頻響函數H乘以激勵力F(這些函數為矩陣或向量)，也就是說

X=H*F

當激勵力為某種組合形式時（α為向量），響應為

αX=H*αF

當激勵力為另一種組合形式時（β為向量），響應為

βX=H*βF

當以上兩種激勵組合時，引起的響應為各自響應的疊加，即

(α+β)X=H*(α+β)F

我們知道頻響函數是結構的固有屬性，不隨激勵力變化，這個的前提條件是結構是線性的，因此，線性結構這個假設總是滿足的。在試驗過程中，我們如何對結構進行線性檢查呢？根據以上公式知道，當激勵力大一點，結構對應的相應也會大一點，而結構的頻響函數是不變的。因此，對結構分別施加不同量級的激勵力，測量各自的頻響函數，將各個激勵力下的頻響函數放置在同一張視圖中，對比各個激勵力下的頻響函數的重合性，如果重合性非常高，則我們可以說結構是滿足線性假設的。如下所示，左圖為不同量級的激勵力的力譜，右圖為左側三個不同量級激勵力下的三條頻響函數曲線重疊圖。

從圖中可以看出，不同量級激勵力下的三條頻響函數曲線重合性非常好。相對而言，由於激勵器的激勵力大小是可控的，因此，激振器測量更易於對結構進行線性檢查。作線性檢查時，假設第一次激勵力為N，第二次激勵力可調整為2N，但前提是激勵力不能使待測結構出現明顯的剛體位移。

對於非線性結構而言，在不同量級激勵力的激勵下，結構的頻響函數是有移動的，如下所示。左圖為三個不同量級的激勵力，右圖為這三個激勵力下的三條頻響函數曲線。從圖中可以看出，頻響函數存在明顯的移動，一致性差。

一般說來，單一金屬材質的結構是滿足線性假設的，但對於複雜結構，可能就需要進行線性檢查了，而如果結構具有非線性，更應該做這個工作，因為通過施加不同量級的激勵力，獲得頻響函數之後，能使你明白激勵力改變多少時，頻率移動了多少Hz。因此，如果有條件，最好對結構進行線性檢查，通過數據驗證更具有說服力。

2.時不變性假設

結構的動態特性不隨時間變化，因而微分方程的係數是與時間無關的常數。

理論上而言，結構的動態特徵是不隨時間變化的，但是因為測試設置的原因，可能會導致動態特徵隨時間變化，主要體現在以下幾個方面：

1.質量載荷：當測點較多，而加速度感測器和數采通道有限時，可能需要分批移動感測器，而感測器是有重量的，因此，會引起待測結構的質量（附加了感測器的重量）隨著感測器的移動變化，從而影響到結構的動態特性。尤其是輕質結構，這個問題更突出。因此，當需要感測器分批移動測量時，分批移動也有一定的技巧：盡量使感測器的重量分布到整個結構中去，而不是一個局部小區域。當然也可以使用輕質的感測器。

如下圖所示，在這個頻帶內實際上只有兩階模態，但由於感測器的移動，使結構變成了一個時變系統，從而影響到結構的動態特性發生變化：在這個頻帶內似乎有四階模態存在。

2.支承剛度變化：如果測量過程中，支承結構的支承系統的剛度發生變化，肯定會影響到結構的動態特性，因此，要確定測量過程中，支承剛度發生不變。

3.溫度變化：結構的某些屬性，如材料參數，可能會受溫度影響，從而導致影響結構的動態特性。例如，對橋樑進行模態參數測量時，有時就會出現早晨測量的頻率與中午測量的頻率有明顯的差異，而這個差異正是溫度引起的。

溫度變化另一個典型情況是做發動機TPA時，工況數據是在車輛行駛狀態下測量的，此時發動機附近的溫度可能高達6，70度。但是頻響函數測量卻是在常溫下測量的，因此，這就給載荷識別和貢獻量分析帶來了誤差，但這個誤差又不可避免。

3. 可觀測性假設

這意味著用以確定我們所關心的系統動態特性所需要的全部數據都是可以測量的。

假設這樣說沒有問題，但實際上能測量出來的動態特性是受測量設置影響的，具體體現在以下幾個方面：

1.激勵：如果激勵不能充分激起感興趣頻帶內的所有模態，那麼相對而言，沒有激起來的模態就不可能測量到。如下圖所示，上面是沒有充分激起高階模態的FRF，下面是充分激起的整個關心頻帶的FRF。如果用上面的FRF進行參數識別，可能識別高階模態就有困難了。

另一方面，如果模態具有強方向性，那麼，激勵也應該分方向進行激勵，不然會丟失其他方向的模態。如下圖所示，水平方向存在4階模態，垂直方向存在2階模態，只有對兩個方向都進行激勵時，才能將這個頻帶內的6階模態都測量到。

2.測量自由度：我們知道當採樣頻率不滿足採樣定理時，會發生頻率混疊現象，同樣地，當空間上測點不夠時，會發生空間混疊現象。空間混疊導致高階模態振型與低階模態振型非常相似，從而不能唯一地確定高階模態振型。

3.模態參考點：如果參考點選擇不合適，那麼會導致某些模態在FRF曲線中不可見，這時這些模態是識別不出來的。如下圖所示，如果選擇綠色的測點作為模態參考點，那麼圓圈中的這幾階模態將測量不出來。因此，模態參考點要避開關心頻帶內的所有模態的節點，可以合理選擇參考點或考慮多參考點來避免這一問題。

4. 互易性假設

結構應該遵從Maxwell互易性原理，即在j點輸入所引起的k點響應，等於在k點的相同輸入所引起的j點響應。此假設使得質量矩陣。剛度矩陣、阻尼矩陣和頻響函數矩陣都成了對稱陣。

在進行互易性檢查時，也是檢查兩條FRF曲線的重合性。如果兩條FRF曲線重合性好，我們則可以說結構滿足互易性假設，如下圖所示。

在這提出一個問題，兩個位置的方向要相同嗎？如上面的j，k點都是同一個方向。答案是這不是必須的。我們也可以做如下圖所示的互易性檢查，甚至可以是兩個互相垂直的方向。在做白車身模態時，互易性檢查通常就會是這種情況，因為有可能兩個激振器都是傾角激勵或者一個是垂直激勵，另一個傾角激勵。

根據互易性假設，頻響函數矩陣成了對稱陣，因此，錘擊法測試與激振器測試得到的頻響函數理論上是相同的，但實際上二者是有差異的。區別在於激振器和響應感測器往往對結構都有影響、頂桿可能會引入彎曲剛度、移動感測器會導致數據不一致、存在質量載荷等。

互易性一個典型應用是TPA分析時測量頻響函數。如果目標點位置測量的是聲壓，那麼可以在目標點位置放置一個體積聲源，在指示點位置上布置加速度感測器，那麼，可以快速地獲得所有指示點到目標點位置的FRF，省時省力，效率高。

總的說來，理論上這些假設都是滿足的，但是由於測試設置總會引起這樣或那樣的問題，從而使結構不滿足這些假設。因此，在進行模態測試時，應充分注意到這些可能的因素對結構動態特性帶來的影響。而且在測試過程中，應做相應的檢查，以確定這些假設是否滿足。

覺得不錯，請點贊！

END

擴展閱讀

1.什麼是模態分析？(上)

2.什麼是模態分析？(下)

3.什麼是模態參考點？

4.什麼是固有頻率？

5.什麼是頻響函數FRF（一）？

6.什麼是頻響函數FRF（二）？