測度論

01-25

對應課程：《測度論》

（註：本文第一部分涉及到可測函數的比較（包括兩個可測函數相等）時，皆指在「幾乎處處」（即a.e.）的意義下）

我們採取與一般測度論或者實分析教材不同的做法，根據古典微積分的基本定理，啟發式得到現代測度論體系下的微積分基本定理（Radon-Nikodym定理）。並將此推廣到測度論應用最廣的兩大領域——實分析與概率論中，為日後用現代語言討論分析或者概率做好鋪墊。

在古典微積分中，我們有一元函數微積分基本定理，其分為兩部分：

一元函數的積分函數的導數還是自身
一元函數的導數的積分函數等於自身加一個常數

我們按照這個思路將微積分推廣到現代的測度論體系中。

【一】測度空間與微積分基本定理

1. 可積函數的不定積分

可測空間

我們知道，一個可測空間 $(Omega,{cal F})$ 是由一個集合 $Omega$ 與它的一個 $sigma -$ 代數 $cal F$ 構成， $cal F$ 中元素稱為可測集。

注1（集類）： $Omega$ 的一些子集構成的集合 ${cal C}$ 稱為 $Omega$ 的集類。

注2（半集代數）：滿足以下條件的集類 ${cal C}$ ：（1） $Omega,phi in {cal C}$ ；（2）有限交封閉；（3） $A,A_1in {cal C}$ ， $A_1subseteq A$ ，則存在兩兩不交的 $A_2,A_3,...A_nin {cal C}$ ，使得 $A=A_1cup (cup_{k=1}^n A_k)$ 。（例如： ${cal C}:={(a,b]:-inftyle a<b leinfty}$ 為 $f R$ 的一個半集代數）

注3（ $f sigma-$ 代數）：滿足以下條件的集類 ${cal F}$ ：（1） $Omega in {cal F}$ ；（2）余封閉；（3）可數交封閉。（稱包含集類 ${cal C}$ 的最小 $sigma-$ 代數為「由 ${cal C}$ 生成的 $sigma-$ 代數」，記作 $sigma({cal C})$ ）

注4（單調類定理）：若集類 ${cal C}$ 為 $pi-$ 系（即對有限交封閉的集類），則由 ${cal C}$ 生成的 $Lambda-$ 系（即滿足以下條件的集類：（1）包含 $Omega$ ；（2）真差封閉；（3）不降序列的可數並封閉） $Lambda({cal C})=sigma({cal C})$ 。

測度空間

設 $(Omega ,{cal F})$ 為一個可測空間，若賦予一個 $cal F$ 上的集函數 $mu$ ，使它滿足非負性（可取值 $infty$ ）和可列可加性，則稱 $(Omega ,{cal F},mu)$ 為一個測度空間， $mu$ 是其上的測度。

注1（有限測度）：若 $mu(Omega)<infty$ ，則稱 $mu$ 是有限測度，或稱 $(Omega ,{cal F},mu)$ 為有限測度空間。

注2（ $fsigma-$ 有限測度）若 $Omega$ 中任一可測集 $A$ 可以寫成一列測度小於無窮的集合 $A_n$ 的並，即 $A=igcup_{n=1}^{infty}{A_n}$ （ $mu(A_n)<infty$ ），則稱 $mu$ 是 $sigma-$ 有限測度，或稱 $(Omega ,{cal F},mu)$ 為 $sigma-$ 有限測度空間。

注3（測度擴張定理）：若 $mu$ 為 $Omega$ 的一個半集代數 ${cal C}$ 上的測度（定義類似），則我們可以通過單調類定理將 $mu$ 唯一擴張到 $sigma({cal C})$ 上。（例如：對實空間 $f R$ 上的半集代數 ${cal C}:={(a,b]:-inftyle a<b leinfty}$ 定義測度 $mu$ 為區間長度，則 $mu$ 能唯一擴張到 $sigma({cal C})=:{cal B}$ 上，成為 $({f R},{cal B})$ 上的測度 $lambda$ 。稱 ${cal B}$ 為 $f R$ 的Borel代數， $({f R},{cal B},lambda)$ 為 Borel測度空間， $lambda$ 為Borel測度）

注4（ $f mu-$ 零集與完全化）：稱 $Omega$ 的子集 $N$ 為 $mu-$ 零集，如果存在 $Nsubseteq Fin {cal F}$ ，使得 $mu(F)=0$ （即零測集的子集）；若測度空間 $(Omega,{cal F},mu)$ 中的任一 $mu-$ 零集都屬於 $cal F$ ，則稱其為完全測度空間（任一測度空間 $(Omega,{cal F},mu)$ 均可完全化，形成完全測度空間 $(Omega,ar{cal F},armu)$ ）。

可測函數

可測空間 $(Omega ,{cal F})$ 到另一個可測空間 $(S ,{cal S})$ 的映射 $f$ 如果滿足： $f^{-1}({cal S})subset {cal F}$ ，則稱 $f$ 是 $(Omega ,{cal F})$ 到 $(S ,{cal S})$ 的 ${cal F}-$ 可測映射。

註：若 $sigma({cal C})={cal S}$ ，則可放低要求： $f^{-1}({cal C})subset {cal F}$ 。可證明該條件等價於 $f^{-1}({cal S})subset {cal F}$ 。

特別地，若 $(S ,{cal S})=({f{R}},{cal B})$ ，則稱 $f$ 為 $(Omega ,{cal F})$ 上的 ${cal F}-$ 可測函數，記為 $fin{cal F}$ 。

注1（判定）：此時，由於 $sigma({(-infty,x]:xin{f{R}}})={cal B}$ ，故可放低要求： $f^{-1}((-infty,x])in {cal F}$ 。

注2（簡單函數的逼近）：任一（非負的）可測函數均可表示為某個（非負不降的）簡單函數序列的極限。

積分與可積函數

設 $f$ 為測度空間 $(Omega ,{cal F},mu)$ 上的一個可測函數，如何對 $f$ 定義積分？先考慮 $f$ 是簡單非負可測函數的情況：設 $f=sum_{i=1}^{n}{a_i1_{A_i}}$ （ $a_igeq 0$ ， $igcup_{i=1}^{n}{A_i}=Omega$ ， $A_i in {cal F}$ ）可定義 $f$ 的積分為 $int_{Omega} f mathrm{d}mu :=sum_{i=1}^{n}{a_icdot mu(A_i)}$ 。再考慮 $f$ 是非負可測函數的情況： $fgeq 0$ ，可定義 $f$ 的積分為 $int_{Omega} fmathrm{d}mu :=lim_{n ightarrow infty}{int_{Omega} f_n mathrm{d}mu}$ （ $f_nuparrow f$ 為非負簡單 $cal F-$ 可測函數）。最後考慮 $f$ 是一般可測函數的情況：設 $f=f^+-f^-$ （ $f^+$ 、 $f^-$ 非負），若兩者至少有一者積分有限，則定義 $f$ 的積分為 $int_{Omega} f mathrm{d}mu := int_{Omega} f^+ mathrm{d}mu-int_{Omega} f^- mathrm{d}mu$ ，此時稱 $f$ 積分存在。若兩項積分均有限，則稱可測函數 $f$ 是 $(Omega ,{cal F},mu)$ 上的 $L^1$ 可積函數，記為 $fin L^1(Omega,{cal F},mu)$ 。（可測函數 $f$ 可積 $Leftrightarrow$ $|f|$ 可積）

注*（關於符號測度積分）：當 $varphi$ 為下文中符號測度時，也有相關的關於符號測度積分的定義，即可測函數 $f$ 若滿足下式右端有意義： $int_{Omega} fmathrm{d}varphi:=int_{Omega} fmathrm{d}varphi^+-int_{Omega} fmathrm{d}varphi^-$ （ $varphi^+$ 、 $varphi^-$ 為下文中 $varphi$ 的Hahn分解），則稱 $int_{Omega} fmathrm{d}varphi$ 為 $f$ 關於符號測度 $varphi$ 的積分。

不定積分

考慮 $L^1(Omega,{cal F},mu)$ 上的不定積分運算： $int:fmapsto int f mathrm{d}mu$ ，其中 $int fmathrm{d}mu :Amapstoint_{A} fmathrm{d}mu :=int_{Omega} fcdot 1_Amathrm{d}mu$ 是 ${cal F}$ 上的集函數，稱 $int fmathrm{d}mu$ 為 $f$ 在 $(Omega ,{cal F},mu)$ 上的不定積分。

2. 有限符號測度的導數

符號測度

一個測度空間 $(Omega ,{cal F},mu)$ 及其上的一個可積函數 $f$ 可以通過積分運算得到一個不定積分 $int f mathrm{d}mu$ ，我們想對不定積分做求導運算，看看其能不能通過求導回到 $f$ 。

但是不定積分又是什麼？如何在不定積分上規定導數？我們得討論更一般的求導對象。

上一節我們知道，不定積分是一個集函數，不過可以驗證，不定積分還是一個 $(Omega ,{cal F})$ 上的一個符號測度，即滿足可列可加性的 $cal F$ 上的集函數，（註：測度一定是符號測度）因此，我們的討論放寬到符號測度 $varphi$ 的導數。

Hahn分解定理

在給出符號測度的導數前，我們先給出符號測度 $varphi$ 的Hahn分解定理：

對於 $(Omega ,{cal F})$ 上的一個符號測度 $varphi$ ，其存在基礎的Hahn分解： $varphi=varphi^+-varphi^-$ 。即存在不相交的 $P,Nin {cal F}$ （ $Pcup N=Omega$ ），使得 $forall Ain {cal F}$ ， $varphi^+(A)=varphi(Acap P)=sup_{Bin {cal F}}{varphi(Acap B)}$ ，以及 $varphi^-(A)=-varphi(Acap N)=-inf_{Bin {cal F}}{varphi(Acap B)}$ 。其中，上變差 $varphi^+$ 與下變差 $varphi^-$ 皆為測度（有一個有限），全變差 $|varphi|:=varphi^++varphi^-$ 也為測度。

Lebesgue分解定理

有了符號測度基礎的Hahn分解定理後，我們得到如下的Lebesgue分解定理：給定 $sigma-$ 有限的測度空間 $(Omega ,{cal F},mu)$ 和其上的一個 $sigma-$ 有限符號測度 $varphi$ ，則 $varphi$ 存在關於 $mu$ 的唯一的符號測度分解 $varphi=varphi_a+varphi_s$ ，其中 $varphi_allmu$ ， $varphiot mu$ 。

注1（絕對連續）： $varphi_allmu$ 是指： $mu(A)=0Rightarrow varphi_a(A)=0$ 。此時稱符號測度 $varphi_a$ 關於測度 $mu$ 絕對連續（若兩個測度 $mu$ 和 $u$ 滿足： $mull u$ 且 $ullmu$ ，則稱 $mu$ 和 $u$ 測度等價，記為 $musim u$ ）。

注2（奇異）： $varphi_sot mu$ 是指：存在一對不相交的集合 $A$ 和 $B$ ，使得 $varphi_s$ 集中於 $A$ 上， $mu$ 集中於 $B$ 。此時稱 $varphi_b$ 關於測度 $mu$ 奇異（符號測度 $u$ 「集中」在某個集合 $C$ 中是指：對任意 $Ein {cal F}$ ， $Ecap C=varnothing$ 時有 $u(E)=0$ ）。

Radon-Nikodym定理

對分解 $varphi=varphi_a+varphi_s$ 中的 $varphi_a$ 來說，有Radon-Nikodym定理，即存在唯一一個有限可測函數 $h$ ，使得 $varphi_a(A)=int_{A} h mathrm{d}mu$ 。這樣就可以在給定 $sigma-$ 有限的測度空間 $(Omega ,{cal F},mu)$ 後，定義其上的 $sigma-$ 有限符號測度 $varphi$ 的求導運算 $frac{mathrm{d}} {mathrm{d}mu}$ ： $varphimapsto h$ ，稱 $h$ 為 $sigma-$ 有限符號測度 $varphi$ 的Radon導數。（由兩個唯一性保證了求導運算的良定性）

注（測度變換）：若 $lambda$ 為關於 $mu$ 絕對連續的測度，則 $int_Omega f mathrm{d}lambda$ 存在 $Leftrightarrow$ $int_Omega f frac{mathrm{d}lambda}{mathrm{d}mu}mathrm{d}mu$ 存在。且積分存在時，有： $int_A fmathrm{d} lambda= int_A f frac{mathrm{d}lambda}{mathrm{d}mu} mathrm{d}mu$ 。

3. 微積分基本定理

給定 $sigma-$ 有限的測度空間 $(Omega ,{cal F},mu)$ ，記 $Phi ({cal F})$ 為所有 $cal F$ 上有限符號測度構成的集合， ${cal A}({cal F},mu )$ 為 $Phi ({cal F})$ 中關於 $mu$ 絕對連續的符號測度構成的子集， $frac{mathrm{d}}{mathrm{d}mu}$ 為上述求導運算， $int$ 為第一節中的不定積分運算，則： $frac{mathrm{d}}{mathrm{d}mu}$ 與 $int$ 為一對互逆映射！

【二】應用：Lebesgue 測度空間

1. 可積函數的不定積分

L-測度空間

我們考慮 Lebesgue 測度空間 $({f R}, {cal M},lambda)$ （ ${cal M}$ 為 ${f{R}}$ 中全體 Lebesgue 可測集構成的 $sigma-$ 代數； $lambda$ 為 Lebesgue 測度），它是一個 $sigma-$ 有限的測度空間。

注1：Lebesgue 測度空間為 Borel 測度空間 $({f R}, {cal B},lambda)$ 的完全化。

注2：為簡便，以下我們均考慮子空間 $([a,b],[a,b]cap {cal M},lambda)$ 。若無特殊聲明，則 $({f R},{cal M},lambda)$ 中結論均與之一致！

L-可測函數

$([a,b],[a,b]cap {cal M},lambda)$ 上的函數 $f(x)$ 若滿足 $f^{-1}({cal B})subset [a,b]cap {cal M}$ ，則稱 $f(x)$ 為 $[a,b]$ 上的一個Lebesgue可測函數。

註：由於 $sigma( au)={cal B}$ ， $au$ 為 ${f{R}}$ 的開集構成的拓撲，而 $[a,b]$ 上的連續函數 $f:f^{-1}( au)subset [a,b] cap au$ 恰滿足： $f^{-1}( au)subset [a,b] cap au subset [a,b] cap {cal B} subset [a,b] cap {cal M}$ ，因此， $[a,b]$ 上的連續函數是可測函數。

L-積分與L-可積函數

如果一個Lebesgue可測函數 $f(x)$ 滿足積分有限性，則稱 $f(x)$ 為一個Lebesgue可積函數，它的積分 $int_{a}^{b}f(x)mathrm{d}lambda$ 稱為 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的Lebesgue積分。

註： $[a,b]$ 上的函數 $f(x)$ 如果Riemann可積，則其一定Lebesgue可積！但 $f R$ 上的與廣義可積與 $f R$ 上的 Lebesgue 可積無包含關係。

L-不定積分

當 $f(x)$ 的積分存在時，我們記它的不定積分為 $int_{a}^{x}f(t)mathrm{d}lambda$ ，其為 $[a,b]$ 上的函數！

2. 有界變差函數的導數

注意到我們針對Lebesgue測度空間中的不定積分定義為「函數 $int_{a}^{x}fmathrm{d}lambda$ 」，而非測度論框架中的「符號測度 $int fmathrm{d}lambda$ 」，這是由於為了和傳統微積分中的不定積分保持形式上一致。

注意到不定積分函數的全變差是有界的，因此我們引入「有界變差函數」的定義，並把可導的函數類放寬到有界變差函數上。

有界變差函數

稱 $[a,b]$ 上的函數 $f(x)$ 為有界變差函數，如果 $f(x)$ 的全變差 $igvee_{a}^{b} {(f)}<infty$ 。

註： $igvee_{a}^{b} {(f)}:=sup{sum_{i=1}^{n}{|f(x_i)-f(x_{i-1})|}:Delta_n ext{是}[a,b] ext{的某一划分}}$ ，其用來描述 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 中的震蕩性。

Jordan-Hahn分解定理

類似符號測度的Hahn分解定理，我們給出有界變差函數的Jordan-Hahn分解定理： $f(x)$ 有界變差 $Leftrightarrow$ $f(x)$ 有分解 $f(x)=g(x)-h(x)$ 。（其中， $g(x)$ 和 $h(x)$ 為有界單增函數）

注1：特別地，當 $g(x)=frac{igvee_{a}^{x} {(f)}+f(x)}{2}=:f_+$ ， $h(x)=frac{igvee_{a}^{x} {(f)}-f(x)}{2}=:f_-$ 時，稱該分解為有界變差函數 $f$ 的Hahn分解。

注2：由於單調函數一定a.e.可導，因此有界變差函數一定a.e.可導。

注3：有界變差函數 $f(x)$ 的導數 $f$ 是 $L^1$ 可積的，即 $f$ 。

絕對連續函數

雖然有界變差函數可導，但它導數的積分卻不一定是自身，因此我們需要類似的引入「絕對連續」的函數的概念。

稱 $([a,b],[a,b]cap {cal M},lambda)$ 上的函數 $f(x)$ 為絕對連續函數，如果 $f(x)$ 滿足以下條件：

$forall varepsilon >0$ ， $exists delta>0$ ，對 $[a,b]$ 中任意滿足 $sum_{i=1}^{n} |x_i-y_i| <delta$ 的 $n$ 個互不相交開區間 $(x_i,y_i)$ ，有 $sum_{i=1}^{n}{|f(x_i)-f(y_i)|}< varepsilon$ 。

注1：函數的絕對連續性是用來描述函數 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 中的光滑性。

注2：Lipschitz連續 $Rightarrow$ 絕對連續 $Rightarrow$ 一致連續 $Rightarrow$ 連續！

注3：絕對連續函數 $f(x)$ 一定是有界變差函數。

3. 微積分基本定理

給定Lebesgue測度空間 $([a,b],[a,b]cap {cal M},lambda)$ ，記 $BV[a,b]$ 為所有 $[a,b]$ 上全體初值為0的有界變差函數構成的集合， $AC[a,b]$ 為 $[a,b]$ 上全體初值為0絕對連續函數構成的集合， $frac{mathrm{d}}{mathrm{d}lambda}$ 為求導運算， $int_a^x$ 為不定積分運算，則： $frac{mathrm{d}}{mathrm{d}lambda}$ 與 $int_a^x$ 為一對互逆映射！

4*. 推廣 I ：Lebesgue-Stieltjes 測度空間

我們可以看到，Lebesgue測度空間中的「有界變差函數」與一般可測空間中的「符號測度」的性質十分類似，且「絕對連續函數」與「絕對連續的符號測度」的性質也非常相似！

幸運的，在 $({f R}, {cal B} )$ 中，上述有某種一一對應的關係：

「L-S測度 $mu$ 」與「（右連續）單增函數 $x(t)$ [平移意義下的等價類] 」是一一對應的
「有限符號測度 $varphi$ 」與「（右連續、負無窮值為 $0$ 的）有界變差函數 $f(t)$ 」是一一對應的

且當 $varphi$ 與 $f$ 一一對應時，其相應Hahn分解中的有限測度 $varphi^+$ 、 $varphi^-$ 與（右連續、負無窮值為 $0$ 的）單增函數 $f_+$ 、 $f_-$ 也一一對應！

我們稱 $sigma-$ 有限且在 $(a,b]$ 上有限的測度 $mu$ 為L-S測度， $({f R}, {cal B},mu)$ 為L-S測度空間。

L-S測度空間為Lebesgue測度空間的推廣，且 $f R$ 上的L-S測度與Radon測度等價！

註：事實上，由下文「有可數基的局部緊Hausdorff空間」性質可知，L-S測度 $mu$ 在 $(a,b]$ 上有限，從而在緊集（有界閉集）上有限，因此 $mu$ 為Radon測度；反之，對於其上的Radon測度 $mu$ ，其一定是 $sigma-$ 有限的，並且其在緊集上有限，從而在 $(a,b]$ 上有限，因此 $mu$ 為L-S測度。

（1）微積分基本定理

回到上圖，當考慮 $([a,b],[a,b]cap {cal B} )$ 時，我們將測度論中微積分基本定理與Lebesgue測度空間中的微積分基本定理相結合，並加以推廣，得到上圖更一般的L-S測度空間中的微積分基本定理！

註：事實上，該微積分基本定理可由下文「Hausdorff空間中的微積分基本定理」推得：這是由於：（1）L-S測度是Radon測度；（2）對於有限符號測度 $varphi$ ，它的全變差 $|varphi|$ 為有限測度，又由於 $[a,b]$ 為Polish空間，因此其上的有限測度 $|varphi|$ 為正則測度，從而 $varphi$ 為有限正則符號測度，即「有限符號測度」與「有限正則符號測度」等價，從而上圖是下圖的特殊形式。

（2）Riesz表示定理

給定 $([a,b],[a,b]cap {cal B} )$ ，則：

$C_c([a,b])=C([a.b])$ 的所有正線性泛函構成的空間： $([a,b],[a,b]cap {cal B} )$ 上所有L-S測度（或右連續單增函數）構成的空間；
$C_0([a,b])=C([a.b])$ 的共軛空間： $([a,b],[a,b]cap {cal B} )$ 上所有有限符號測度（或右連續初值為 $f 0$ 的有界變差函數）構成的空間。

注1：作用的形式為 $langle varphi, f angle:=int fmathrm{d}varphi$ ，且 $Vert varphiVert=|varphi| ([a,b])$ 。

注2：事實上，該Riesz定理可由下文「局部緊Hausdorff空間中的Riesz表示定理」推得：由於此時 $C_0[a,b]=C[a,b]$ ，所以 $C [a,b]$ 的共軛空間就是 $C_0 [a,b]$ 的共軛空間，即所有「有限符號測度」構成的空間，也就是所有「右連續、初值為0的有界變差函數」構成的空間 $BV_r[a,b]$ 。

注3（淡收斂）： $([a,b],[a,b]cap {cal B} )$ 上的L-S測度 $mu,mu_1,mu_2,...$ 若滿足： $forall fin C_c([a,b])$ ，有 $lim_{n ightarrowinfty}langle mu_n,f angle=langle mu,f angle$ ，則稱 ${mu_n}$ 淡收斂於 $mu$ ，記為 $mu_n xrightarrow{v}mu$ 。

5*. 推廣 II ：局部緊 Hausdorff 空間上的 Radon 測度

更一般的，任何拓撲空間 $(X, au)$ 可誘導一個可測空間 $(X,{cal B}(X))$ ，稱為拓撲可測空間，其中 ${cal B}(X)$ 為拓撲 $au$ 生成的 $sigma-$ 代數。當 $X$ 為完備可分度量空間時，稱 $(X,{cal B}(X))$ 為Polish空間。

我們現在要將L-S測度空間中的微積分基本定理以及 Riesz 表示定理推廣到（局部緊） Hausdorff 空間（例如 ${f R}$ ）中。

注1（正則測度）：若 Hausdorff 空間 $(X,{cal B}(X))$ 上的測度 $mu$ 內正則且外正則，則稱 $mu$ 為其上的正則測度。（例如：Polish 空間 $(E,{cal E})$ 上的有限測度）

注2（Radon 測度）：若 Hausdorff 空間 $(X,{cal B}(X))$ 上正則測度 $mu$ 滿足：對一切非負 $fin C_c(X)$ ，有 $langle mu,f angle<infty$ ，則稱 $mu$ 為 Radon 測度。（特別地，當 $X$ 為局部緊 Hausdorff 空間， $mu$ 為其上正則測度時： $mu$ 為 Radon 測度 $Leftrightarrow$ $mu$ 在緊集上有限）

注3（正則符號測度）：若 Hausdorff空間 $(X,{cal B}(X))$ 上的符號測度 $varphi$ 的全變差 $|varphi|$ 為正則的，則稱 $varphi$ 為正則符號測度。 $(E,{cal E})$ 上的有限測度）

注4（有可數基的局部緊 Hausdorff 空間）設 $(X,{cal B}(X))$ 為具有可數基的局部緊Hausdorff空間，則：（1） $X$ 為 Polish 空間；（2）若 $mu$ 為其上測度，則 $mu$ 為 Radon 測度 $Leftrightarrow$ $mu$ 在緊集上有限；（3） $X$ 上的 Radon測度 $mu$ 為 $sigma-$ 有限測度。

（1）微積分基本定理

給定 Hausdorff 空間 $(X,{cal B}(X))$ ，以及其上的 Radon 測度 $mu$ ，記 ${cal A}_r({cal B}(X),mu)$ 為 ${cal B}(X)$ 上關於 $mu$ 絕對連續的有限正則符號測度構成的空間，則 ${cal A}_r({cal B}(X),mu)$ 與 $L^1(X,{cal B}(X),mu)$ 之間的不定積分或求導映射為保范線性同構！

（2）Riesz 表示定理

給定局部緊 Hausdorff 空間 $(X,{cal B}(X))$ ，則：

$C_c(X)$ 的所有正線性泛函構成的空間： $(X, {cal B}(X))$ 上所有 Radon 測度構成的空間；
$C_0(X)$ 的共軛空間： $(X, {cal B}(X))$ 上所有有限正則符號測度構成的空間。

注1： $C_c(X)$ 表示 $X$ 上所有具有緊支集的連續函數 $f$ 構成的賦范線性空間； $C_0(X)$ 表示 $X$ 上所有滿足「 $forall varepsilon>0$ ， $exists$ 緊集 $K$ ，使得 $forall xin Xackslash K$ ， $|f(x)|<varepsilon$ 」的連續函數 $f$ 構成的Banach 空間。且前者在後者中稠密。（當 $X$ 本身為緊集時， $C(X)=C_0(X)$ ；當 $X$ 有可數基時， $C_0(X)$ 可分）

注2（淡收斂）：局部緊 Hausdorff 空間 $(X, {cal B}(X))$ 上的 Radon 測度 $mu,mu_1,mu_2,...$ 若滿足： $forall fin C_c(X)$ ，有 $lim_{n ightarrowinfty}langle mu_n,f angle=langle mu,f angle$ ，則稱 ${mu_n}$ 淡收斂於 $mu$ ，記為 $mu_n xrightarrow{v}mu$ 。

【三】應用：概率測度空間

1. 可積隨機變數的不定積分

我們考慮概率測度空間 $(Omega ,{cal F},{f{P}})$ （ $Omega$ 為樣本空間； $cal F$ 為一個事件域，其也為一個 $sigma -$ 代數； ${f{P}}$ 滿足 ${f{P}}(Omega)=1$ ，稱為概率測度），它是一個有限（從而 $sigma-$ 有限）的測度空間。

$(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 上的函數 $X$ 若滿足 $f^{-1}({cal B})subset{cal F}$ ，則稱 $X$ 為概率空間 $(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 上的一個隨機變數（可測函數）。

如果一個隨機變數 $X$ 滿足積分有限性，則稱 $X$ 為一個 $L^1$ 可積隨機變數（或有一階矩的隨機變數），它的積分 $int_{Omega}{X mathrm{d}{f{P}}}$ 稱為 $X$ 的數學期望，記作 $EX$ 。

當 $X$ 有一階矩時，它在 $(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 上的不定積分為 $int X mathrm{d}{f P}$ ，其為 $cal F$ 上的集函數。

2. 有限符號測度的導數

由於概率空間 $(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 為有限測度空間，因此這部分內容與一般測度空間中符號測度導數的內容完全一致。

$(Omega ,{cal F})$ 上的 $sigma-$ 有限符號測度 $varphi$ 存在Lebesgue分解： $varphi=varphi_a+varphi_s$ 。 $varphi_all {f P}$ 為絕對連續部分， $varphi_sot {f P}$ 為奇異部分。

對 $varphi_a$ 來說，由Radon-Nikodym定理，存在唯一一個有限隨機變數 $h$ ，使得 $varphi_a(A)=int_{A} h mathrm{d}mu$ 。從而可以 $varphi$ 的Radon導數為 $h$ 。

3*. 條件數學期望

給定概率空間 $(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 和其上某個 $L^1$ 隨機變數 $X$ ， ${cal G}$ 為 $cal F$ 的子 $sigma-$ 代數。

我們考慮「子空間」 $(Omega ,{cal G},{f{P}})$ ，定義 $varphi (A):=int_{A}Xmathrm{d}{f P} =E(X1_A)$ （ $Ain{cal G}$ ），可驗證 $varphi$ 為 $cal G$ 上的有限符號測度，且 $varphi ll{f{P}}$ ，於是 $varphiin{cal A}({cal G},{f{P}})$ 。

由Radon-Nikodym定理， $varphi$ 的Radon導數存在，記 $E(X|{cal G}):=frac{mathrm{d}varphi}{mathrm{d}{f{P}}}$ ，其為 $(Omega ,{cal G},{f{P}})$ 上的 $L^1$ 隨機變數，又稱為 $X$ 關於 $cal G$ 的條件期望。

同時還可驗證： $E(X|{cal G})$ 為 $L^1(Omega,{cal F},{f{P}})$ 中的Markov運算元，甚至是 $L^2(Omega,{cal F},{f{P}})$ 中的正交投影運算元（見附錄二）！

注1：特別地，如果 ${cal G}$ 由原子集 ${B_i}$ 生成，則 $E(X|{cal G})$ 可理解為 $X$ 在 $B_i$ 中平滑化，即：

$E(X|{cal G})=sum_{i}{E(X|B_i)cdot 1_{B_i}}$ ，其中 $E(X|B_i)=frac{E(X1_{B_i})}{{f{P}}(B_i)}$ 。

注2：若給定 $(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 上的另一個隨機變數 $Y$ ，令 ${cal G}=sigma(Y)$ ，則由上述得到的Radon導數記為 ${f{E}}(X|Y)$ ，稱為 $X$ 關於 $Y$ 的條件期望。且由可測函數的單調類定理知，存在Borel可測函數 $g$ ，使得 $E(X|Y)=g(Y)$ ，即 ${f{E}}(X|Y=y)$ 有了定義。

注3（條件概率）：對 $Ain {cal F}$ ，條件概率 ${f{P}}(A|Y)$ 定義為 ${f{E}}(1_A|Y)$ ，其引申出的正則條件概率在「Kolmogorov-相容隨機場上概率測度存在性」的證明中起到關鍵作用（見《預備篇 II ：隨機場的存在性》一文）；且由注2知， ${f{P}}(X|Y=y)$ 也有定義。

【附A】L^p空間

（註：以下討論假設讀者已掌握《泛函分析》的初步知識，即關係：拓撲空間 $supseteq$ 度量空間 $supseteq$ 賦范線性空間 $supseteq$ 內積空間，以及賦范線性空間上的有界線性運算元理論）

1. L^p空間

$L^p$ 空間（ $1leq pleq infty$ ）是分析學中的重要研究對象，更是測度論與泛函分析之間的過渡內容。

在本文的一開始，我們給出了 $L^1(Omega,{cal F},mu)$ 的概念：即測度空間 $(Omega,{cal F},mu)$ 上所有可積函數（又稱 $L^1$ 可積函數）構成的全體。

推廣一下，我們得到 $L^p(Omega,{cal F},mu)$ 的概念：

$L^p:={fin{cal F}:int_{Omega}|f|^pmathrm{d}mu<infty}$ ，（ $1leq p<infty$ ）

$L^{infty}:={fin{cal F}: ext{ess} sup_{Omega}{|f|}=inf_{Min{f{R}}}{M:|f|leq M,a.e.}<infty}$ ，（ $p=infty$ ）

即測度空間 $(Omega,{cal F},mu)$ 上所有 $p$ 次可積（等價於絕對值的 $p$ 次可積）的函數全體構成的空間，簡稱為 $L^p$ 空間。

（註： $p=infty$ 時函數理解為幾乎處處有界，或本性有界。即存在 $M$ ，使得 $|f|leq M$ ，a.e.）

再在 $L^p$ 空間中定義範數：

${Vert f Vert}_{L^p}:=(int_{Omega}|f|^pmathrm{d}{f{P}} )^{frac{1}{p}}$ ，（ $1leq p<infty$ ）

$Vert f Vert_{L^infty}:= ext{ess} sup_{Omega}{|f|}=inf_{Min{f{R}}}{M:|f|leq M,a.e.}$ ，（ $p=infty$ ）

於是可驗證， $L^p$ 空間是一個Banach空間，即完備的賦范線性空間，且 $p<infty$ 時具有可分性。特別的， $L^2$ 空間是一個Hilbert空間，即完備的內積空間（內積 $<f,g>:=int_{Omega}fcdot gmathrm{d}mu$ ），且有可數多個標準正交基。

2. L^p空間的包含關係

當測度空間 $(Omega,{cal F},mu)$ 是一個有限測度空間（即 $mu(Omega)<infty$ ）時，我們有如下包含關係：

$L^q(Omega,{cal F},mu) subseteq L^p(Omega,{cal F},mu)$ （ $1leq p< qleq infty$ ），

且有極限關係： $lim_{p ightarrow infty}{Vert fVert_{L^p}}=Vert f Vert_{L^{infty}}$ 。

3. H?lder不等式與Minkowski不等式

對測度空間 $(Omega,{cal F},mu)$ 上的 $L^p$ 可積函數來說，我們有兩個重要的不等

（1）H?lder不等式

當 $frac{1}{r}=frac{1}{p}+frac{1}{q}$ （ $1<p,q<infty$ ）時：

$Vert fcdot g Vert_{L^r}leqVert f Vert_{L^p}cdot Vert g Vert_{L^q}$

（註：當 $p=q=2$ 時，上述不等式稱為Schwarz不等式）

（2）Minkowski不等式

當 $1leq pleq infty$ 時：

$Vert f+g Vert_{L^p}leq Vert f Vert_{L^p}+Vert g Vert_{L^p}$

【附B】概率論：L^1和L^2中的條件期望運算元

特別的，概率測度空間 $(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 中也有 $L^p(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 空間，簡記為 $L^p$ 。

1. L^1空間中的Markov運算元

我們先考慮 $L^1(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 空間中的Markov運算元：

設 $A$ 為 $L^1(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 上的一個有界線性運算元，即 $Ain {cal L}(L^1,L^1)$ ，且滿足：

（1） $Axgeq 0$ （ $forall xin L^1,xgeq 0$ ）

（2） $int_{Omega}Axmathrm{d}{f{P}}=int_{Omega}xmathrm{d}{f{P}}$ （ $forall xin L^1,xgeq 0$ ）

則稱 $A$ 為 $L^1(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 中的一個Markov運算元。

條件期望運算元是L^1空間中的Markov運算元

在 $L^1(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 中，設 ${cal G}$ 為 $cal F$ 的子 $sigma-$ 代數，記 $ar{L^1}= L^1(Omega ,{cal G},{f{P}})$ ，則 $ar{L^1}$ 為 $L^1$ 的子空間。對任意 $Xin L^1$ ，作映射 $A:X ightarrow E(X|{cal G})$ ，則可驗證： $A$ 為 $L^1$ 的一個Markov運算元，且 $ext{Im} A=ar{L^1}$ 。因此，條件期望可以看成是 $L^1(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 中的一個Markov運算元！

2. L^2空間中的正交投影運算元

在 $L^2$ 空間中，條件期望有更為直觀的數學含義。

由於 $L^2(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 不僅是Banach空間，更是一個Hilbert空間，因此我們考慮 $L^2(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 空間中的正交投影運算元：

設 $P$ 為 $L^2(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 上的一個有界線性運算元，即 $Pin {cal L}(L^2,L^2)$ ，且滿足：

（1） $P^2=P$

（2） $(Px,y)=(x,Py)$

則稱 $P$ 為 $L^2(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 中的一個正交投影運算元， $ext{Im} P$ 為正交投影空間，是 $L^2(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 的閉子空間。

條件期望運算元是L^2空間中的正交投影運算元

在 $L^2(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 中，設 ${cal G}$ 為 $cal F$ 的子 $sigma-$ 代數，記 $ar{L^2}= L^2 (Omega ,{cal G},{f{P}})$ ，則 $ar{L^2}$ 為 $L^2$ 的閉子空間。對任意 $Xin L^2$ ，作映射 $P:X ightarrow E(X|{cal G})$ ，則可驗證： $P$ 為 $L^2$ 的一個正交投影運算元，且 $ar{L^2}$ 恰為正交投影空間，即 $ext{Im}P=ar{L^2}$ 。因此，條件期望可以看成是 $L^2(Omega ,{cal F},{f{P}})$ 中的一個正交投影運算元！