星界德天胡概率詳解——爐石與概率的碰撞（2）（未完待續篇）

01-25

童鞋們，大家好啦！沒有想到，昨天我進行的寂寞計算受到了一些群眾的圍觀，我這個知乎小白受寵若驚，感謝各位大爺的賞臉。撒花~~~~~

傳送門：14隻蝙蝠對射——爐石與概率的碰撞

有群眾說，你這個計算對於爐石沒有任何幫助，不就是大亂斗14隻小蝙蝠嗎？對我打爐石有幫助嗎？恩，真的沒有。高考題會出嗎？恩，不會。還有，那個啥，說這句話的群眾是我。本人飄過~~~~~~

所以，今天就要上乾貨了。昨天的題目只不過是小打小鬧，而今天的題目可是要真正看出水平了。歡迎大神們指出錯誤，我也很有可能犯錯，我也盡量保證自己頭腦清醒。PS：這個題真的太複雜了，真的是給自己挖坑跳。

題目來自昨天評論的群眾@雷響：星界德第一回合星界溝通的概率？

（圖片來自網路，侵刪）

厲害了我的哥，數學真是驚人的簡潔，就這麼十幾個字的問題我就要用以下的長（hu）篇（yan）大（luan）論（yu）進行全方面的分析。好了，乾貨開始。

做這個題呢？我們需要對爐石先手後手的起手抓牌、留牌、換牌、抽牌有一定的了解，同時為了更加清晰明了，我把這個題擴充一下。

問題：在使用爐石傳說星界德卡組時，第一回合便可將星界溝通這張卡牌打出的概率是多少？並分先手和後手求解。（先手：起手抓3張牌，可以更換，回合開始時抽一張牌；後手：起手抓4張牌和一張硬幣，除硬幣外可以更換，回合開始時抽一張牌）

下面，為了答案準確，我進行一些必要的前提說明。

前提1：現有流行星界德卡組中擁有2張激活、2張星界溝通、2張烏鴉神像以及其餘24張卡牌。以下敘述中，除過這6張卡，其餘卡牌均敘述為非Key牌。（加入烏鴉神像會使答案更加難以計算，但烏鴉神像這張卡牌明顯會影響天胡概率，準確來說是提高天胡概率，我抓不到必要的激活和星界溝通，我還可以用烏鴉神像去找呀。同時，據可靠消息稱，星界溝通和烏鴉神像將會相繼或者同時退環境，所以目前的星界德應該和烏鴉神像綁定。為了准（zuo）確（si）起見，在以下的計算中，考慮烏鴉神像的作用。同時，也考慮再來一瓶的概率，即烏鴉神像找到烏鴉神像。真的是作死。但刨根問底，追求真理本源難道不是數學的魅力所在？還不點贊？）

前提2：在現有標準模式中（卡拉贊之夜副本截止），烏鴉神像一共可以找到17張法術牌，能找到烏鴉神像、激活、星界溝通的概率相同，均為 $P=frac{1 imes C_{16}^{2} }{C_{17}^{3} } =frac{3}{17}$ ，那麼找不到目標法術的概率為 $P=frac{14}{17}$ 。

前提3：不考慮其他卡牌的影響。例如，王子會強行擴充牌庫，我們這裡規定，牌庫就是30張卡牌。

前提4：天胡即第一回合就打出。（星界德有的只能稱作胡了，例如二費打出星界溝通，而我們這裡先討論天胡概率，大家打麻將有過天胡嗎？起手就聽牌，第一次抓牌直接自摸，這才是真正的天胡！）

前提5：所有的操作即留牌和換牌行為是為了追求最大概率的打出星界溝通。這個最大概率才是我們所追求的終極答案。

前提6：換牌時，換的牌不會立即被再換上來，但第一抽可以抽到。（爐石基礎知識）

由於先手和後手的情況不同，這裡必須分情況討論，同時，因為先手起手有3張牌，後手起手有4張牌（不算硬幣），所以後手計算的複雜程度遠高於先手。

前提7：要求求解在所有正確的換牌處理下，天胡的精確概率。（註：作死行為）

先手：起手抓3張牌，可以更換，且第一回合抓一張牌。

在計算先手時，我們先來討論幾個無法避免的問題。

問題1：起手抓到烏鴉神像到底留不留？（核心問題之一）

解析：先手起手只有3張卡，如果抓到烏鴉神像，意味著目前還沒有胡，所以會關係到留牌換牌的情況，而留不留取決於打出星界溝通的概率。所以，在考慮起手有烏鴉神像的所有情況下，求出換烏鴉神像和不換烏鴉神像打出星界溝通的概率進行比較，概率高的一方則是此時正確的換牌處理，而這個概率也是我們所求的概率。另外不要忘記考慮的是，除過換牌，你還有第一回合的抓牌機會。

所以我們對所有起手抓到烏鴉神像的情況進行分情況討論。如下：

情況1：起手抓到兩張烏鴉神像和一張非K牌。

（起手抓到這樣的牌概率為 $P=frac{C_{24}^{1} imes C_{2}^{2} }{C_{30}^{3} }$ ）

這種情況下，換牌有三種策略：

策略1：換掉非key牌和一張烏鴉神像；

這時候所有的天胡類型為以下幾種：（這裡注意一下邏輯，是先抽牌，再用烏鴉神像找牌）

1.換到兩張激活，第一抽星界溝通，直接天胡；

2.換到兩張激活，第一抽非星界溝通和烏鴉神像（下8補充這裡抽到烏鴉神像的概率），未更換的烏鴉神像找星界溝通；

3.換到一張激活一張星界溝通，第一抽激活，直接天胡；

4.換到一張激活一張星界溝通，第一抽非激活，烏鴉神像找激活；

5.換到一張激活和一張非key卡，第一抽激活，烏鴉神像找星界溝通；

6.換到一張激活和一張非key卡，第一抽星界溝通，烏鴉神像找激活；

7.換到一張星界溝通和一張非key卡，第一抽激活，烏鴉神像找激活；

這7種情況天胡概率分別為為：（註解：這裡是條件概率，不是真正的天胡概率，這裡求出的概率精確描述應為在情況1發生的情況下，我們採取策略1的換牌模式而分情況天胡的概率）

$P_{1} =frac{C_{2}^{2} }{C_{27}^{2} } imes frac{C_{2}^{1} }{C_{27}^{1} } =frac{2}{9477}$

$P_{2} =frac{C_{2}^{2} }{C_{27}^{2} } imes frac{C_{24}^{1} }{C_{27}^{1} } imes frac{3}{17} =frac{8}{1053}$

$P_{3} =frac{C_{2}^{1} imes C_{2}^{1} }{C_{27}^{2} } imes frac{C_{1}^{1} }{C_{27}^{1} } =frac{4}{9477}$

$P_{4} =frac{C_{2}^{1} imes C_{2}^{1} }{C_{27}^{2} } imes frac{C_{26}^{1} }{C_{27}^{1} } imes frac{3}{17}=frac{8}{4131}$

$P_{5} =frac{C_{2}^{1} imes C_{24}^{1} }{C_{27}^{2} } imes frac{C_{1}^{1} }{C_{27}^{1} } imes frac{3}{17} =frac{16}{17901}$

$P_{6} =frac{C_{2}^{1} imes C_{24}^{1} }{C_{27}^{2} } imes frac{C_{2}^{1} }{C_{27}^{1} } imes frac{3}{17}=frac{32}{17901}$

$P_{7} =frac{C_{2}^{1} imes C_{24}^{1} }{C_{27}^{2} } imes frac{C_{2}^{1} }{C_{27}^{1} } imes frac{3}{17}=frac{32}{17901}$

8.（註解：可以與上2比較，不矛盾，不相容）換到兩張激活，第一抽非星界溝通但是這張卡是剛剛換下去的那張烏鴉神像，而第一張烏鴉神像找星界溝通失敗，但是找到了激活或者烏鴉神像，又或者同時找到了激活和烏鴉神像。這裡需要抉擇。（一臉懵逼）。雖然概率很小，但是，我總不能無視吧。情況（1）只找到了激活：那麼毫不猶豫，拿激活，現在手中是3張激活，1張烏鴉神像，費用0費，則等於可以用最後一張烏鴉神像去找星界溝通，如果沒有找到，又有可能找到烏鴉神像，再來一瓶，找星界溝通，同時，這也是最後一次機會。情況（2）只找到了烏鴉神像：那麼肯定拿烏鴉神像，手牌目前是0費，兩張激活，兩張烏鴉神像，那麼這裡沒有選擇了，兩張烏鴉神像必須同時拿到激活（補充費用）和星界溝通。情況（3）同時找到了激活和烏鴉神像，應該怎麼選呢？繼續思考，{1}如果我們拿了激活，現在手中是3張激活，1張烏鴉神像，費用0費，則等於可以用最後一張烏鴉神像去找星界溝通，如果沒有找到，又有可能找到烏鴉神像，再來一瓶，找星界溝通，同時，這也是最後一次機會。這時，還能天胡的條件概率為： $P=frac{3}{17} +frac{14}{17} imes frac{3}{17} =frac{93}{289}$ 。{2}如果我們拿了烏鴉神像，那麼，手牌目前是0費，兩張激活，兩張烏鴉神像，那麼這裡沒有選擇了，兩張烏鴉神像必須同時拿到激活（補充費用）和星界溝通。這時，還能天胡的條件概率為： $P=C_{2}^{1} imes frac{3}{17} imes frac{3}{17} =frac{18}{289}$ 。所以，情況（3）下應該優先選激活，以下計算概率。由於比較發雜，情況8分為（1）（2）（3），對應以下的 $P_{8} P_{9} P_{10}$

$P_{8} =frac{C_{2}^{2} }{C_{27}^{2} } imes frac{C_{1}^{1} }{C_{25}^{1} } imes frac{3}{15} imes left( frac{3}{17} +frac{14}{17} imes frac{3}{17} ight) =frac{31}{4226625}$

$P_{9} =frac{C_{2}^{2} }{C_{27}^{2} } imes frac{C_{1}^{1} }{C_{25}^{1} } imes frac{3}{15} imes left( C_{1}^{2} imes frac{3}{17} imes frac{3}{17} ight) =frac{2}{1408875}$

$P_{10} =frac{C_{2}^{2} }{C_{27}^{2} } imes frac{C_{1}^{1} }{C_{25}^{1} } imes frac{C_{14}^{1} }{C_{16}^{3} } imes left( frac{3}{17} +frac{14}{17} imes frac{3}{17} ight) =frac{31}{33813000}$

則策略1的條件概率之和為

$P=P_{1} +P_{2}+ P_{3}+ P_{4}+ P_{5}+ P_{6}+ P_{7} +P_{8}+ P_{9} +P_{10} =frac{4456943}{304317000}$

策略2：換掉所有卡牌；

在這種策略下，可能天胡的情況有

（1）直接換到兩張激活和一張星界溝通；

（2）換到一張激活和一張星界溝通，抽到一張激活；

（3）換到兩張激活，抽到一張星界溝通；

（4）換到一張激活和一張星界溝通，抽到一張烏鴉神像並找到激活；

（5）換到兩張激活，抽到一張烏鴉神像並找到星界溝通。

思考：為什麼不能這種策略下沒有出現烏鴉神像找烏鴉神像呢？因為我們把所有牌都換掉，則意味著抽牌之後我們的手裡最多只會有一張烏鴉神像，而只有一張烏鴉神像的話一旦沒有找到目標法術即不能天胡。

上述五種情況的條件概率如下：

$P_{1} =frac{C_{2}^{2} imes C_{1}^{2} }{C_{27}^{3} } =frac{6}{8775}$

$P_{2} =frac{C_{2}^{1} imes C_{2}^{1} imes C_{24}^{1} }{C_{27}^{3} } imes frac{1}{27} =frac{32}{26325}$

$P_{3} =frac{C_{2}^{2} imes C_{23}^{1} }{C_{27}^{3} } imes frac{2}{27} =frac{92}{78975}$

$P_{4} =frac{C_{2}^{1} C_{2}^{1} C_{23}^{1} }{C_{27}^{3} } imes frac{2}{27} imes frac{3}{17} =frac{184}{447525}$

$P_{5} =frac{C_{2}^{2} imes C_{23}^{1} }{C_{27}^{3} } imes frac{2}{27} imes frac{3}{17} =frac{46}{447525}$

在此策略下，天胡的條件概率為

$P=P_{1} +P_{2} +P_{3}+ P_{4} +P_{5} =frac{4804}{1342575}$

策略3：只換掉一張非key牌。

這時候，手中必有2張烏鴉神像，所以，要想天胡，必須抓到一張key牌，同時抽到一張key牌，明顯可以感受到，策略3劣於策略1和策略2，但在這裡，我還是計算一下概率。

天胡的情況有：

（1）抓到一張激活，抽到一張激活，兩張烏鴉神像找星界溝通。

（2）抓到一張激活，抽到一張星界溝通，兩張烏鴉神像找到激活。

（3）抓到一張星界溝通，抽到一張激活，兩張烏鴉神像找到激活。

這裡的情況也很難判斷，例如，（1）中烏鴉神像沒有找到星界溝通，但是找到了激活或者烏鴉神像，情況與策略1中的（8）類似。由於計算非常複雜，在這裡再次停下腳步慢慢計算。即先求兩張烏鴉神像可以找到兩種目標法術的概率。同時也要考慮費用問題。（在上面策略1中（8）已經證明，找到的法術中激活的優先順序高於烏鴉神像）

兩張烏鴉神像找星界溝通：

{1}第一張直接找到星界溝通

$P=frac{3}{17}$

{2}第一張沒有找到星界溝通，但是找到了激活，第二張找到星界溝通

$P= frac{3}{16} imes frac{3}{17} =frac{9}{272}$

{3}第一張沒有找到星界溝通，但是找到了激活，第二張沒有找到星界溝通，但是找到了烏鴉神像，這張找到的烏鴉神像找到了星界溝通

$P=frac{3}{16} imes frac{3}{16} imes frac{3}{17} =frac{27}{4352}$

{4}第一張沒有找到星界溝通和激活，但是找到了烏鴉神像，在費用上考慮得到，兩張烏鴉神像必須同時找到星界溝通和激活

$P=frac{3}{15} imes frac{3}{17} imes frac{3}{17} =frac{9}{1445}$

找到星界溝通的概率上述{1}{2}{3}{4}概率之和

$P=frac{82119}{369920}$

兩張烏鴉神像找激活

{1}第一張直接找到激活

$P=frac{3}{17}$

{2}第一張沒有找到激活，找到了烏鴉神像，剩下必須找到兩張激活。

$P=frac{3}{16} imesfrac{3}{17} imes frac{3}{17} =frac{27}{4624}$

找到激活的概率上述{1}{2}之和

$P=frac{843}{4624}$

現在開始計算條件概率

$P_{1} =frac{C_{2}^{1} }{C_{27}^{1} } imes frac{1}{27} imes frac{82119}{369920} =frac{82119}{134835840}$

$P_{2} =frac{C_{2}^{1} }{C_{27}^{1} } imes frac{2}{27} imes frac{843}{4624} =frac{843}{842724}$

容易判斷，（2）（3）概率是相同的

$P_{3} =frac{C_{2}^{1} }{C_{27}^{1} } imes frac{2}{27} imes frac{843}{4624} =frac{843}{842724}$

該策略下總概率為：

$P=frac{351879}{134835840}$

綜上3個策略，比較條件概率得，策略1為最佳策略。在這裡得到一個啟示，手中有兩張烏鴉神像時候，果斷換掉一張，一張烏鴉神像為最大價值！下面的一些計算我將會用到這個結論。

而我們思考一個問題，為什麼結論告訴我們起手一張烏鴉神像的價值高呢？其實這也是我提前預料到的，而後面的就算證實了我的猜想，我嘗試從邏輯的角度解釋一下：我們找牌換牌計算概率，這個概率是要結合費用來考慮的，我們來思考一下，先手怎麼才能胡呢？不過是兩張激活和一張星界溝通，當我們先手打出兩張激活的時候是5費，而星界溝通是4費，這多出來的一費便是烏鴉神像發揮的空間，一旦當我們沒有抓到星界溝通或者激活，這張烏鴉神像換掉時能找到key牌的概率最高為 $frac{4}{27}$ ，而烏鴉神像這張牌能找到key牌的概率為 $frac{3}{17}$ ，明顯高於換牌。但是為什麼兩張烏鴉神像價值很低呢？因為被費用限制了，費用只多出1費，如果這張沒有找到key牌還想天胡，就需要比較高的難度了，即沒有找到key牌但是找到了續命牌（激活或者烏鴉神像）來提供再來一瓶的概率，這裡明白了嗎？所以，先手時，一張烏鴉神像的價值遠大於把它換掉的價值，而兩張烏鴉神像的話，第二張的價值就比較低了，應該換掉去找key牌。

情況1更新完了，我們繼續接下來的思路。

情況2：起手抓到兩張烏鴉神像和一張激活。

（起手抓到這樣的牌的概率是： $P=frac{C_{2}^{2} imes C_{2}^{1} }{C_{30}^{3} }$ )

（在這裡我有些猶豫，因為為什麼這類情況不選擇兩張烏鴉神像和一張key牌，因為激活需要兩張，星界溝通只需要一張，它們兩者的價值是不同的，所以為了計算準確起見，我分開計算，把準確性當做所有計算的原則。）

根據情況1的結論，這裡的最優策略明顯是換掉一張烏鴉神像，這時，天胡的情況有以下：

（1）換到一張激活，抓到星界溝通

（2）換到一張星界溝通，抓到激活

（3）換到一張激活，抓到非星界溝通非烏鴉神像，烏鴉神像找到星界溝通

（4）換到一張星界溝通，抓到非激活非烏鴉神像，烏鴉神像找到激活

（5）換到一張激活，抓到烏鴉神像，通過兩張烏鴉神像找到星界溝通

（6）換到一張星界溝通，抓到烏鴉神像，通過兩張烏鴉神像找到激活

（註：兩張烏鴉神像找到星界溝通和兩張烏鴉神像找到激活的概率在情況1策略3中已經得出，這裡可以直接使用結論）

條件概率分別求解如下：

$P_{1} =frac{1}{27} imes frac{2}{27} =frac{2}{729}$

$P_{2} =frac{2}{27} imes frac{1}{27}= frac{2}{729}$

$P_{3} =frac{1}{27} imes frac{24}{27} imes frac{3}{17} =frac{8}{1377}$

$P_{4} =frac{2}{27} imes frac{24}{27} imes frac{3}{17} =frac{16}{1377}$

$P_{5} =frac{1}{27} imes frac{1}{27} imes frac{843}{4624} =frac{281}{1123632}$

$P_{6} =frac{2}{27} imes frac{1}{27} imes frac{82119}{369920} =frac{281}{561816}$

天胡條件概率總和為： $P=P_{1}+ P_{2} +P_{3} +P_{4}+ P_{5}+ P_{6} =frac{79777}{3370896}$

情況3：起手抓到兩張烏鴉神像和一張星界溝通

（起手抓到這樣的牌概率為： $P=frac{C_{2}^{2} imes C_{2}^{1} }{C_{30}^{3} }$ ）

最優策略明顯為換掉一張烏鴉神像，天胡的情況有以下：

（1）換到一張激活，抓一張激活

（2）換到一張激活，抓到一張非激活非烏鴉神像，烏鴉神像找激活

（3）換到一張激活，抓到烏鴉神像，兩張烏鴉神像找激活

（4）換到一張非激活，抓到一張激活，烏鴉神像找激活

（註：因為起手有兩張烏鴉神像，所以不可能換到烏鴉神像）

$P_{1} =frac{2}{27} imes frac{1}{27} =frac{2}{729}$

$P_{2} =frac{2}{27} imes frac{25}{27} imes frac{3}{17} =frac{50}{4131}$

$P_{3} =frac{2}{27} imes frac{1}{27} imes frac{843}{4624} =frac{843}{1685448}$

$P_{4} =frac{25}{27} imes frac{2}{27} imes frac{3}{17} =frac{50}{4131}$

在此最優策略下，天胡的條件概率為

$P=P_{1} + P_{2}+ P_{3}+ P_{4} =frac{46267}{1685448}$

討論完起手抓到兩張烏鴉神像的情況，接下來討論起手只抓到一張烏鴉神像的情況。而另外兩張卡可以有很多分類。經思考後，另外兩張卡有以下幾種構成。（為對應各種情況，這裡的編碼從4開始）4.兩張非key卡；5.一張激活和一張非key卡；6.一張星界溝通和一張非星界溝通非激活卡非烏鴉神像卡；7.兩張激活；8.兩張星界溝通。而這裡的最優策略很容易判斷，即非key卡以及第二張星界溝通全換，其餘全留。

情況4：抓到一張烏鴉神像和兩張非key卡

（起手抓到這樣的牌的概率為： $P=frac{C_{2}^{1} imes C_{24}^{2} }{C_{30}^{3} }$ ）

情況5：抓到一張烏鴉神像，一張激活和一張非key卡

情況6：抓到一張烏鴉神像，一張星界溝通和非key卡

情況7：抓到一張烏鴉神像和兩張激活

情況8：抓到一張烏鴉神像和兩張星界溝通

（更新於10月20日17點！未完待續！歡迎圍觀！）

完成度20%，我氣度翩翩地承諾，這一題我一定更完。

現在的先手的思路是，以烏鴉神像為突破口，求解起手有無烏鴉神像的各種換牌策略，同時求解最優策略下的天胡概率。（現在正在進行的內容是在考慮有烏鴉神像的情況，而沒有烏鴉神像的情況換牌策略比較容易，即非key牌全換，星界溝通抽到兩個也換一個，難度就在於起手有烏鴉神像的策略，以及抓到烏鴉神像後找牌的各種概率。）

另外，歡迎群眾們的前排圍觀，有什麼建議提給我我也會虛心接受，也歡迎廣大群眾共同參與，共舉爐石輝煌！~~~