普通物理學中的一個方程

01-25

「在普通物理學中，某些問題看起來毫不相干，但是，它們都可以用同一個微分方程來描述。」——沃·茲基朔德。

看完文章的標題和上面那句話，有沒有感覺這篇文章水水噠？~~~~恩，你的感覺是對的。

是的，就是這個方程： $frac{d^{2}x }{dt^{2} } +C_{1} frac{dx}{dt}+C_{2} x=f(t)$

1，受迫振動：

很顯然，上面這個方程可以描述受迫振動，只要把 $x=x(t)$ 解釋為位移時間函數就OK了。

2，線性單擺：

單擺的固有頻率實際上是依賴擺角的，我們對固有頻率 $alpha =alpha ( heta )$ 做冪級數展開，取常數項，就可以得到所謂的線性單擺，而對這個線性單擺的分析和上面的受迫振動是一樣一樣的。只不過方程的非齊次項的物理意義發生了改變，從「所受外力」變成了「上懸點運動情況」而已，so easy~o(╯□╰)o。

當然這兩部分就不細寫了，因為要打的公式太多了，有興趣的話就戳這裡吧(??ˇ?ˇ??)

單擺問題の近似解 - 自娛自樂の學習總結 - 知乎專欄

3，RLC電路：

其實第一次還是從「費恩曼物理學講義」第一卷中看到這部分內容的，當時的感覺是，哎呀，真的真的真的好好玩呀(^o^)/~。可現在再去看這些東西卻再也找不回那種感覺了，就好像小時候拿到一個瓶蓋都能開心地玩好久，現在拿到一個瓶蓋。。。。。。。。。

由基爾霍夫定律可得： $U_{L}+ U_{C}+ U_{R} =varepsilon (t)$ ，化簡一下，就可以得到方程：

$Lfrac{d^{2}q }{dt^{2} } +Rfrac{dq}{dt} +frac{q}{C} =varepsilon (t)$ ，是的，就是它。

4，線框進磁場：

看圖，這是一道中學的題目，現在不考慮磁場寬度L，且僅僅考慮線框進入磁場時的情況。容易發現：

線框動 $ightarrow$ 電子受洛倫茲力向下 $ightarrow$ 產生電流 $ightarrow$ 線框受安培力向左 $ightarrow$ 線框減速 $ightarrow$ 再影響電子

這個問題中有兩個對象，一個是線框，一個是線框中的電子。對它們分別做受力分析，可以得到一個線性耦合方程組：

$frac{d^{2} x}{dt^{2} } =C_{1} frac{dy}{dt}$ ， $frac{d^{2}y }{dt^{2} } =C_{2} frac{dx}{dt}$ ，其中 $x$ 和 $y$ 分別為線框橫向位移和電子縱向位移。

容易發現，電子和線框的運動都滿足同一個形式的微分方程。

5，放在水中的長方體：

假設放在水中的長方體不會沉下去且受到線性阻力，那麼，受力分析可得：

$frac{d^{2}x }{dt^{2} } +gamma frac{dx}{dt} +frac{ ho g}{(a+b) ho _{0} }x =f(t)$ ，其中 $a$ 和 $b$ 分別為長方體靜止時留在水面上的高度和水面下的高度， $ho$ 和 $ho _{0}$ 分別為液體密度和物體密度。

6，其他：

當然這類問題還有很多，比如「小角度扭動的桿」，「最優價格問題」等等等等……

這裡就不一一列舉了。

唉……美好的假期又結束了，:-(