政客與選舉：民主選舉里的種種trick

一直打算寫一篇選舉理論的科普，苦於沒有很好的切入點，最近學習概率哲學，收集到幾個直觀有趣的例子。「基於概率以及利益期望的多人合作決策」和「選舉」有諸多共同點，所以這裡放在一起說一下。

目錄：

賽馬問題，欽定問題，投票的賄賂問題，信息的負價值，改良三門問題，序列生成。

1. 欽定問題

考慮這樣一個簡化的民意情況，假設這個民意是真實準確的。數字代表該候選人在該投票者心目中的排名。

如果我們只看民意，每個候選者都被排過一次第一，一次第二，一次第三，似乎民意沒有偏向。但是中央已經欽定了trump，該當如何？

還是讓人民當家做主吧。

中央決定，兩輪投票，trump和sanders兩個人先競票，勝者再和Clinton競選。

這樣會發生什麼呢？中央為什麼要讓trump和sanders先選呢？猛一看，小剛把sanders排第一，trump第二，小智把sanders排第二，trump第三，這兩個人應該都會投sanders，然後trump就被提前淘汰了。

但是假如兩個人真的讓sanders晉級，面對clinton，那麼根據民意，clinton會勝過sanders，最終勝利的是反而是clinton。小剛並不是傻子，他最討厭clinton，在第一輪讓sanders贏只會讓clinton贏在最後大選，而他其實寧願trump當選。於是，雖然小剛喜歡sanders超過trump，在第一輪小剛仍然會給trump投票，這樣當trump進入第二輪，就會順應民意，擊敗clinton，走上人生巔峰。

https://en.wikipedia.org/wiki/Gibbard%E2%80%93Satterthwaite_theorem

2. 賽馬問題

在上一個問題中，小剛在第一次投票中並不誠實，其投票沒有反映其真實的想法，小剛為了最終的結果，進行了所謂的「策略性投票」。賽馬問題並不涉及策略性投票，但是也有類似的結果。

考慮三匹馬：小明，小智，和小剛。他們要進行百米賽跑。

作為賽事的主辦方，根據充足的數據，我們對三匹馬有如下評估：

小剛有49%的概率1秒跑完，51%的概率6秒跑完。

小智有100%的概率5秒跑完。

小明有10%的概率7秒跑完，90%的概率3秒跑完。

（你可能需要反覆閱讀這部分來確信下面的計算都是正確的）

假如小明，小智，和小剛同時賽跑，我們可以計算：

小剛第一的概率是49%。

小智第一的概率是51%*10%=5.1%

小明第一的概率是100%-5.1%-49%=45.9%

看起來小剛最有可能勝利，而小智最不可能勝利。

於是在賭徒們下注誰會第一之後，作為莊家，我們毅然決然的把注下給了小智，然後公布了這樣這樣的賽制：

我們將會舉行兩場比賽，小剛和小明先比，勝者在經過充足休息後和小智再比。最終勝者即為第一名。

通過兩兩相比來排序，看起來好像沒什麼問題，但是我們來算一下：

小剛和小明比賽，小剛的勝率是49%+51%*10%=54.1%

看來小剛更可能獲勝，那麼小剛更可能會進入第二輪，和小智決賽。

那麼，小剛和小智比賽的勝率如何呢？是49%。

嗯，好像小智更容易獲勝呢？一個三人比賽獲勝概率只有5%的小智，就這樣因為賽制的安排，變成了最可能獲勝的人。

如果讀者有興趣，可以自己計算下：在這個評估狀況下，賽制安排誰到第二輪，誰就最可能贏。因為這三人的兩兩勝率是循環的。這從另一個角度說明，對於一個數學結構兩兩比較的結果和整體的排序也許不是必然相關的，而我所知的大部分計算機的排序演算法都是建立在兩兩比較之上的。

3. Borda count中的賄賂策略

通過賽馬問題，我們可以看出「兩兩比較」的奇怪特性，欽定trump，也是利用了「兩兩比較」的投票策略。

如果可以的話，似乎大家一起比較才是最公平的。

那麼，為了民主，為了公平和正義，讓人民一起投票吧。這次我們使用borda count，把每個候選人的被排的名次都加起來得到一個分數，然後分數最低的候選人勝利。

在使用讀心術進行了民意調查後，我們得到了如下準確無誤的民意：

看起來Clinton領先呢，但是中央已經欽定了Trump，該當如何？

Trump找到了Sanders：「如果你退選，我當選之後，你就是我的副總統」

Sanders：「我要需要更多時間和家人呆在一起」

嗯，Trump明明落後，為什麼可以這樣大膽的保證Sanders呢？Sanders又為什麼會聽話呢?來看一下Sanders退選後的民意情況：

嗯，Sanders退選後，每個在Sanders排名之後的候選人都在那個投票者身上減少一分。於是Trump順應民意，走上了人生巔峰吧。

4. 信息的負價值

5. 序列生成問題

6. 改良三門問題

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