1.拓撲的引入

本文的目的是對拓撲學基本想法的一些解釋，幫助理解教材中關於拓撲的定義，很多地方可能講的比較粗略，而關於拓撲學的更多細節和例子可以在很多教材裡面找到。知乎上也有寫過的關於拓撲的文章，也可以看看作為參考。Zero談數學——聊聊拓撲（1）Zero談數學——聊聊拓撲（2）Zero談數學——聊聊拓撲（3）

分析學嚴密化一個重要的想法就是如何嚴格定義極限。然而在現代的角度來看，極限的引入便是基於拓撲的考慮。所以要對極限理解透徹的確應該先了解拓撲的基本概念，本文涉及一點集合論的內容(關於集合論也許以後會專門寫文章介紹一些基礎知識的)。

拓撲這個詞是音譯過來的，事實上topology這個單詞和地形學(topography)有點像，其實也是有聯繫的，拓撲其實刻畫了一種局部的「鄰近結構」。拓撲是對於一個集合的一個結構。就好像群、環一樣在集合之間有著某種運算結構，拓撲也是給定了集合一種幾何結構。在引入拓撲的定義之前，我們先來看一個初略的例子來感受一下。

由集合論的知識可以知道，基數相同的集合元素之間是可以一一對應的，也就是說，一個圓和一個線段上的點，在集合的角度來看是一樣的。我們感覺到它們的不同在於幾何結構，而拓撲學研究的幾何結構更一般。現在我們要把這個圓和線段想成是軟繩子，也就是說具體的形狀是可以隨便變的，但是前者一直是封閉的。這樣來看這二者的差異便在於有沒有將兩端粘起來。

為了方便起見，我們還是就考慮通過弧度到一個圓的映射。這個映射帶來的結果就是把0和兩個點給粘起來了。但是為了能更看出這個變化造成了什麼差異，我們還要通過另外一個東西來描述圓和直線，那就是區域(domain)，在這裡一個點區域就可以當成在是這個點附近的點的連通集合(這個說法在此還很初略)，當然一個點的區域也不是唯一的。可以看到，在線段端點處，區域只是一個半區間的樣子(也就是說它左邊或者右邊沒有其他點了)，但是在圓上，並沒有這樣的點(圓上任何一個點的兩旁都有點)。一個空間有著怎麼樣的區域，就給出了這個空間的一個「鄰近關係」，就好像規定了哪些點在哪些點的旁邊，任何一個點旁邊應該是哪些點。

可以看到，這些點之間的"鄰近關係"，在某種意義上就確定了這個空間的一個結構。反過來，給定了區域的是什麼樣的，便是決定了這個空間的「鄰近關係」，甚至我們還可以人為規定區域都是哪些集合而構造出一些直接想像不出來的空間。

我們來看看，怎麼通過定義區域來似使得一條線和圓等價，我們現在考慮(因為0和映到同一個點)，我們只用考慮在0處的區域應該是什麼。當到圓上後，它左邊的點原像是出現在直線的右端的，這就迫使我們要定義這部分也在0的附近，這就是和我們原來直線上定義的"鄰近關係"是不一樣的，但是是和圓上的「鄰近關係」相符合的。也就是說，對於同一個集合，當我們配上不同的「鄰近關係」形成的空間是不一樣的。

為了讓這些集合在集合運算下封閉，我們要考慮需要把若干區域的並得到的集合納入考慮(兩個區域的交自然是區域)。於是我們得到一堆空間的子集，我們稱這些集合為鄰域(neighborhood)。比如說在實直線上，區域是某個區間，而鄰域則是若干區間的並。就如上所說，給定了鄰域，也便是給定了空間的「鄰近關係」。但是並不是我們隨便選一些集合就可以作為鄰域了，鄰域需要滿足某些條件；換而言之任何一些滿足條件的集合就組成了「鄰近關係」。

我們現在給出鄰域的定義，或者說應該滿足的性質。這個定義最早由豪斯多夫(Hausdorff)給出

對於給定集合，對於，我們說的一個類子集為的鄰域，如果它滿足：

1. 在它的鄰域中；

2. 兩個的鄰域相交還是的鄰域；

3. 若的一個子集包含了一個的鄰域，那麼它也是的鄰域；
4. 的鄰域的內部也是的鄰域

關於最後一條再說兩句，一個集合的內部，這個定義很繞，為以為鄰域的點的集合。這裡出現了循環定義，這樣定義是不是沒問題的還不是很容易說明白。單直觀上來講這個這條也是有道理的，在實直線上，一個區間的內部就是去掉端點後的開區間(一個區間並不為它端點的區域)。

這個定義是很符合直觀的，但缺點是定義很複雜，而且不好用。我們便需要一種更簡潔的定義。思考上面的例子，其實區域或者鄰域有沒有端點或者邊界點是無所謂的，也就是說我們對於任何鄰域我們都可以只考慮它相應的內部的情況。換句話說我們就可以只考慮那些沒有邊界點的鄰域，等價的便是內部等於其本身的鄰域。這便引出了開集(open set)這個重要的概念。我們會發現開集的性質會簡單很多，相應的我們只用開集去定義「鄰近關係」也會簡單很多，並且是等價的。這之後，我們說鄰域都假定它是開的，也就是說以後說的鄰域就是指某個包含的開集。

考察實直線上的開集，我們可以歸納出一下開集需要有如下性質(可以證明是與上面定義相容的):

1. 都是開集；
2. 開集的有限交，任意並還是開集

關於定義的第二點，任意多開集並還是開集很好說，為什麼只要求是有限交呢。先可以看在實直線上的例子，考慮0的一些鄰域(現在的鄰域都是開集了哦)，這無窮多個開集的交為成了閉集。更一般的考慮，假設我考慮一個點所有鄰域之交，如果結果是一個開集，也就是還是一個鄰域，都是如果還存在比這個鄰域要小的鄰域的話，就得到了矛盾。我們考慮的很多拓撲裡面都是有這樣的情況的，所以有限交的要求是必要的。

所以我們只要給出了一些滿足條件的開集，相應的也給出了「鄰近關係」，於是我們把所有開集組成的集合叫做拓撲，注意拓撲是一個由的子集組成的集合。而一個集合配備上拓撲就叫做拓撲空間。所以應該注意到一個拓撲空間不過是一個集合配上了一個結構(又拓撲定義的「鄰近關係」)

幾何的主要工作便是在研究特定變換下的不變性，拓撲學作為一種基本幾何自然如此。由開集的確定自然就決定了空間的某些性質，這些性質便是拓撲性質。注意到拓撲的性質只是由空間的點集以及開集之間關係決定，也就是說抽象的來看除此以外的結構再怎麼樣都不影響拓撲性質。譬如說一個線段，它是直的還是彎的就絲毫不影響拓撲性質，因為他們二者的開集可以對應起來，使得一方有的性質另一方也有。拓撲空間的等價的映射叫做同胚，要求兩個拓撲空間不僅集合一一對應，而且相應的開集也要一一對應(對於元素的映射可以誘導出對集合的映射)。同胚可以把很多不一樣的東西給等同起來，譬如說上面提到的圓配備上通常的拓撲和直線配備上後面規定的那種拓撲(這個時候拓撲為由以及這些集合以及從中取若干並起來得到的集合組成。這個時候前面說的那些集合就叫做拓撲基，也就是說拓撲里的集合都是拓撲基里一個或者若干集合取並得到的。)大家可以思考一下我們要怎麼給一個正方形配備拓撲才能使得它和甜甜圈面(見題圖)是同胚的。

除了同胚外，我們還對另外一種映射感興趣，那就是連續映射。

關於連續映射，之後的文章會計劃講到。敬請期待

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