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調和級數的小數部分為什麼不是均勻分布的？

01-25

曾經聽一位老師說過考察調和級數Sn=Σ1/i 下標i=1 上標n
的小數部分 an (an∈（0,1）)
將an中∈(0,1/2】的改記為bn 將an中∈(1/2,1】的改記為cn

而在n→+∞時 bn個數/cn個數的比值竟然不等於1（感謝首位答主Richard Xu 提出的意見此處敘述經修改）
直觀的說就是調和級數的小數部分分布是不均勻的
一直覺得這一點很難理解並且與直覺相悖
在網上找了半天也沒有找到相關的證明

懇請哪位高人出手相助在此謝過

沒太讀懂題主的定義，我猜 $b_n$ 和 $c_n$ 是指那樣的數的個數吧？

我們知道調和級數的近似值是 $ln n + gamma$ ，其中 $gamma approx 0.577$ 被稱為歐拉常數。

那麼，當 $n$ 充分大時，落在 $(k,k+frac{1}{2}]$ 中的項大致是第 $lceil e^{k-gamma} ceil$ 項至第 $lfloor e^{k-gamma+frac{1}{2}} floor$ 項，相應地落在 $(k+frac{1}{2},k]$ 中的項大致是第 $lceil e^{k-gamma+frac{1}{2}} ceil$ 項至第 $lfloor e^{k-gamma+1} floor$ 項，顯然 $n$ 充分大時 $k$ 也充分大，這時取整的影響幾乎可以忽略不計，所以去掉取整符號，記

$B_k = e^{k-gamma + frac{1}{2}} - e^{k-gamma}$

$C_k = e^{k-gamma + 1} - e^{k-gamma +frac{1}{2}}$

那麼 $frac{B_k}{C_k} =e^{-frac{1}{2}} approx 0.6065$

於是可得 $frac{b_n}{c_n}$ 有一子列收斂至 $e^{-frac{1}{2}}<1$

（感謝 @玩兒的就是心跳歸來）

再考慮 $(k-frac{1}{2},k]$ 和 $(k,k+frac{1}{2}]$ 的情況，可得

$frac{B$ 1" eeimg="1">

同理可得 $frac{b_n}{c_n}$ 有一子列收斂至 $e^{frac{1}{2}}>1$

因此可得 $frac{b_n}{c_n}$ 中有兩個收斂到不同極限的子列，因此原數列發散。

誒嚴格證明好像有點煩……但是直覺上可以解釋了。

本來就不等於1,這個比值根本不收斂

簡而言之你要修正一下你的直覺。想想級數1+1/2+1/2+1/4+1/4+1/4+1/4+...的小數部分為什麼不均勻分布……

主要是大概要 $sum_{k=1}^{O(n)}frac{1}{n+k}$ 才能跳過一個整數，那麼靠近1的會比不靠近1的部分稠密一些。

就算我假裝這個比值收斂的話

概率論…裡面…那個…

我回去翻書了（學渣匿）

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