如果博弈雙方中的一方的收益變成之前的10%，納什均衡會不會改變？

01-25

假設博弈雙方為 A 和 B，分別有 $n$ 個策略，收益矩陣為：
$left( egin{array}{cccc} a_1,b_1 a_1,b_2 cdots a_1,b_n \[10pt] a_2,b_1 a_2,b_2 cdots a_2,b_n \[10pt] vdots vdots ddots vdots\[10pt] a_n,b_1 a_n,b_2 cdots a_n,b_n end{array} ight)$
假設此時的純策略納什均衡是 $(A_i,B_j)$ 。

現在假設 A 的所有策略的收益變成了原來的 10%，而 B 的收益不變。收益矩陣變為：
$left( egin{array}{cccc} 0.1a_1,b_1 0.1a_1,b_2 cdots 0.1a_1,b_n \[10pt] 0.1a_2,b_1 0.1a_2,b_2 cdots 0.1a_2,b_n \[10pt] vdots vdots ddots vdots\[10pt] 0.1a_n,b_1 0.1a_n,b_2 cdots 0.1a_n,b_n end{array} ight)$
請問純策略納什均衡會改變嗎？
如果之前的是一個混合策略納什均衡，那麼，這個混合策略納什均衡會變嗎？

謝邀…

當然不會變，題主應該知道效用函數的正單調變換仍然表示原來的偏好吧…

其實博弈論裡面的payoff就是效用。這裡的效用函數從strategy profile的集合映射到實數集R。

PS：樓下@獨魚僅一那回答是錯的。

感謝 @曉風殘月，我這樣理解對不對？

設 A 的混合策略為 $m{x} = (x_1,x_2,cdots,x_n)$ ，設 B 的混合策略為 $m{y} = (y_1,y_2,cdots,y_m)$

$x_i, y_i geq 0$ ， $sum_{i=1}^nx_i = 1$ ， $sum_{j=1}^my_j = 1$ 。

定義 A 的支付矩陣為 $m{A} = left( egin{array}{cccc} a_{11} a_{12} cdots a_{1m}\[5pt] a_{21} a_{22} cdots a_{2m}\[5pt] vdots vdots ddots vdots\[5pt] a_{n1} a_{n2} cdots a_{it nm} end{array} ight)$

定義 B 的支付矩陣為 $m{B} = left( egin{array}{cccc} b_{11} b_{12} cdots b_{1m}\[5pt] b_{21} b_{22} cdots b_{2m}\[5pt] vdots vdots ddots vdots\[5pt] b_{n1} b_{n2} cdots b_{it nm} end{array} ight)$